2023-2024学年吉林省长春二中高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年吉林省长春二中高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知变量x与y的回归直线方程为y=3x−1，变量y与z负相关，则( )
A. x与y负相关，x与z负相关B. x与y正相关，x与z正相关
C. x与y负相关，x与z正相关D. x与y正相关，x与z负相关
2.(2x−1)5的二项展开式中第4项的系数为( )
A. −80B. −40C. 40D. 80
3.某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000株作为样本，若该农作物的茎高X近似服从正态分布X∼N(50,σ2)且P(X≤40)=0.2.则该农作物茎高在50≤X≤60范围内的株数约为( )
A. 1000B. 2000C. 3000D. 4000
4.点P是曲线y=ex+x上的点，Q是直线y=2x上的点，则|PQ|的最小值为( )
A. 55B. 2 55C. 5D. 2 5
5.一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有( )
A. 120种B. 60种C. 40种D. 20种
6.已知函数f(x)=13x3+a2x2+x+1在(3,+∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A. [−2,+∞)B. [−103,+∞)C. (−2,+∞)D. (−103,−2)
7.已知a=10sin0.01，b=e0.1−1，c=110cs0.01，则( )
A. b>a>cB. a>b>cC. c>a>bD. b>c>a
8.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1，p2，且满足p1+p2=43，每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若E(X)=16，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为( )
A. 27B. 24C. 32D. 28
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 设有一个回归方程y =3−5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位
B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1
C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D. 在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，说明回归的效果越好
10.对于函数f(x)=x3+x2+cx+d(c,d∈R)，下列说法正确的是( )
A. 若d=0，则函数f(x)为奇函数
B. 函数f(x)有极值的充要条件是c<13
C. 若函数f(x)有两个极值点x1，x2，则x14+x24>281
D. 若c=d=−2，则过点(2,0)作曲线y=f(x)的切线有且仅有3条
11.一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫、6只白猫.把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫.猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件Ak表示“第k只出笼的猫是黑猫”，k=1，2，…，10，则( )
A. P(A1A2)=23B. P(A1+A2)=23C. P(A2|A1)=13D. P(A10|A1)=13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x4,y4)，(x5,y5)，根据收集到的数据可知x1+x2+x3+x4+x5=100，并求得回归直线方程为y =0.67x+54.8，则y1+y2+y3+y4+y5的值为______.
13.甲袋中有5个白球、7个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为______.
14.已知实数a，b满足aea=e2,lnbe=e3b，其中e是自然对数的底数，则ab的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
根据以往的统计资料，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况统计如下：
甲
乙
现有一场比赛，派哪位运动员参加比较好？请写出你的决定，并说明理由.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex−1−a(其中a∈R)，g(x)=lnx.
(1)当a=0时，求函数f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)当x>0时，若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围.
17.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax2−lnx−1，g(x)=xex−ax2(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：f(x)+g(x)≥x.
19.(本小题17分)
入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”.南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天.某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情况.
经计算可得：y−=110i=110yi=2.2，i=110tiyi=118.73，i=110ti2=385.
(1)由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程(精确到0.01)，并估计第10天的正常销量；
(2)假设每位顾客选择A套餐的概率为25，选择B套餐的概率为35，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为Pn，求Pn；
(3)记(2)中所得概率Pn的值构成数列{Pn}(n∈N*).
①求数列{Pn}的最值；
②数列收敛的定义：已知数列{an}，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N0，使得当n>N0时，|an−a|<ε，(a是一个确定的实数)，则称数列{an}收敛于a.根据数列收敛的定义证明数列{Pn}收敛.回归方程y =a +b x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b =i=1nxiyi−nx−⋅y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：变量x与y的回归直线方程为y=3x−1，
则变量x与y正相关，
变量y与z负相关，
则x与y负相关．
故选：D.
结合回归直线方程，以及变量间的相关关系，即可求解．
本题主要考查变量y与z负相关，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：(2x−1)5的二项展开式中第4项为T4=C53(2x)2(−1)3=−40x2，
所以展开式中第4项的系数为−40.
故选：B.
由二项展开式的通项公式直接求解即可．
本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可知：μ=50，且60+40=2μ，
则P(50≤X≤60)=0.5−P(X≥60)=0.5−P(X≤40)=0.3，
所以该农作物茎高在50≤X≤60范围内的株数约为10000×0.3=3000.
故选：C.
根据正态分布的对称性可得P(50≤X≤60)=0.3，结合题意即可得结果．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：函数y=ex+x的定义域为R，
由y=ex+x的导数为y′=ex+1，
令ex+1=2，
可得x=0，
所以切点为(0,1)，
它到直线y=2x的距离d=1 4+1= 55.
