北京市京郊绿色联盟四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（学生版+教师版）

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本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共50分）
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. 1或2D. 2或3
【答案】C
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式即可求出集合，再根据求出的值.
【详解】由，即，解得，
所以，
又且，
所以或.
故选：C.
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本函数性质，即可结合单调性以及奇偶性的定义求解.
【详解】对于A，，在区间上不是单调函数，不符合题意；
对于B， 的定义域为，故不是偶函数，不符合题意，
对于C，，为幂函数，在单调递增，由于定义域为，不是偶函数，不符合题意；
对于D，，既是偶函数又在区间上单调递增，符合题意；
故选：D．
3. 已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数值域可推出，利用均值不等式即可求解.
【详解】因为二次函数的值域为，
所以，
即，，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故选：A
4. “”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】若函数的图象关于对称，根据正切函数的对称性可得，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.
【详解】若函数的图象关于对称，
则，解得，
因为是的真子集，
所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 设，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，根据指数型函数的单调性得到，再利用特殊值判断A、B、C，根据函数的单调性判断D.
【详解】因为，即，又与在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递增，
所以，
对于A：当，时满足，但是，故A错误；
对于B：当，时满足，但是，故B错误；
对于C：当，时满足，但是，故C错误；
对于D：函数，则定义域上单调递增，
所以由可以得到.
故选：D
6. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ）
A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 28小时
【答案】C
【解析】
【分析】将两组数据代入解析式可得，，当时，利用指数函数的运算即可得到保鲜时间.
【详解】由已知得①，②，
将①代入②得，则．
当时，，
所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时，
故选：C．
7. 设函数，则是（ ）
A. 奇函数，且对任意都有
B. 奇函数，且存在使得
C. 偶函数，且对任意都有
D. 偶函数，且存在使得
【答案】C
【解析】
【分析】先求定义域，判断定义域是否关于原点对称，再根据，得到是偶函数；等价于，即，当，等价于，作差法比大小，分别构造，，求导，借助函数的单调性进行比大小，当时，结合偶函数的定义，得到成立，进而对任意都有.
【详解】的定义域为，关于原点对称，
又，故是偶函数，
令，，
故在上单调递减，，
即，；
令，，
故在上单调递减，，
即，，
所以时，，，
即，，
当时，，所以对任意都有.
故选：.
8. 已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与轴的交点，为图象上的最高点，且，则（ ）
A B.
C. 在上单调递减D. 函数的图象关于点中心对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，进而求出周期，即求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项判断.
【详解】由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，
所以．
则函数的周期为4，由，，可得，
又，所以，则，
将点代入，得，
则，．而，则，
所以,
则，A错误；
，B错误；
若，则，显然函数不是单调，C错误；
，
所以函数的图象关于点中心对称，D正确.
故选：D.
9. 已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】由函数有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围
【详解】由函数有两个零点可得有两个零点，
即与的图象有两个交点，结合函数图象有以下几种情况，
与的图象如图1所示，则在定义域内不能是单调函数，
对于的值进行分类讨论，则：
当时，如图2所示；当时，如图3所示；
当时，如图4所示；当时，如图5所示；当时，如图6所示；
对于图2，有可能有两个交点，因为存在使得与二次函数有两个交点；
对于图3，因为图象是单调的，故不可能有两个交点；
对于图4，可能有两个交点，因为存在使得与分段函数有两个交点；
对于图5，不可能有两个交点；
对于图6，不可能有两个交点；
综上所述：当且成立；
故选：B
10. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2，均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，利用数量的坐标运算求出，再利用三角函数的性质求最值.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
圆的方程为，可设，
所以，
故．
所以当，即时，的最大值为，
故选：D．
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 向量与的夹角的大小为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，，，再由夹角公式计算可得.
【详解】因为、，
所以，，
，
设向量与的夹角为，
则，
又，所以.
