高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列求导运算正确的是( )
A. (x−1x)′=1−1x2B. (lgx)′=1xln10
C. (2x)′=2xlg2eD. (x2csx)′=−2xsinx
2.已知f(x)=x2+x，则f′(2)=( )
A. 2B. 5C. 6D. 7
3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=2xf′(2)+lnx，则f′(1)=( )
A. −1B. 1C. −2D. 0
4.已知直线y=kx+b既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=−ln(−x)的切线，则( )
A. k=1e，b=0B. k=1，b=0C. k=1e，b=−1D. k=1，b=−1
二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
5.设曲线f(x)=xsinx在点(π,f(π))处的切线为l，则l与两坐标轴围成的三角形的面积为______.
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
6.(本小题12分)
已知函数f(x)=k(x+1)e−x+x2.
(1)求导函数f′(x)；
(2)当k=e时，求函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程.
7.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2(x−a).
(1)当x∈(0,1)时，函数f(x)的图像上任意一点处的切线斜率为k，若k≥−1，求实数a的取值范围；
(2)若a=−2，求曲线y=f(x)过点Q(−1,f(−1))的切线方程.
8.(本小题12分)
已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=−x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2公切线，当a取何值时，C1和C2有且仅有一条公切线？并写出此时公切线的方程.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：(x−1x)′=1+1x2，A错误；
(lgx)′=1xln10，B正确；
(2x)′=2xln2，C错误；
(x2csx)′=2xcsx−x2sinx，D错误．
故选：B.
根据基本初等函数和积的导数的求导公式逐项求导即可．
本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由f(x)=x2+x，得f′(x)=2x+1，
∴f′(2)=22+1=5.
故选：B.
求出导函数，代入求值即可．
本题考查导数值的求法，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由f(x)=2xf′(2)+lnx，得f′(x)=2f′(2)+1x(x>0)，
则f′(2)=2f′(2)+12，解得f′(2)=−12，
所以f′(x)=−1+1x，得f′(1)=0.
故选：D.
求导可得f′(x)=2f′(2)+1x(x>0)，令x=2求得f′(2)=−12，进而即可求出f′(1).
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设曲线y=lnx上的切点为(x1,lnx1)，曲线y=−ln(−x)上的切点为(x2,−ln(−x2))，
又(lnx)′=1x,(−ln(−x))′=−1x，
则1x1=−1x2=kkx1+b=lnx1kx2+b=−ln(−x2)，解得b=0x1=ek=1ex2=−e.
故选：A.
设出切点坐标(x1,lnx1)和(x2,−ln(−x2))，建立关于k，b，x1，x2的方程组，解出即可．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】12π3
【解析】解：由已知得f′(x)=sinx+xcsx，f(π)=0，f′(π)=−π，
所以l的方程为y=−π(x−π)，令x=0得y=π2；令y=0得x=π，
l与两坐标轴围成的三角形面积：S=12⋅π⋅π2=12π3.
故答案为：12π3.
求出切点的坐标与导数，求出切线方程，进而求出切线与坐标轴的交点坐标，表示出所求三角形的面积．
本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，属于基础题．
6.【答案】解：(1)由f(x)=k(x+1)e−x+x2，
得f′(x)=k(e−x−(x+1)e−x)+2x=−kxe−x+2x.
(2)当k=e时，f(1)=3，
由(1)得f′(x)=−exe−x+2x，所以f′(1)=1，
切线方程：y−3=1×(x−1)，即y=x+2.
【解析】(1)套用导数公式、法则计算即可；
(2)求出切点处的导数值，然后利用点斜式求出切线方程．
本题考查导数的运算以及切线方程的求法，属于基础题．
7.【答案】解：(1)∵f′(x)=2x(x−a)+x2=3x2−2ax，
根据题意可得当x∈(0,1)时，3x2−2ax≥−1恒成立，
∴2a≤(3x+1x)min，x∈(0,1)，
又3x+1x≥2 3x⋅1x=2 3，
当且仅当3x=1x，即有x= 33∈(0,1)时，取得等号，
∴2a≤2 3，
即有a的取值范围是(−∞, 3]；
(2)∵f′(x)=2x(x+2)+x2=3x2+4x，
设切点为(m,n)，则n=m3+2m2，
又f′(m)=3m2+4m，
∴切线方程为y−n=(3m2+4m)(x−m)，又切线过Q(−1,1)，
∴1−m3−2m2=(3m2+4m)(−1−m)，
∴(m+1)2(2m+1)=0，
∴m=−1或−12，
即有所求切线的方程为y−1=−(x−1)或y−1=−54(x+1)，
即为y=−x或y=−54x−14.
【解析】(1)求出函数的导数，由题意可得当x∈(0,1)时，3x2−2ax≥−1恒成立，运用参数分离和基本不等式即可得到右边的最小值，即可得到a的范围；
(2)设出切点，求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程得到所求切线的方程，代入Q(−1,1)，解方程可得切点，进而得到切线的方程．
本题考查导数的几何意义，同时考查不等式恒成立问题转化为求最值，运用基本不等式和正确求导是解题的关键．
8.【答案】解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2，
曲线C1在点P(x1,x12+2x1)的切线方程是：y−(x12+2x1)=(2x1+2)(x−x1)，
即y=(2x1+2)x−x12①
函数y=−x2+a的导数y′=−2x，
曲线C2在点Q(x2,−x22+a)的切线方程是y−(−x22+a)=−2x2(x−x2).
y=−2x2x+x22+a.②
如果直线l是过P和Q的公切线，
则①式和②式都是l的方程，
x1+1=−x2，所以−x12=x22+a.
消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0.
若判别式△=4−4×2(1+a)=0时，
即a=−12时解得x1=−12，此时点P与Q重合．
即当a=−12时C1和C2有且仅有一条公切线，
由①得公切线方程为y=x−14.
【解析】先分别求出抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=−x2+a在某点处的切线，然后根据是公切线建立等量关系，要使C1和C2有且仅有一条公切线，可利用判别式进行判定．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．