点P是曲线y=ex+x上的点，Q是直线y=2x上的点，则|PQ|的最小值为： 55.
故选：A.
先根据导数的几何意义求出切点坐标，欲求P到直线y=2x的距离的最小值即求切点到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式进行求解即可．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：首先拿出4个空座位，则四个空座位之间一共有5个空位置，包括两端，
从5个空位置中选出3个空位置，即C53，然后3人全排列为A33，
所以不同的坐法共有C53⋅A33=60种．
故选：B.
根据题意，由插空法即可得到结果．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：求导可得f′(x)=x2+ax+1，
∵f(x)在(3,+∞)上单调递增，
∴x2+ax+1≥0在(3,+∞)上恒成立，
∴a≥−(x+1x)在(3,+∞)上恒成立，
又y=x+1x在(3,+∞)上单调递增，故y≥3+13=103；
∴a≥−103.
故选：B.
求导，可得x2+ax+1≥0在(3,+∞)上恒成立，分离参数求最值，即可得到结论．
本题考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由a=10sin0.01，b=e0.1−1，c=110cs0.01，
则a>0，b>0，c>0，
因为0.01∈(0,π2)，
则ac=100tan0.01>100×0.01=1，所以a>c；
因为sin0.01<0.01，所以10sin0.01<0.1，
设f(x)=ex−(x+1)，
则f′(x)=ex−1，
当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，
即函数f(x)在(−∞,0)为减函数，在(0,+∞)为增函数，
即f(x)的最小值为f(0)=0，
即ex≥x+1，(当且仅当x=0时等号成立)，
所以e0.1−1>0.1+1−1=0.1，
所以b>a，
所以b>a>c，
故选：A.
由对数值大小的比较，结合导数的应用判断即可得解．
本题考查了对数值比较大小，重点考查了导数的应用，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：不妨设每一轮训练通过的概率为p，
则p=p12p22+C21p12⋅(1−p2)⋅p2+C21p1⋅p22⋅(1−p1)=−3p12p22+2p1p2(p1+p2)
=−3p12p22+43×2p1p2=−3p12p22+83p1p2，
此时0易知函数y=−3x2+83x开口向下，对称轴x=49，
所以0<−3p12p22+83p1p2≤−3×(49)2+83×49=1627，
又每局之间相互独立，记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，
所以X∼B(n,p)，
所以E(X)=np=n(−3p12p22+83p1p2)=16，
解得n=16−3p12p22+83p1p2≥161627=27，
则甲、乙两人训练的轮数至少为27轮．
故选：A.
由题意，设每一轮训练通过的概率为p，求出p的表达式，结合二项分布的期望、基本不等式以及二次函数的性质进行求解即可．
本题考查二项分布的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A：设有一个回归方程y =3−5x，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；
对于B：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数|r|的值越接近于1，故B错误；
对于C：在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；
对于D：在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，说明回归的效果越好，故D正确；
故选：CD.
直接利用回归直线方程，相关系数和相关性的关系，残差图，相关指数和线性回归效果的关系的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：回归直线方程，相关系数和相关性的关系，残差图，相关指数和线性回归效果的关系，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A：当d=0时，f(x)=x3+x2+cx的定义域为R.
因为f(−x)=(−x)3+(−x)2+c(−x)=−x3+x2−cx≠−f(x)，所以函数f(x)不是奇函数．故A错误；
对于B：函数f(x)有极值⇔f(x)在R上不单调．
由f(x)=x3+x2+cx+d求导得：f′(x)=3x2+2x+c，
f(x)在R上不单调⇔f′(x)在R上有正有负⇔Δ=4−4×3c>0⇔c<3，故B正确；
对于C：若函数f(x)有两个极值点x1，x2，必满足Δ>0，即c<13，
此时x1，x2为3x2+2x+c=0的两根，所以x1+x2=−23,x1x2=c3，
所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=49−2c3，
所以x14+x24=(x12+x22)2−2x12x22=(49−2c3)2−2c29=2c29−1627c+1681，
对称轴 c=−−16272×29=43，
所以当c<13时，x14+x24=2c29−1627c+1681>29×(13)2−1627×13+1681=281，
即x14+x24>281，故C正确；
对于D：若c=d=−2时，f(x)=x3+x2−2x−2，所以f′(x)=3x2+2x−2，
设切点(x0,y0)，则有y0=x03+x02−2x0−2f′(x0)=3x02+2x0−2=y0−0x0−2，
消去y0，整理得：2x03−5x02−4x0+6=0，
不妨设g(x)=2x3−5x2−4x+6，则g′(x)=6x2−10x−4，
令g′(x)>0，解得：x>2或<−13；令g′(x)<0，解得：−13所以g(x)在(−∞,−13)，(2,+∞)上单调递增，在(−13,2)上单调递减，
所以g(x)极大值=g(−13)=2(−13)3−5(−13)2−4(−13)+6=61927>0，
g(x)极小值=g(2)=2×23−5×22−4×2+6=−6<0，
所以作出的图像如图所示：
因为函数g(x)有三个零点，所以方程2x03−5x02−4x0+6=0有三个根，
所以过点(2,0)作曲线y=f(x)的切线有且仅有3条，故D正确．
故选：BCD.