故答案为：
12. 如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，……，逆时针旋转得，则______，点的横坐标为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义，求得的值，在利用二倍角公式求得的值，最后利用诱导公式和两角和的余弦公式，即可求解点的横坐标，得到答案．
【详解】由题意，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，……，逆时针旋转得，
根据三角函数的定义，可得，
故，
点的横坐标为
．
故答案为：， ．
【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式，以及两角和的余弦函数公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力．
13. 若函数的最大值为1，则常数的一个取值为_____．
【答案】（答案不唯一，取，均可）
【解析】
【分析】依题意，知与同时取到最大值1，进而可得，令可得符合题意的的值．
【详解】函数的最大值为1，
可取与同时取到最大值1，
又时，，
时，也取到1，
，
不妨取，
此时的最大值为1，符合题意，
故常数的一个取值为，
故答案为：（不唯一）．
14. 已知是内一点，且满足，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件化简后得是的外心，再由外心的性质求解
【详解】由题意得，
则，是的外心，故
故答案为：
15. 函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”.下列命题正确的是___________.
①“囧函数”的值域为R；
②“囧函数”在上单调递增
③“囧函数”图象关于y轴对称；
④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线的图象至少有一个交点.
【答案】③⑤##⑤③
【解析】
【分析】
【详解】①解方程判断；②举反例进行排除；③利用奇偶性概念判断；④解方程判断；⑤令，分类讨论去绝对值，研究方程的根即可.
【点睛】解：①令，方程无解，故不可能为零，“囧函数”的值域为R错误；
②当时，取
得， ，
故“囧函数”在上单调递增错误；
③函数定义域关于原点对称且，“囧函数”图象关于y轴对称正确；
④令，方程无解，故无零点，“囧函数”有两个零点错误；
⑤令，
则①或②
当时，对于①有，必有正根；
当时，对于②有，必有负根；
即方程至少有一根，即“囧函数”的图象与直线的图象至少有一个交点正确
故答案为：③⑤
三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知向量，满足，，它们的夹角为120．
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）且
【解析】
【分析】（1）=，展开后求值即可；
（2）向量夹角为锐角，需满足向量内积为正，并且两个向量不能方向相同，代入求解即可.
【小问1详解】
=
=
=
=
=
=
=
【小问2详解】
因为与的夹角为锐角，
所以 ，
化简为：，
所以，
故答案为：且
17. 已知函数.的最大值为1，且相邻两条对称轴之间的距离为.求：
（1）函数的解析式；
（2）函数在的单调递增区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得，即可根据最值以及周期求解，
（2）利用整体法即可求解.
【小问1详解】
故，
由于相邻两条对称轴之间的距离为，所以,
，故，
故
【小问2详解】
令，则，
取，则，故单调递增区间为
18. 在中，，．
（1）求的大小：
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：边上的高．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，再直接利用余弦定理计算可得；
（2）若选①直接代入，得到方程无解，故舍去；
若选②由正弦定理求出，再代入，即可求出，最后根据面积公式计算可得；
若选③由锐角三角函数求出，再代入，求出有两解，故舍去；
【小问1详解】
解：因为，，所以，所以，
由余弦定理知，
因为，所以．
【小问2详解】
解：若选①，则，即，因为，所以方程无解，不符合题意；
若选②，由正弦定理可知，即，解得，所以，即，解得或（舍去）
所以；
若选③边上的高；在中，所以，即，所以，即，解得或，所以存在两解，不符合题意；
19. 已知函数（，且）为偶函数．
（1）求的值；
（2）若，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数运算求解；
（2）根据对数函数性质结合基本不等式可得，由存在性问题可得，换元，可得，构建，根据恒成立问题结合二次函数分析求解.
【小问1详解】
因为函数为偶函数，则，
即，
整理得，
可得，结合x的任意性可得，
此时，
可得的定义域为，符合题意，
综上所述：.
【小问2详解】
因为，则，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
由题意可得：，即，
因为，令，则，
设，
可得，解得，
若，可知的图象开口向上，对称轴，
由题意可得，
整理得，
又因为，则，解得，
所以实数的取值范围.
20. 已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.
（1）当时，设，求；
（2）若，且存在，使得，求证：；
（3）记.若，且，求的最大值.
【答案】（1）
（2）见解析 （3）26
【解析】
【分析】（1）当 时，直接利用求得的值
（2）设，则由题意可得
，使得，其中，得出 与同为非负数或同为负数，由此计算 的结果，计算 的结果，从而得出结论
（3）设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时， ， 时，
利用，得到
得到
求出 ， ，即可得到 的最大值
得到，再验证得到成立的条件即可；
【小问1详解】
解：由于，
则
故
【小问2详解】
解：设
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
与 同为非负数或同为负数，

，故得证；
【小问3详解】
解：
设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时，
时，
所以


，整理得



又

即
对于
有 ，且

综上所得，的最大值为