2024年安徽省安庆市桐城市第二中学中考三模数学试题（学生版+教师版）

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注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共2页，“答题卷”共2页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. 2024D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【详解】解：有理数的相反数是2024，
故选：C．
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法和除法法则、整式的加法法则、乘法公式即可作出判断．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加法、乘法、同底数幂的除法运算，这些在整式的运算学习中是常犯的错误．避免再犯的关键是熟练掌握运算法则，弄清法则的特点．
3. 2024年春节假期全国国内旅游出游474000000人次，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
4. 由立方体切割得到的一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）．

A. 三棱柱B. 圆柱C. 长方体D. 三棱锥
【答案】D
【解析】
【分析】根据三视图的知识，俯视图为一个三角形，主视图与左视图都是一个三角形，故这个几何体是三棱锥．
【详解】解：根据图中三视图的形状，符合条件的只有三棱锥，因此这个几何体的名称是三棱锥，
故选：D．
【点睛】此题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．
5. 如图，某停车场内有序号为1，2，3的三个车位顺次排成一排，现有甲，乙，丙3辆车需要随机停放到这三个车位上，则甲和乙两车恰好都停放在两边车位的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用列表法或画树状图法求概率．正确的列出表格表示出所有等可能的情况是解题关键．
【详解】解：根据题意可列表格如下，
由表格可知共有6种等可能得情况，其中甲和乙两车恰好都停放在两边车位的情况有2种，
∴甲和乙两车恰好都停放在两边车位的概率为．
故选：D．
6. 某旅游景区去年第二季度游客数量比第一季度下降20%，第三、四季度游客数量持续增长，第四季度游客数量比第一季度增长15.2%，设第三、四季度的平均增长率为，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设第三、四季度的平均增长率为，根据题意可列出一元二次方程，即可判断.
【详解】设第三、四季度的平均增长率为，依题意得
故选A
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程.
7. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可．
【详解】解：如图所示：作直径，
在中，，，
又（圆周角定理），
故选A.
8. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标之和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则m的值为（ ）
A. 9B. 4C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】设二次函数图象上的“零和点”坐标为，则有，根据二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，可知，计算求解即可．
【详解】解：设二次函数图象上的“零和点”坐标为，
将代入得，，即，
∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式．解题的关键掌握二次函数与二次方程之间的关系．
9. 已知三个实数，，，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. ，B. ，C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先推出，进而得到，再由得到，由此即可判断A、B；求出即可判断C、D．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，即或，故A、B结论错误，不符合题意；
∵，
∴，故C结论错误，不符合题意，D结论正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确推出，是解题的关键．
10. 如图，边长为4的正方形中，E为上一点，且，F为边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、运用二次函数性质求最值等知识点，列出关于x的关系式是解题的关键．
如图：过G点作交于点H，过G点作交于点I，根据线段绕点F顺时针旋转得到线段，可得，，利用易证，再根据四边形是矩形，可得，设，则，根据勾股定理可得，即当时，有最小值．
【详解】解：如图：过G点作交于点H，过G点作交于点I，
∵线段绕点F顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
又∵，
∴,
∵，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，，
∴当时，有最小值，
∴当时，最小值是，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是___________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
12. 如果，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】先运用因式分解法得，求得，代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解法的应用．熟练掌握因式分解法是解题的关键．
13. 如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】设，直线与轴的交点为，连接，根据平行线间的距离处处相等，得到和的面积相等，进而求出点坐标，待定系数法求出k的值即可．
【详解】设，直线与轴的交点为，连接，
∵，
∴当时，，
∴，
∵直线与直线平行，
∴和的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
14. 已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧．
（1）若抛物线经过，则m=________．
（2）若时，，则m取值范围是_________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，求二次函数解析式；
（1）把代入计算即可；
（2）对称轴为，根据且A、B两点在该抛物线对称轴同侧可得或，再结合时，求解即可．
【详解】（1）把代入得，
解得，
故答案为：；
（2）∵
∴抛物线对称轴为，
∵A、B两点在该抛物线对称轴同侧，
∴或，
当时，当时随的增大而增大，
∴此时当时有最大值，
∵，
∴，解得，
∴；
当时，当时随增大而减小，
∴此时当时有最大值，
∵，
∴，解得，
∴；
综上所述，或，
故答案为：或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】6．
【解析】
【分析】先计算有理数的乘方、化简绝对值、特殊角的正弦值、负整数指数幂，再计算实数的混合运算即可得．
【详解】解：原式，
，
．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、化简绝对值、特殊角的正弦值、负整数指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系并给出了格点（顶点为网格线的交点）．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）以点O为位似中心，将作位似变换得到，使得，画出位似变换后的；
（3）和之间的位置关系为_______．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或平行．
【解析】
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到关于y轴对称的；
（2）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到；
（3）通过连接, 先证，再通过,，即可求得，则．
【详解】（1）即所求；
（2）即为所求；
（3）如图，连接,
∵
∴
∵,
∴即
∴
故答案为．
【点睛】本题考查了作图-位似变换和平行线得判定，作图-位似变换方法：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 甲乙两人同驾一辆汽车出游，各匀速驾驶一半路程，共用3小时．到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶”．乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶”．试求乙驾车的时长是多少小时．
【答案】乙驾车的时长为1.8小时．
【解析】
【分析】设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3-x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．
【详解】设乙驾车的时长为x小时，则甲驾车的时长为小时．
由题知甲的速度为，乙的速度为，
可得方程
解得，．
经检验，是原方程的解，当不合题意，舍去．
答：乙驾车的时长为1.8小时．
【点睛】考查了分式方程的应用，解题的关键是能够分别表示出各自的实际速度，难度中等．
18. 很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：
【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：


