江苏省2024年中考数学最后一卷(含解析)

这是一份江苏省2024年中考数学最后一卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了下列运算正确的是，分式 有意义的条件是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分130分，考试时间120分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．2024的倒数是（ ）
A．2024B．C．D．
2．若，则的补角的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．“一片甲骨惊天下”，甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的头和中华优秀传统文化的根脉．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是( )
A．(a+b)2＝a2+b2B．(3a2)3＝9a6
C．50÷5﹣2＝D．＝﹣3
5．分式 有意义的条件是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）
A．1B．C．D．
7．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，连接DP′，则DP′的最小值是（ ）
A．2-2B．4﹣2C．2﹣D．-1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．全球最大的水陆两栖飞机—中航工业AG600大型灭火飞机最大起飞重量53500千克，数据53500用科学记数法表达为 ．

10．若分式方程的解是，则 ．
11．分解因式： ．
12．正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为
13．根据如图所示的统计图，回答问题：
该超市年月的水果类销售额 月的水果类销售额（填“”“”或“”）．
14．将直线平移，使之经过点，则平移后的函数解析式为 ．
15．2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，销售期间发现，每天的销售利润（元）与售价（元）之间的函数解析式是，且售价的范围是，则销售“冰墩墩”每天的最大利润是 ．
16．如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．

三、解答题（本大题共11小题，共82分）（共82分）
17．（本题5分）计算： ．
18．（本题5分）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
19．（本题6分）已知点回答下列问题：
(1)点在轴上，求出点 的坐标；
(2)点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求 的值
20．（本题6分）已知，如图，某长方形广场的四角都有一块边长为x米的正方形草地．若长方形的长为a米，宽为b米．
(1)请用代数式表示阴影部分的面积；
(2)若长方形广场的长为米，宽为米，正方形的边长为米，求阴影部分的面积．
21．（本题6分）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．
(1)求这一函数的表达式；
(2)当气体压强为时，求V的值．
22．（本题8分）为了考查某校学生的体重，对某班45名学生的体重记录如下（单位：千克）：
48，48，42，50，61，44，43，51，46，46，51，46，50，45，52，54，51，57，55，48，49，48，53，48，56，55，57，42，54，49，47，60，51，51，44，41，49，53，52，49，61，58，52，54，50
(1) 这个问题中的总体、个体、样本、样本容量分别是多少？
(2) 请用简单的随机抽样方法，将该班45名学生体重分别选取含有6名学生体重的两个样本和含有15名学生体重的两个样本.
23．（本题8分）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，．连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，周长是18，则的周长是多少．
24．（本题8分）郑州大观音寺，始建于唐代，辉煌于明清，某校课外兴趣小组为测量大殿高度，进行了一系列测量，如图，地面上C，D两处的距离为，，求大殿的高度．（结果保留整数．参考数据：）

