湖南省长沙市2023-2024学年中考数学模拟预测题(含解析)

这是一份湖南省长沙市2023-2024学年中考数学模拟预测题(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的倒数为（ ）
A．3B．C．D．
2．如图是由7个相同的小正方体拼成的立体图形，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的小正方体不可能是（ ）
A．④B．③C．②D．①
3．下列函数中，当时，随增大而增大的是（ ）
A．B．
C．D．
4．四大名著一般指《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四部小说，它们是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产之一．某同学想阅读其中的两本，从这四部著作中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．估计的值应在（ ）
A．与之间B．与之间C．与之间D．与之间
6．关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
7．如图，在正方形中，点E是上一点，连接，以为腰向右侧作等腰直角，连接，已知，下列结论错误的是（ ）
A．当平分时，
B．当和的面积相等时，
C．当时，
D．当取最小值时，
8．一款纯电家用汽车电池容量为，电池的剩余电量与行驶路程之间满足一次函数关系．已知该汽车行驶时，电池的剩余电量为，行驶时，电池的剩余电量为．若该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为（ ）
A．B．C．D．
9．深外为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习，现有爱国，求知两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆求知型客车比每辆爱国型客车多坐15人，单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆，设爱国型客车每辆坐人，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解： ．
12．方程 的解为 ．
13．若关于的一元二次方程有实数根，则实数可取的最小整数值是 ．
14．若有六张完全一样的卡片正面分别写有，，，0，1，2，3，现背面向上，任意抽取一张卡片，其上面的数字作为k的值能使关于x的分式方程的解为正数，且使反比例函数图象过第一、三象限的概率为 ．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．
（1）该抛物线的对称轴为直线 ；
（2）若，点坐标为，直线与轴交于点，则 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形，等边三角形，等边三角形，⋯中，，，…平行于x轴，点，，，…在轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点，，，，…的长依次为，，，…，以此类推，则等边三角形的顶点的坐标为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．如图，在中，，平分，过点D作于点E，于点F，点H是的中点，连接、，求证：四边形是菱形．
20．如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题：
(1)第4个图案中，三角形有______个，正方形有______个；
(2)若用字母分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式则第5个图案可表示为多项式______；
(3)在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且求的值．
21．如图，测量小组在山谷底部A处测得观察M处时的仰角，转身观察N处时的仰角，然后测量小组向前走了50米来到点B处，在B处测得观察N处时的仰角．已知大桥与水平面平行，，试求大桥的长度．（参考数据：，）
22．如图，在中，弦相交于点M，且．
(1)求证：；
(2)连接，若是的直径，，求的长．
23．某校数学社团的同学们欲测量斜拉桥的高度（如图1），他们在地面上架设测角仪，先在点处测斜拉桥最高点的仰角，然后沿方向前进到达点处，并测出点的仰角，测角仪高度（如图2）．已知，，，，计算斜拉桥的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）
24．在正方形中，是对角线，点是的中点，点在上，连接点关于的对称点是连接
(1)如图1，若经过点求证：；
(2)如图2，连接若求的长；
(3)当点三点共线时，直接写出的长．
25．如图1，抛物线与轴交于点与点，点位于点的左侧，与轴交于点，．
(1)求，的值；
(2)点是第一象限内且位于该抛物线上一点．
（i）如图2，连接与交于点，连接．若点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标；
（ii）如图3，点是第四象限且位于该抛物线上一点，与分别与轴交于点和点．若，则直线恒经过一点，求该点的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为1，据此列式即可作答．
【详解】解：∵，
∴的倒数为，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：若取走标有④的小正方体，则左视图只有上下两个正方形，比原来少了右侧的一个正方形；只取走标有①或②或③的小正方体，左视图不变，
所以取走的正方体不可能是④．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数、一次函数、二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据反比例函数，一次函数，二次函数的图象与性质对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A中，当时，随增大而增大，故符合要求；
B中，当时，随增大而减小，故不符合要求；
C中，当时，随增大而增大，故不符合要求；
D中是一条平行于轴的直线，故不符合要求；
故选：A．
4．B
【分析】本题考查利用概率公式求概率，画树状图法求等可能事件的概率等知识点，掌握画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．根据题意画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把《红楼梦》，《水浒传》，《西游记》，《三国演义》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图：
由图知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的结果有2种，
抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率是．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了二次根式加减运算，无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先将化简为，再由即可得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，
解得：且；
故选C．
7．C
【分析】如图1，在上截取，连接，则，，当平分∠ECF时，得出，，得出．设，则，得出等式，解出，即可判断选项A；如图2，过点F作，交的延长线于点H，根据，．证明，则得出，，再根据，列出，即，即可解出（负值已舍去），即可判定选项B；当时，，证出，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出．即可判定选项C；
如图3，以为边向右侧作正方形，连接，证明，得出，，故得出当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，即可解出，再根据相似三角形的性质即可解出．即可判断选项D．
【详解】根据题意可得，，
A．如图1，在上截取，连接，则，
∵，平分∠ECF，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
解得，
即．故选项A结论正确；
B．如图2，过点F作，交的延长线于点H，
，
，
∴，
则，，
∵，
∴，
∴，即，
解得（负值已舍去），故选项B结论正确；
C．当时，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
则．故选项C结论错误；
D．如图3，以为边向右侧作正方形，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴．故选项D结论正确．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
8．B
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法确定函数解析式，