______；
【解决问题】请用上面表示几何图形面积方法写出_____（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】根据以上结论，计算：．
【答案】【规律探究】；【解决问题】；【拓展应用】
【解析】
【分析】本题考查实践探索问题、整式的混合运算等知识点，仔细观察图形与算式的关系，发现规律为立方数的和等于最大正方形面积是解题的关键．
（1）计算大正方形面积，然后将36开方即可解答；
（2）可转化为大正方形面积，其边长为，再求面积化简即可；
提公因式8转化为，然后运用规律计算即可．
【详解】解：规律探究：大正方形的面积．
故答案为：．
解决问题：由上面表示几何图形的面积探究可得：，
又，
∴．
故答案为：．
拓展应用：．
故答案为：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图①，是古代汉族农用工具．桔槔始见于《墨子·备城门》，作“颉皋”，是一种利用杠杆原理取水机械．如图②是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，，点A从最高点逆时针旋转到达最低点，求此时水桶B上升的距离．（结果保留两位小数．参考数据：，，，，，）
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：过O点作，再过和B点分别作，，根据已知条件即可得出米，米，再解和即可求出答案．
【详解】解：过O点作，再过和B点分别作，，如图∶
∵米，
∴米，米
又∵
∴，，
而，，
在和中，
，
∴
答：水桶B上升的距离约为米．
20. 如图，四边形内接于，为的直径，D为弧的中点，过点D的切线交的延长线于点E．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）平行，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据D是的中点，得出，根据等腰三角形的性质得出，求出，根据切线性质得出，求出，得出，根据平行线的判定得出结论即可；
（2）连接，作交于F点，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，代入数据求出．
【小问1详解】
解：，理由如下：
连接，如图：
∵D是的中点，
∴，
又∵O是中点，
∴是的中线，
∴，
∴，
而是圆的切线，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，作交于F点，
由（1）可知：，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某校开展了校园安全知识抽检活动．从七、八年级分别随机抽取50名学生参与抽检，并对检测情况（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
①七年级学生的检测成绩频数分布直方图如图所示；
并且这一组的具体成绩为：80，82，84，84，86，86，88，88，88，88．
②七、八年级检测成绩的平均数、中位数如表所示：

根据以上信息，回答下列问题：
（1）七年级抽测学生中，80分以上（含80分）有______人，m值为______，并补全频数分布直方图；
（2）七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，请判断哪位学生在各自年级抽测学生中的排名更靠前，并简要说明理由；
（3）该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数81.4分的人数．
【答案】（1）29，85，图见解析
（2）学生甲的排名更靠前，理由见解析
（3）336人
【解析】
【分析】（1）根据七年级抽测学生总数及已知频数求出这一组的人数，根据中位数的定义求m；
（2）根据两个年级数据的中位数进行判断；
（3）利用样本估计总体思想求解．
【小问1详解】
解：七年级抽测学生中，80分以上（含80分）有：（人），
结合这一组的具体成绩，可知第25名、第26名学生的成绩分别为：86分，84分，因此，
这一组的人数为：，
故答案为：29，85，补全后图形如下．
【小问2详解】
解：学生甲的排名更靠前，理由如下：
学生甲的成绩大于七年级的中位数，学生乙的成绩等于八年级的中位数．
【小问3详解】
解：七年级抽测的学生中超过81.4分的学生人数为：，
（人），
因此估计成绩超过平均数81.4分的有336人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、利用样本估计总体等，解题的关键是根据频数分布直方图及这一组的具体成绩得出解题所需数据．
七、（本题满分12分）
22. 某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用．
（1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为 （元/千克），获得的总利润为 （元）；
（2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数关系式；
（3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润．
【答案】（1）62（元），10340（元）；（2）w=﹣20x2+360x+10000；（3）批发商所获利润w的最大值为11600元．
【解析】
【分析】（1）将x=1代入水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x即可求得该种水果的售价，然后乘以水果质量再减去成本即可求得利润；
（2）根据利润=售价×销售量﹣成本列出函数关系式即可；
（3）利用配方法即可求出利润最大值．
【详解】解：（1）当x=1时，y=60+2x=62（元），
利润为：62×（500﹣10）﹣500×40﹣40=10340（元）；
（2）由题意得：w=（60+2x）（500﹣10x）﹣40x﹣500×40
=﹣20x2+360x+10000；
（3）w=﹣20x2+360x+10000=﹣20（x﹣9）2+11620
∵0≤x≤8，x为整数，当x≤9时，w随x的增大而增大，
∴x=8时，w取最大值，w最大=11600．
答：批发商所获利润w的最大值为11600元．
考点：二次函数的应用．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在中，，，点是上一点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）如图2，点是的中点，连接，．
①求的度数；
②当，且点为中点时，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形；
（1）根据垂直的定义得出，根据图角的余角相等可得，根据可得：；
（2）①连接，通过证明，得出，进而得出，从而得出的度数；
②通过证明，得出，设，则，根据勾股定理用含有的代数式表示出，进而得出的值，再根据三角形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
解： ，，
，，
，
，
，
，
又，
；
【小问2详解】
如图2，连接，
①，点为的中点，
，
，，
，
，，
由（1）知，
，，
即，
，
，
，，
，
，
，即，
，
；
②由题意得，当时，，在中，，
在中，，
，
又，
，
，
为的中点，
设，则，
，
，即，
，
的面积为：．
选项
逐项分析
正误
A
错
B
对
C
错
D
错
甲
乙
1
2
3
1
1，2
1，3
2
2，1
2，3
3
3，1
3，2
年级
平均数（分）
中位数（分）
七年级
81.4
八年级
87.2
88