25．（本题10分）从图所示的风筝中可以抽象出几何图形，我们把这种几何图形叫做“筝形”．
具体定义如下：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（）结合图，通过观察、测量、折纸，可以猜想“筝形”具有诸如“平分和”这样的性质，请结合图形，再写出两条“筝形”的性质．
①____________________________．
②____________________________．
（）从你写出的两条性质中，任选一条“筝形”的性质给出证明．
26．（本题10分）如图①，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的值；
(3)如图②，过点C作于点E，交于点F，当点P在运动过程中，试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
27．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，，点B的坐标为．抛物线 经过A、B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使
①求点 P的坐标；
②在直线上是否存在点M，使为等腰三角形?若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年江苏中考最后一卷
数学参考答案
一、单选题
1．C
【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
【详解】解：2024的倒数是；
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了求一个角的补角度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的补角的度数是，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可．
【详解】解：从四个选项的甲骨文看，只有选项B中的甲骨文能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，而其余甲骨文则不具备这样的特性；
故选：B．
4．D
【分析】根据实数运算法则化简各式子即可.
【详解】解：(A)原式＝a2+2ab+b2，故A错误；
(B)原式＝27a6，故B错误；
(C)原式＝1÷()2＝25，故C错误；
(D)原式＝2﹣5＝﹣3，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查实数运算和整式运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
5．D
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，从而可得答案．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴，
∴，
故选D
6．B
【分析】本题考查了简单概率的计算，明确题意，知道只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，是解答本题的关键．任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，据此即可作答．
【详解】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
【详解】解：连接、，
∵是圆内接五边形，
∴，
∴，
故选B．
8．A
【分析】在BC上截取BE＝BD，根据等腰直角三角形的性质求得BA和BE，再由旋转的性质证明△BDP'≌△BEP，从而可得到PE＝P'D，再由等腰直角三角形的性质求得PE，从而求得DP′的最小值.
【详解】解：如图，在BC上截取BE＝BD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， CD⊥AB，
∴BA＝4，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠DCA＝45°，BD＝CD＝AD＝2＝BE，
∵旋转
∴BP＝BP'，∠PBP'＝45°，
∵BE＝BD，∠ABC＝∠PBP'＝45°，BP＝BP'
∴△BDP'≌△BEP（SAS）
∴PE＝P'D
∴当PE⊥CD时，PE有最小值，即DP'有最小值，
∵PE⊥CD，∠BCD＝45°，
∴CE＝PE＝BC﹣BE＝4﹣2
∴P'D =PE＝2﹣2
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质并能熟练应用是解题的关键.
二、填空题
9．
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此求解即可．
【详解】解：数据53500用科学记数法表达为，
故答案为：．
10．
【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
分式方程去分母转化为整式方程，将1代入整式方程即可求出的值．
【详解】解：分式方程去分母得：，
由分式方程的解为，
代入整式方程得：，
解得：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了提公因式法运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．提公因式分解即可解答．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形的性质，勾股定理，总结归纳出规律是解题的关键．
根据题意表示出，，的值，找到规律，根据规律计算即可．
【详解】解：由题意可知，面积为的正方形的边长为1，，
面积为的正方形的边长为，，
面积为的正方形的边长为，，
面积为的正方形的边长为，，
．
一般规律为：
，则．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查条形统计图与折线图的综合运用，掌握统计图的信息的关系是解题的关键，根据销售总额与占比计算出相应的量进行比较即可求解．
【详解】解：某超市月的销售总额为万元，水果类销售额占比为，
∴某超市月水果类的销售额为：万元；
某超市月销售总额为万元，水果类销售额占比为，
∴某超市月水果类的销售额为：万元；
∵，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求函数解析式，先设平移后的函数解析式为，再将代入函数解析式，求解即可．
【详解】设平移后的函数解析式为，
把代入函数解析式，得，解得，
∴平移后的函数解析式为，
故答案为：．
15．900元
【分析】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
将二次函数一般式改为顶点式．再结合题意可知当时，y有最大值，求出最大值即可．
【详解】解：∵，且，
又∵售价x的范围是，
∴当时，y有最大值，最大值为900，
∴最大利润是900元．
故答案为：900元．
16．或或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，，
当时，，