对于A：利用奇偶性的定义直接判断；对于B：利用极值的计算方法直接求解；对于C：先求出c<13，表示出x14+x24=2c29−1627c+1681，即可求出；对于D：设切点(x0,y0)，由导数的几何意义得到2x03−5x02−4x0+6=0，设g(x)=2x3−5x2−4x+6，利用导数判断出函数g(x)有三个零点，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数奇偶性的判断，过一点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．
11.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，10只猫先后出笼的顺序为A1010，第k只出笼的猫是黑猫，即可先从4只黑猫中选出一只，而其余9个位置的猫们可任意排列，则P(Ak)=A41A99A1010=25，
依次分析选项：
对于A，事件A1A2表示第1，2只出笼的猫都是黑猫，则P(A1A2)=A42A88A1010=215，故A错误；
对于B，事件A1+A2表示第1只或第2只出笼的猫是黑猫，
则P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1A2)=25+25−215=23，故B正确；
对于C，P(A2|A1)=P(A1A2)P(A1)=21525=13，故C正确；
对于D，事件A2A10表示第2，10只出笼的猫是黑猫，
则P(A2A10)=A42×A88A1010=215，
∴P(A10|A2)=P(A2A10)P(A2)=21525=13，故D正确．
故选：BCD.
根据题意，先求出P(Ak)，依次分析选项，对于A，事件A1A2表示第1，2只出笼的猫都是黑猫，即可求解判断；对于B，事件A1+A2表示第1只或第2只出笼的猫是黑猫，则根据P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1A2)，即可求解判断；对于CD，结合条件概率公式求解．
本题考查命题真假的判断，涉及古典概型、条件概率等基础知识，属于中档题．
12.【答案】341
【解析】解：∵x1+x2+x3+x4+x5=100，∴x−=15×100=20，
把x−=20代入y =0.67x+54.8，
得y−=0.67×20+54.8=68.2，
故y1+y2+y3+y4+y5=5y−=341.
故答案为：341.
计算x−=20，代入方程计算得到y−=68.2，得到答案．
本题考查线性回归方程及其求法，是基础题．
13.【答案】1324
【解析】解：设事件A表示“选中甲袋”，B表示“选中乙袋”，C表示“取到的球是白球”，
则P(A)=12，P(B)=12，P(C|A)=512，P(C|B)=23，
故P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=512×12+23×12=1324.
故答案为：1324.
设事件A表示“选中甲袋”，B表示“选中乙袋”，C表示“取到的球是白球”，则C=CA+CB，由条件结合全概率公式求结论．
本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】e3
【解析】解：由aea=e2可得，a=e2−a，即lna=2−a，也即2−a−lna=0，
由lnbe=e3b可得b(lnb−1)=e3，
所以lnb+ln(lnb−1)=3，即2−(lnb−1)−ln(lnb−1)=0，
构造函数f(x)=2−x−lnx，则f(a)=0，f(lnb−1)=0，
因为f′(x)=−1−1x<0在(0,+∞)上恒成立，
所以函数f(x)=2−x−lnx在定义域(0,+∞)上单调递减，
所以f(a)=f(lnb−1)=0⇔a=lnb−1，即a+1=lnb，
又因为lna=2−a，
所以2−lna+1=lnb，
所以lnab=3，
解得ab=e3.
故答案为：e3.
