2024年河南省南阳市淅川县中考二模数学试题（学生版+教师版）

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1．本题卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 在实数，，，中，无理数是（ ）
A. B. C. D. 3.14
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的特征，即可解答．
【详解】解：在实数，，，中，无理数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．
2. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体．
【详解】解：A、正三棱柱的主视图是三角形，左视图是矩形，本选项符合题意；
B、圆柱的主视图与左视图都是长方形，本选项不合题意；
C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不合题意；
D、正方体的主视图和左视图相同，都是正方形，本选项不合题意．
故选：A．
3. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，单项式除以单项式和积的乘方等计算法则求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，单项式除以单项式和积的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
5. 如图，，，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了．
6. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解题要求对两个不等式进行求解得到解集即可对照数轴进行选择．
【详解】解不等式x+1＜0，得x＜-1，
解不等式，得，
所以这个不等式组的解集为，在数轴上表示如选项A所示，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解，正确求解不等式组的解集并在数轴上表示是解决本题的关键．
7. 若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴没有交点，得出，求出的取值范围即可得出结论．
【详解】∵抛物线与x轴没有交点，
∴．
∴．
∴c的值可以是8．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与x轴交点问题，熟知二次函数图象与x轴的交点个数与之间的关系是解题的关键．
8. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，确定在同一个圆上，根据量角器量角及圆周角定理即可得到．
【详解】解：令圆心为，连接，如图所示：
以量角器的直径为斜边画直角三角形，
在上，
量角器上点对应的读数是，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，读懂题意，掌握量角器量角的方法及圆周角定理求解是解决问题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与x轴重合，将绕点O顺时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O顺时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，以此类推……，则点的坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点P作于点B，结合等边三角形的性质求出，再由旋转的性质可得点，点，点，同理，……，由此发现，从点P开始每变换6次一个循环，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作于点B，