由三角形的外角性质得，即，
此情况不存在；
当时，
，，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
∴；
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
三、解答题
17．
【分析】本题考查了立方根，算术平方根以及实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可．
【详解】
．
18． 整数解有
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别解几个不等式，然后把它们的解集的公共部分作为原不等式的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小的小于大的为空集”，是解题的关键；
分别解出两不等式的解集，再根据大于小的小于大的取中间得到不等式组的解集即可求解．
【详解】解：
解不等式得
解不等式得，
则不等式组的解集为：，
不等式组的整数解有：
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标特点以及绝对值；
（1）根据轴上点的特点作答即可；
（2）根据点到轴和轴相等列出，再结合第二象限点的特点求出，代入即可．
【详解】（1）在轴上
解得：
（2）点到轴和轴距离相等
在第二象限
解得：
20．(1)
(2)平方米
【分析】本题考查列代数式及代数式求值．
（1）阴影部分的面积=长方形广场面积正方形草地，据此即可列出代数式；
（2）将，，代入即可求解．
【详解】（1）解：阴影部分的面积
（2）解：当，，时，代入（1）得到的式子，
得（平方米）．
答：阴影部分的面积为59600平方米
21．(1)
(2)2
【分析】（1）根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）直接把代入解析式计算即可．
【详解】（1）解：设P与V的函数关系式为，
则，
解得，
∴函数关系式为．
（2）解：将代入中，
得，
解得，
∴当气球内的气压为时，气球的体积为2立方米．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图像及性质是解题的关键．
22．(1) 总体是学生体重的全体，个体是每个学生的体重，样本是45名学生的体重，样本容量是45．（2）见解析.
【分析】(1) 根据总体、个体、样本、样本容量的定义可以得出，这个问题的总体是某校学生体重的全体，个体是每个学生的体重，样本是45名学生的体重，样本容量是45．
(2) 样本的抽取要有代表性．就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【详解】(1)这个问题的总体是某校学生体重的全体，个体是每个学生的体重，样本是45名学生的体重，样本容量是45．
(2)将本班45名学生的体重依次编号，从中抽取6名学生的体重，像这样连续做两遍，选出的两个样本为：①48，42，50，61，53，48和49，53，42，54，49，50；将本班45名学生的体重，依次编号从中抽取15名学生的体重，像这样连续做两遍，选出的两个样本为：
①42，50，61，48，53，54，56，55，60，44，49，53，52，61，57；
②48，50，44，43，45，54，51，49，48，53，51，47，60，54，50．
【点睛】要根据体、个体、样本、样本容量的定义来确定第一小题的答案；第二小题要注意本的抽取要有代表性．
23．(1)详见解析
(2)36
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
（1）先由平行四边形的性质得到，，再由平行线的性质得到，，进而证明，得到，据此可证明结论；
（2）证明四边形是菱形，得到，进而得到，则的周长是36．
【详解】（1）证明：在中，，
，，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形
（2）解；四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，即，
即，
，即的周长是36．
24．大殿的高度为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，设，根据题意可知，，以为等量关系列出关系x的一元一次方程求解，最后再根据求出即可．
【详解】解：设，
∵，
即，
又∵，
∴，
即，
解得：，
∴．
答：大殿的高度为．
25．（）①．②，．（）见解析
【分析】（1）①一组对角相等，∠ABC=∠ADC；②AC垂直平分BD，OB=OD，BD⊥AC;
（2）证明∠ABC=∠ADC，由已知条件不难证明△ABC≌△ADC，即可证明∠ABC=∠ADC．
【详解】解：（1）①一组对角相等，∠ABC=∠ADC；
②AC垂直平分BD，OB=OD，BD⊥AC．
（2）证明：∠ABC=∠ADC，
证：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC．
【点睛】本题考查四边形综合．关键结合全等三角形的判定与性质解题.
26．(1)见解析
(2)；
(3)．
【分析】（1）连接，证明，求得，据此即可证明为的切线；
（2）过点作，设，求得，，利用勾股定理求得，再求得，据此求解即可；
（3）连接并延长交的延长线于点，利用切线长定理求得，，由，得到，，利用相似三角形的性质即可求得．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，过点A作射线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：过点作，垂足为点，
设，
∴，
∵，
∴为的切线，
∵、、为的切线，
∴，，
∴，
∵射线，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：，理由如下，连接并延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
27．(1)
(2)①；②存在，点 M的坐标为：或或或或
【分析】（1）根据条件求出,，根据待定系数法求解即可；
（2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解；分情况讨论，分别求出，根据等腰三角形的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，即
∴，
∴，
把代入． 得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）①设的解析式为：，
∵,，所以解得，
所以的解析式为：，
设， 则，
∵
∴
解得：（舍） 或，
∴；
②∵M在直线上， 且， 设，
∴
分三种情况：
i） 当时，
∴
解得：
∴
ii） 当时，
∴
解得：或
∴，
iii） 当时，
∴
解得：或
∴或
综上，点 M的坐标为：
或或或或
【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的运用，等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．