由aea=e2可得2−a−lna=0，由lnbe=e3b可得2−(lnb−1)−ln(lnb−1)=0，构造函数f(x)=2−x−lnx，求导分析单调性，由f(a)=f(lnb−1)=0，得a+1=lnb，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
15.【答案】解：对于甲，E(X)=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1，D(X)=0.1×(0−1)2+0.8×(1−1)2+0.1×(2−1)2=0.2，
对于乙，E(X)=0×0.4+1×0.2+2×0.4=1，D(X)=0.4×(0−1)2+0.2×(1−1)2+0.4×(2−1)2=0.8，
因为甲、乙两运动员得分的期望相等，而甲运动员得分的方差小于甲运动员得分的方差，
所以甲运动员成绩较稳定，
故派甲运动员参加比较好．
【解析】求出甲、乙两运动员得分的期望和方差，再比较即可．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于基础题．
16.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=ex−1，f′(x)=ex−1，则f′(0)=e−1=1e，
而f(0)=e−1=1e，所以切线方程为y−f(0)=f′(0)(x−0)，即y=1ex+1e；
(2)当x>0时，由f(x)≥g(x)，得ex−1−a≥lnx，即a≤ex−1−lnx恒成立，
设h(x)=ex−1−lnx(x>0)，则h′(x)=ex−1−1x，
设φ(x)=ex−1−1x(x>0)，则φ′(x)=ex−1+1x2>0，
故h′(x)在(0,+∞)上单调递增，
又因为h′(1)=0，所以当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
则h(x)≥h(1)=e0−0=1，
则a≤1，即a的取值范围为(−∞,1].
【解析】(1)先对函数求导，结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程；
(2)由已知不等式恒成立，分离参数，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了导数的几何意义的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
17.【答案】

【解析】
18.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=2ax−1x=2ax2−1x，
①当a≤0时，f′(x)=2ax−1x=2ax2−1x<0恒成立，
②当a>0时，f′(x)=2ax−1x=2ax2−1x>0，解得x> 12a，
综上：当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a>0时，f(x)在(0, 2a2a)上单调递减，在( 2a2a,+∞)上单调递增；
(2)证明：f(x)+g(x)=xex−lnx−1，
要证f(x)+g(x)≥x，即证xex−lnx−1−x=ex+lnx−lnx−x−1≥0恒成立，
令t=x+lnx，即证et−t−1≥0，
令k(t)=et−t−1，
所以k′(t)=et−1>0，解得t>0，
所以k(t)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，
则k(t)≥k(0)=0，
所以et−t−1≥0，
则f(x)+g(x)≥x恒成立，得证．
【解析】(1)求导数，分类讨论，即可讨论f(x)的单调性；
(2)由题意可化为证明xex−lnx−1−x=ex+lnx−lnx−x−1≥0恒成立，令t=x+lnx，即证et−t−1≥0，令k(t)=et−t−1，求导，可求k(t)≥k(0)=0，即可证明f(x)+g(x)≥x恒成立．
本题考查了导数与函数单调性，考查了运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)剔除第10天数据后的(y−)新=19i=19 yi=2.2×10−0.49=2.4，(t−)新=1+2+⋅⋅⋅+99=5，(i=19 tiyi)新=118.73−10×0.4=114.73，(i=19 ti2)新=385−102=285，
所以b =114.73−9×5×2.4285−9×52=6736000，
故a =2.4−6736000×5=110356000，
所以y =0.11x+1.84，
当t=10时，y =1.1+1.84=2.94，
即估计第10天的正常销量约为2.94千张；
(2)由题意可知Pn=25Pn−1+35Pn−2(n≥3)，其中P1=25，P2=25×25+35=1925，
则Pn−Pn−1=−35(Pn−1−Pn−2)(n≥3)，
所以{Pn−Pn−1}是以首项为P2−P1=1925−25=925，公比为−35的等比数列，
故Pn−Pn−1=925(−35)n−2(n≥2)成立，
则有Pn−Pn−1+Pn−1−Pn−2+⋅⋅⋅+P2−P1=925[(−35)0+(−35)1+⋅⋅⋅+(−35)n−2]=−940(−35)n−1+940，
故Pn=−940(−35)n−1+940+P1，
又因为P1=25，
所以Pn=58+38(−35)n；
(3)①当n为偶数时，Pn=58+38(−35)n=58+38(35)n>0单调递减，最大值为P2=1925，
当n为奇数时，Pn=58+38(−35)n=58−38(35)n<0单调递增，最小值为P1=25，
综上：数列{Pn}的最大值为1925，最小值为25；
②证明：对任意ε>0总存在正整数N0=[lg35(83ε)]+1，(其中[x]表示取整函数)，
当n>[lg35(83ε)]+1时，|Pn−58|=|38(−35)n|=|38(35)n|<38(35)lg35(83ε)=ε.
【解析】(1)计算出新数据的相关数值，代入公式求出a ，b 的值，进而得到y关于t的回归方程，再令t=10求出y 的值即可；
(2)由题意可知Pn=25Pn−1+35Pn−2(n≥3)，其中P1=25，P2=25×25+35=1925，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；
(3)①分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；
②利用数列收敛的定义证明．
本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了数列的递推式，属于中档题．X
0
1
2
P
0.1
0.8
0.1
X
0
1
2
P
0.4
0.2
0.4
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y(千张)
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4