2024届山东省潍坊市高考三模数学试题（学生版+教师版）

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2024.5
一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1. 设复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，则的子集个数是（ ）
A. 3 个B. 4 个C. 8 个D. 16 个
3. 如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（ ）

A. 2B. 1C. D.
4. 某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（ ）
A. B. C. D.
5. 牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根就是函数的零点，取初始值的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为 的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，它们越来越接近．设函数，，用牛顿迭代法得到，则实数（ ）
A. 1B. C. D.
6. 已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8 已知 ，则 （ ）
A. 8B. 10C. D.
二、多项选择题: 本大题共 3 个小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有 多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则（ ）
A. 直线与是异面直线
B. 直线与所成的角是
C. 直线平面
D. 平面截正方体所得的截面面积为.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件
B. 掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件
C. 若的平均数是7，方差是6，则的方差是
D. 某人在10次射击中，设击中目标的次数为，且，则的概率最大
11. 已知 双曲线的左、右焦点，点在上，设的内切圆 圆心为，半径为，直线交于，若， ，则（ ）
A. B. 圆心的横坐标为 1
C. D. 的离心率为2
三、填空题: 本大题共 3 个小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 已知向量，若，则实数__________
13. 已知关于 的方程 的所有正实根从小到大排列构成等差数列， 请写出实数 的一个取值为______
14. 已知均正实数，函数．
（1）若的图象过点，则的最小值为______；
（2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为______．
四、解答题: 本大题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.
15. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角大小．
16. 已知正项等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若求数列的前项和.
17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，为直线上一点，动点满足 ，.
（1）求动点的轨迹的方程;
（2）若过点作直线与交于不同的两点，点，过点作轴的垂线分别与直线交于点.证明：为线段的中点.
18. 某高校为了提升学校餐厅的服务水平， 组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分 调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100 分)作为样本，绘制如图所示的 频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:

（1）求图中 的值，并估计满意度评分的分位数;
（2）若样本中男性师生比为，且男教师评分为80分 以上的概率为0.8， 男学生评分为80分以上的概率0.55， 现 从男性师生中随机抽取一人， 其评分为80分以上的概率为多少?
（3）设在样本中，学生、教师人数分别为，记所有学生的评 分为，其平均数为，方差为，所有教师的评分为，其平均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为 ，若，试求的最小值.
19. 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 ；
②平方关系 ；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数一个正确的性质并证明；
（2）当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；
（3）若，证明：
满意度评分

满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意