∵为等边三角形，且边长为2，
∴，，，
∴，
∴点，
∵将绕点O顺时针旋转，得到，
∴点P与点关于y轴对称，
∴点，
∵作关于原点O的中心对称图形，得到，
∴点于点关于原点对称，
∴点，
∵将绕点O顺时针旋转，得到，
∴点，
同理，……，
由此发现，从点P开始每变换6次一个循环，
∵，
∴点与点重合，
∴点的坐标是．
故选：A
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的性质，轴对称变换，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
10. 如图，E为矩形边上的一点，点P从点B沿折线运动到点C时停止，点Q从点B沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t的函数关系图象如图，则的面积为​（ ）
A. 30B. 25C. 24D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查动点函数图象，三角形的面积，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．
根据图象可以得到、的长度，再用当时的面积为30求出的长，再用三角形的面积公式求出的面积．
【详解】解：由图象可知，
，，
，
当时，，
，
，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若式子，则实数x的值是______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的值为0的条件，可得且，即可求解．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件及利用平方根解方程，熟练掌握分式的值为0的条件为：分式的分子等于0，分母不等于0是解题的关键．
12. 为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛_______．（填“小洋”或“小亮”）．
【答案】小亮
【解析】
【分析】本题考查方差与折线统计图．根据折线统计图的波动情况可判断两名同学谁的成绩更加稳定．
【详解】解：由折线统计图可得，
小洋的波动大，小亮的波动小，
小亮的成绩更加稳定，
应选小亮．
故答案为：小亮．
13. 在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求概率，根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列出表格如下：
由表可知，一共有9种情况，两次摸出的球都是红球的有4种情况，
∴两次摸出的球都是红球的概率，
故答案为：．
14. 如图，是的直径，A是⊙O外一点，点C在上，与相切于点C，，若，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由切线的性质可证明，再由等边对等角可证明，推出，根据相似三角形的性质计算即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵与相切于点C，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15. 如图，中，，，点D为边AC上的中点，点E为边上一个动点，将沿折叠，点C的对应点为点F，交的直角边于点G，当点G为直角边的中点时，则长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况进行讨论，当G为直角边的中点时，当点G为直角边的中点时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵中，，，
∴；
当G为边的中点时，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵是由折叠得到的，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点G为直角边的中点时，如图所示：
则，
∵点D是的中点，
∴，，
∴，
∴，
根据折叠可知，，
，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
综上分析可知，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，平行线的性质，中位线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查立方根定义、幂的运算法则、分式的运算等；熟练相关定义和法则是解题的关键．
（1）根据立方根定义、0指数幂、负指数幂法则计算即可；
（2）根据分式运算法则计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17. 某校对九年级400名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息（用x表示成绩，数据分成5组：A：，B：，C：，D：，E：）
乙班成绩在D组的具体分数是：42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，43，44，45，45甲，乙两班成绩统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出n的值；
（2）小明这次测试成绩是43分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由；
（3）假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）
（2）乙班，理由见解析
（3）188名
【解析】
【分析】（1）根据中位数的意义和计算方法计算即可，
（2）利用中位数的意义进行判断；
（3）根据用样本估计总体的方法，估计总体的优秀率，进而计算出优秀的人数．
【小问1详解】
乙班的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数都是42，因此中位数是42，即n=42，
【小问2详解】
乙班．
∵小明的成绩为43分，且在班上排名属中游略偏上，而甲班中位数是44.5，乙班的中位数是42，
∴小明是乙班级学生；．
【小问3详解】
∵甲班中位数44.5，
∴排在第25，26的两个数应该是44，45，
甲班得45分及45分以上的有：（人）．
乙班得45分及45分以上的有：（人）
两个班的整体优秀率为：
∴（人），
∴该校本次测试成绩优秀的学生人数为188名．
【点睛】考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义是正确解答的前提．
18. 下面是小颖同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于这一命题，请你帮她补充完整．
命题：三角形的三个内角的和等于．
已知：如图，．
求证：．
证明：如图1，延长到，以为边，在其右侧尺规作，
∵，
∴……
请你帮她完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作已知角、平行线的判定与性质，熟练掌握尺规作已知角是解题的关键．
以点为圆心，适当长为半径画弧和、相交，以点为圆心，相同长为半径画弧和相交于一点，以该点为圆心，以、上两交点距离为半径画弧，在直线的下方和上一步所作弧交于一点，连接该点与点，得到；根据“同位角相等，两直线平行”，判定，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据平角的度数为，得出，等量代换，即可得证．
【详解】证明：如图，即为所求作的角，
∵，
∴，
∴，
∵∠，
∴，
即三角形三个内角的和等于．
19. 如图，点在反比例函数的图象上，过点A作y轴的垂线并延长交反比例函数的图象于点B，连接，以点O为圆心，长为半径作交y轴正半轴于点C，连接．已知的面积为．
（1）求m的值；
（2）求反比例函数的表达式；
（3）求点B的坐标及的长．
【答案】（1）
（2）
（3）点B的坐标为，弧长为
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质、解直角三角形、弧长的计算，掌握弧长公式、反比例函数的性质是解题的关键．
（1）将代入，即可求解；
（2）设与y轴交于点D，由题意知，易知，设反比例函数的表达式为，进而根据的几何意义即可求解；
（3）根据题意设设点，代入，得点B的坐标为，进而可得，再根据弧长公式即可求得的长．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入，得，解得；
【小问2详解】
如图，设与y轴交于点D，
∵，
∴，
∵，
∴，
设反比例函数的表达式为，
∴，解得，
∵反比例函数的图象过第二象限，
∴反比例函数的表达式为;
【小问3详解】
如图，由（2）得，
∵轴，
∴，
设点，
将代入，
解得，
∴点B的坐标为，
∴，
在中，，由勾股定理得 ,
∴，
∴的长．
20. 为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据：

（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
【答案】（1）AD的长度约为千米
（2）小明应该选择路线①，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形即可；
（2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可．
【小问1详解】
解：过点作于点，

