河南省青桐鸣2023-2024学年高二下学期5月大联考数学试题（学生版+教师版）

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全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等比数列的首项为，则（ ）
A. 3B. 6C. 18D. 36
2. 已知随机变量，则（ ）
A 0.9B. 0.2C. 0.5D. 0.4
3. 若等差数列的前项和为，对，都有，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在直三棱柱中，，则与平面所成角为（ ）.
A B. C. D.
5. 已知双曲线的左焦点为，点为双曲线的渐近线在第一象限上的一点，为坐标原点，，直线交另一条渐近线于点，且为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 4
6. 已知点是圆上一点，直线交圆于两点，且，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
7. 甲､乙两人各自在两个区域各投篮1次，且每次投篮互不影响，甲在区域投中的概率为，在区域投中的概率为；乙在区域投中的概率为，在区域投中的概率为.已知甲､乙共投中3次，则甲恰好投中2次的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知正方体的棱长为，是正方体的面上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 线段上存在点，使得
B. 若点线段上，则
C. 若，则
D. 若点在线段上，则点到平面的距离为
11. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知抛物线的焦点为，是上的一点，则__________.
13. 过点可作的斜率为1的切线，则实数__________.
14. 已知数列通项公式为，则数列的前项和______.
四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，研究的单调性；
（2）若在其定义域上有且仅有两个零点，求的取值范围.
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的平面角的正弦值.
17. 已知甲､乙两个不透明的盒子里共有7个质地､大小均相同的小球，甲盒中有2个红球､1个白球；乙盒中有2个红球､2个白球.现从两个盒子里同时各随机抽取1个球进行交换，经过次这样的交换后，甲盒中白球的个数为，且每次交换互不影响，记.
（1）求的分布列及的值；
（2）求的通项公式.
18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为是椭圆在第一象限上的点，满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）过直线上的一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，证明：.
19. 若集合，集合，其中，则称集合是集合的一个“元子集”.若“元子集”中的元素满足对任意，恒有，则称为的一个“个性独立子集”.已知集合，集合是的一个“个性独立子集”.
（1）求所有满足条件的集合的个数；
（2）若且互不相等，证明：为定值.