河南省信阳高级中学2023-2024学年高一下学期5月期中测试数学试题（二）

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一、单选题
1.下列结论正确的是
A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B.绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C.有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D.棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
2.设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是
A.B.
C.与垂直D.
3.下列概率模型，其中属于古典概型的是
A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D.一只使用中的灯泡寿命长短
4.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为
A.B.C.D.8
5.下列命题中是真命题的是
A.一组数据，，，，，的平均数、众数、中位数相同；
B.有、、三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为；
C.若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲；
D.一组数，，，，，，，，，的分位数为.
6.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦.其中正确的关系式的个数是
A.B.C.D.
7.祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（如图①）.这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm，底面为边长20cm的正三角形挖去以底边为直径的圆（如图③），则该艺术品的体积为
A.
C.
B.
D.
8.如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则
A.B.C.D.
二、多选题
9.已知复数，则
A.的共轭复数是
B.对应的点在第二象限
C.
D.若复数满足，则的最大值是6
10.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是
A.如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
B.如果m⊂α，α∥β，那么m∥β
C.如果α∩β＝l，m∥α，那么m∥l
D.如果m⊥n，m⊥α，nβ，那么α⊥β
11.已知内角的对边分别为为的重心，，则
A.B.
C.的面积的最大值为D.的最小值为
12.正方体ABCD-的棱长为a，E在棱上运动（不含端点），则
A.侧面中不存在直线与DE垂直
B.平面与平面ABCD所成二面角为
C.E运动到的中点时，上存在点P，使BC∥平面AEP
D.P为中点时，三棱锥体积不变
三、填空题
13.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为 .
14.已知为平面内的一组基底，，，若，则 .
15.已知是球表面上的点,平面若球的体积为，则 .
16.如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计）
四、解答题
17.已知关于的方程，.
（1）当时，在复数范围内求方程的解；
（2）已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围.
18.已知的内角的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，证明：是直角三角形.
19.为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施.某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球.已知抽出1个白球减20元，抽出1个红球减40元.
（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；
（2）若某顾客去影院充值并参与抽奖，求其减免金额低于80元的概率.
20.树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查.记男生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；女生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；总样本平均数、方差分别为、.

（1）该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数；
（2）已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值.
21.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.

（1）设分别为的中点，求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
22.如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点.
（1）求的值；
（2）若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置.