由题意可得：四边形是矩形，
∴千米，
∵点D在点A的北偏东方向，
∴，
∴千米，
答：AD的长度约为千米；
【小问2详解】
由题意可得：，，
∴路线①的路程为：（千米），
∵，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
由题意可得，
∴，
∴，，
所以路线②的路程为：千米，
∴路线①的路程路线②的路程，
故小明应该选择路线①．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键．
21. 花生糕是开封市的一种名吃，香甜利口，含口自化，令人回味无穷，深受老百姓喜爱．已知甲，乙两店都以20元/盒的价格销售同一种花生糕，且同时做优惠活动：
甲店：办理本店会员卡（50元/张），可享受每盒七折销售；
乙店：购买一定数量的花生糕后，超过的部分打折销售．
活动期间，若游客购买花生糕x盒，在甲，乙两店所需费用分别为元、元，与x间的函数图象如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出、与x间的函数关系式；
（2）当游客购买多少盒花生糕时，两家店花费一样；
（3）若游客准备购买18盒花生糕，你认为在那家店购买更划算？
【答案】（1），
（2）当时，在两家店购买的费用一样；
（3）在乙店购买更划算．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）根据会员卡的费用销售额可得与x的关系式；根据一次函数的图象分段求解与的关系式；
（2）利用列方程，解方程可解题；
（3）将代入函数关系式计算y的值，在进行比较可求解．
【小问1详解】
由题意得，，
当时，，当时，设，
由题意得，解得．
∴，
∴与x间的函数关系式为．
【小问2详解】
由题意得，或，
解得或，
∵x为整数，
∴x取15，
即当时，在两家店购买的费用一样；
【小问3详解】
时，元，元，
∵，
∴在乙店购买更划算．
22. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，

∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
23. 中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．
问题发现
如图①，若直角三角形的直角边BC＝3，斜边AB＝5，则中间小正方形的边长CD＝______，连接BD，△ABD的面积为______．
知识迁移
如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC＝90，时，△PAB的面积为______．
拓展延伸
如图③，已知∠MBN＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．
（1）已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF＝BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点，当AB＝10，CF＝2时，直接写出线段DE的长．
【答案】问题发现：1，；知识迁移：5；拓展延伸：（1）BE＝DE＋GF；（2）或
【解析】
【分析】问题发现：求根据勾股定理求出长，然后利用分割法和整体法分别求正方形面积，依此列等式求出小正方形面积，即可解决问题；
知识迁移：如图，将绕B 点顺时针旋转90°到，△PBB'为等腰直角三角形，然后根据等底同高三角形面积相等求出的面积，即可解决问题；
拓展延伸：（1）过点G作GH⊥BE于点H，利用AAS证明△GBH≌△BDE ，得出BH＝DE，然后根据线段间的和差关系即可得出结论；
（2）分EF在线段CD上和DC的延长线上两种情况讨论，设，在中，根据勾股定理建立方程求解，设，，证明，根据相似的性质列比例式求解，即可解决问题．
【详解】问题发现：解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1， ．
知识迁移：如图，将绕点顺时针旋转90°到，
∵
∴，
∴（等底同高），
∵，
∴，
即△PAB的面积为5．
故答案为：5．
拓展延伸：（1）BE＝DE＋GF
证明：如图，过点G作GH⊥BE于点H，
∵BE⊥CD，GF⊥CD，
∴∠BHG＝∠EHG＝∠HEF＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴EH＝GF，
∵EF＝BE ，
∴GH＝BE
∵∠MBN＝90° ，
∴∠2＋∠3＝90°，
∵∠1＋∠2＝90° ，
∴∠1＝∠3，
可得△GBH≌△BDE（AAS） ，
∴BH＝DE，
∵BE＝BH＋EH，
∴BE＝DE＋GF；
（2）解：如图，当EF在线段CD上时，
设，
在中，
∵，
∴，
解得或（舍去），
设，，则由（1）得，
∵
∴
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图，当在的延长线上时，
与（1）同理可证△GBH≌△BDE（AAS），
∴ ，
则 ，
∵设，
∴，
∴ ，
∴ ，
解得或-6（舍去），
设，，
∴a-b=8，
∵，
∴，
∵，
∴△BED∽△FCG，
∴，
∴，
∴，
∴ ,
解得 ，
即线段的长为或．
【点睛】本题考查了用割补法求面积，旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，以及三角形相似的判定和性质，解题的关键是能综合运用所学的数学知识，以及根据条件作出辅助线构造三角形全等．
第一次
第二次
红1
红2
白
红1
（红1，红1）
（红1，红2）
（红1，白）
红2
（红2，红1）
（红2，红2）
（红2，白）
白
（白，红1）
（白，红2）
（白，白）
班级
甲班
乙班
平均分
44.1
44.1
中位数
44.5
n
众数
45
42
方差
7.7
17.4