江苏省南京市第五高级中学2023-2024学年高二下学期5月阶段性质量监测数学试卷

这是一份江苏省南京市第五高级中学2023-2024学年高二下学期5月阶段性质量监测数学试卷，文件包含高二5月检测数学参考答案最终docx、高二数学5月检测卷pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
1．【答案】B
解析：选B 法一：椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的焦点坐标是(±eq \r(3)，0)．设双曲线标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以eq \f(4,a2)－eq \f(1,b2)＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是eq \f(x2,2)－y2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为eq \f(x2,4－λ)＋eq \f(y2,1－λ)＝1(1＜λ＜4)，将点P(2,1)的坐标代入可得eq \f(4,4－λ)＋eq \f(1,1－λ)＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为eq \f(x2,2)－y2＝1.
【答案】C
【详解】，A错误；，B错误；
，C正确；，D错误.
【答案】C
【答案】D
【解析】由F为BE 的中点，得 又
所以，由 得
即所以
【答案】A
【答案】C
解：根据题意，甲不在前2名，乙不是最后1名，
若甲是最后1名，剩下4人没有限制，有A＝24种情况，
若甲不是最后1名，甲有2种情况，乙有3种情况，剩下3人没有限制，有2×3×A＝36种情况，
则5人有24+36＝60种不同情况，
故选：C．
7．【答案】B
【详解】
∵，展开式中的系数为，
∴则
，故选：B．
8.【答案】 D
【解析】
【分析】由分布列的性质可得的关系，再由期望公式求，由方差公式求，利用导数求的最大值.
【详解】由题可知，，，所以，，
，，
则，
令，则，
则在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以的最大值为．故选：D．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．ACD 10．ABD 11．BD
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．y＝3x 13．160 14．eq \F(7,2)
四、解答题(本大题共6小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)
(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由S4＝10，S8＝36，
得4a1＋eq \F(4×3,2)d＝10，8 a1＋eq \F(8×7,2)d＝36，………………………………………………4分
解得a1＝1，d＝1，
所以an＝1＋(n－1)×1＝n． …………………………………………………6分
(2)因为an＝n，所以eq \F(an,3n－1)＝eq \f(n,3n－1)，
于是T10＝eq \f(1,30)＋eq \f(2,31)＋eq \f(3,32)＋…＋eq \f(10,39)， = 1 \* GB3 ①
所以eq \f(1,3)T10＝eq \f(1,31)＋eq \f(2,32)＋eq \f(3,33)＋…＋eq \f(9,39)＋eq \f(10,310)， = 2 \* GB3 ②
= 1 \* GB3 ①－ = 2 \* GB3 ②得eq \f(2,3)T10＝1＋eq \f(1,31)＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,33)＋…＋eq \f(1,39)－eq \f(10,310) ……………………………………9分
＝eq \f(3,2)(1－eq \F(1,310))－eq \f(10,310)＝eq \f(3,2)－eq \f(23,2×310)，
所以T10＝eq \f(9,4)－eq \f(23,4×39)． …………………………………………………13分
(本小题满分15分)
【分析】（1）求导可得，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性；
（2）根据恒成立问题，结合（1）中的单调性以及定点分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：，
因为，则，
①当时，则在内恒成立，可知，则在上单调递增；
②当时，令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
由（1）可知：当时，在上单调递增，，符合要求；
当时，在上单调递减，则，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
17．(本小题满分15分) 解：(1)设“从甲区的中小学随机抽取1所学校选择网课平台B”为事件M1，“从乙区的中小学随机抽取1所学校选择网课平台B”为事件M2，“抽取的2所学校中至少有一所选择网课平台A进行授课”为事件M，M1与M2相互独立．
依题意P(M1)＝eq \f(12,6+12)＝eq \f(2,3)，P(M2)＝eq \f(8,8+12)＝eq \f(2,5)，则P(M)＝1－P(M1 M2)＝1－eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(11,15)．
答：抽取的2所学校中至少有一所选择网课平台A进行授课的概率为eq \f(11,15)．………6分
(2)由表格可知，选择网课平台A的数量超过选择网课平台B的区县有3个，
故X可取1，2，3，则P(X＝1)＝eq \f( ,) eq \f(C\(\s\up1(1),3)C\(\s\up1(2),2),C\(\s\up1(3),5))＝eq \f(3,10)， P(X＝2)＝eq \f( ,) eq \f(C\(\s\up1(2),3)C\(\s\up1(1),2),C\(\s\up1(3),5))＝eq \f(3,5)， P(X＝3)＝ eq \f(C\(\s\up1(3),3)C\(\s\up1(0),2),C\(\s\up1(3),5))eq \f( ,)＝eq \f(1,10)． ………12分
X的概率分布如下表：
所以E(X)＝1×eq \f(3,10)+2×eq \f(3,5)+3×eq \f(1,10)＝eq \f(9,5)．…………………………………………………15分
(本小题满分17分)【详解】（1）在梯形中，因为，，
所以，所以，
所以，所以．
因为平面平面，平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则．，．
设为平面的一个法向量，由得，取，则，
是平面的一个法向量，
，当时，有最小值，当时，有最大值．．
19．(本小题满分17分)
【答案】（1）（千米）（2）（3）说明见解析，此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车
【解析】
【小问1详解】
（千米）．
【小问2详解】
由,．．
【小问3详解】
遥控车开始在第0 格为必然事件，．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种：
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为．
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为．
．．
数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列．
，，，，．
，1，，．
获胜的概率，
失败的概率．
．
获胜的概率大．
此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
X
1
2
3
P
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
eq \f(1,10)