首先利用待定系数法求出，然后将代入求解即可．
【详解】设电池的剩余电量与行驶路程之间的关系式为
根据题意得，
解得
∴
当时，
解得
∴该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了列分式方程，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，根据“单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆”，进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，
∴，
故选：A．
10．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而证明得到，再证明得到，，进一步证明，推出，则．
【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接，设交于O，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选；A．
11．
【分析】本题考查提公因式法分解因式，提取公因式，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，检验即可．
【详解】解：，
∴，
解得：；
经检验：是原方程的解；
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，即，解得：
∴k的最小整数值为．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了简单概率计算、解分式方程以及反比例函数的图象与性质，求出使分式方程有正数解的情况是解决本题的关键．依据题意，由关于的分式方程的解为正数，从而且，故可得的范围；再由反比例函数图象过第一、三象限，进而可以求出的可能值，然后由概率公式进行计算即可获得答案．
【详解】解：∵分式方程的解为，是正数，
∴且，
解得且，
∵反比例函数图象过第一、三象限，
∴，解得，
∴且，
∴在数字，，，0，1，2，3中，满足条件的的值有0，2，任意抽取一张卡片，其上面的数字符合题意的概率为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）二次函数配方即可；
（2）由m的值及B点坐标可求得二次函数解析式，从而求得C、D两点坐标及直线解析式，则可求得点E的坐标，最后求得结果．
【详解】解：（1），
抛物线的对称轴为直线；
故答案为：；
（2）把，点坐标分别代入二次函数中，
得：，
，
即，
令，则，
即；
而，
；
设直线的解析式为，
把D、C两点坐标分别代入得：，
即，
∴直线的解析式为，
令，则，
即；
；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，特殊角的正切值的计算，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质是解题的关键．
根据等边三角形的性质，垂直平分线的性质，可得点O为所有等边三角形的外心，内心，可得的长度，结合含的直角三角形，特殊角的正切值的计算方法即可求解．
【详解】解：∵三边垂直平分线的交点在原点，
∴点为所有等边三角形的外心，内心，
∴平分，即，
∵的长依次是，
∴，且垂直平分，
∴点到轴的距离为，到轴的距离为，
∵点在第三象限，
∴，
故答案为： ．
17．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据二次根式性质，零指数幂运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
18．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
19．证明见解析
【分析】此题考查菱形的性质与判定，关键是利用菱形的判定解答．
根据角平分线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出，进而利用菱形的判定．
【详解】证明：∵平分，，，
∴，，
∵点H是的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
20．(1)16，16
(2)
(3)
【分析】本题考查了规律型的图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
（1）观察图形得出规律，即可得出第4个图案中，三角形有16个，正方形有16个；
（2）根据第1、2个图案可表示多项式，，可知第5个图案可表示为多项式；
（3）根据（1）得出的规律，列式计算即可求解．
【详解】（1）观察图形可知：
第1个图案中，三角形有个，正方形有个；
第2个图案中，三角形有个，正方形有个；
第3个图案中，三角形有个，正方形有个；
第4个图案中，三角形有个，正方形有个；
故答案为：16，16；
（2）第1第2个图案可表示为多项式，，可知第5个图案可表示为多项式，
故答案为：；
（3）第5个图案所表示的多项式值为90，
，
又，
，
的值为：2．
21．
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，先证明四边形是矩形，再证明，求出，得到，得到，，再求出，即可得到答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴（米）．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得出，再进行弧运算，得出，结合圆周角定理，即可作答．
（2）根据圆周角定理得出，因为，所以得出，，再得出，运用勾股定理列式得出，运用等腰三角形的三线合一得出，再结合勾股定理内容，即可作答．
【详解】（1）证明：，
，
即；
∴
（2）解：如图，是的直径，
∵，
∴，，
设，则．
．
在中，由勾股定理得，
解得，
，
．
∴在中由勾股定理得．
23．斜拉桥的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
如图，延长交于点．则四边形是矩形，由题意得：，，．设，则，．由，可得，计算可求满足要求的解为，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点．则四边形是矩形，
由题意得：，，．
设，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，，
经检验，是原方程的根．
∴，
∴．
答：斜拉桥的高度约为．
24．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）证明是等腰直角三角形，再由对称的性质可得：即可；
（2）过点作交的延长线于点延长交于点证明，可得，设则证明是等腰直角三角形，可得，从而得到，然后根据勾股定理，即可求解；
（3）连接交于点H，则，，分两种情况讨论：当点E在上时，当点E在上时，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，点是对角线的中点，
，
是等腰直角三角形．
由对称的性质得：
；
（2）解：如图，过点作交的延长线于点延长交于点
由对称的性质得：
．
，
设则
，
，
是等腰直角三角形，
（3）解：如图，连接交于点H，则，，
当点E在上时，延长交于点G，过点作于点F，连接，则垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在正方形中，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由对称的性质得：，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，当点E在上时，
同理；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，是压轴题，难度较大，尤其是第三问需要分类讨论．
25．(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）待定系数法求出，的值即可；
（2）（i）对称求出点坐标，求出直线的解析式，联立后，求出点的解析式即可；
（ii）设，求出的解析式，进而求出的坐标，利用，推出，求出的解析式，根据定点的坐标与的值无关，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
把代入，得：
，解得：；
（2）（i）由（1）知，
∴，
∴对称轴为直线，
当时，，解得：，
∴，
∵关于直线的对称点为，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴，
同法可得，直线的解析式为，
联立，解得：，
∴；
（ii）设，
∵，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
同法可得：，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴
，
，
∴当时，，
∴直线过定点．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，对称性求对称点的坐标，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，注意计算的准确性．