2024年河南省平顶山市九年级中考三模数学试题（学生版+教师版）

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1．本试卷共6页，三个大题，满分 120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：B．
2. 十四届全国人大二次会议审查的预算报告中，年的全国一般公共预算教育支出为亿，排在各项支出的首位．其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
用科学记数法将，表示为即可．
【详解】解：42906亿为，
故，
即亿用科学记数法的表示为，
故选：．
3. 如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“神”所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 华B. 夏C. 腾D. 飞
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方体的展开图中相对的面的特点，掌握相对的面之间一定相隔一个正方形成为解题的关键．
根据正方体展开图相对面上的汉字的特点即可即可解题．
【详解】解：由正方体的展开图特点可得：“神”和“腾”是相对面上的汉字．
故选C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂乘法，算术平方根和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 一直以来，青少年体质健康都备受关注，体育锻炼是增强青少年体质最有效的手段，小红在某一学期的体育成绩分别为：平时成绩为分，期中成绩为分，期末成绩为分，若学校规定：平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小红的最终成绩为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数的求法，根据加权平均数的计算方法列式进行计算是解题的关键．
【详解】解：∵平时成绩为分，期中成绩为分，期末成绩为分，平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，
∴小红的最终成绩，
故选：D．
6. 关于的一元二次方程的一个根是，则该方程的另一个根为（ ）
A B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据“若，是一元二次方程（）的两根时，”，先求出两根之积，再求出另一个根即可，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴该方程的两根之积，
该方程另一个根，
故选：A．
7. 如图，为半径，垂直于弦，垂足为D，连接，若，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握等边对等角成为解题的关键．
如图：连接，由等边对等角可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，最后再运用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴，
∵垂直于弦，
∴，
∵，
∴．
故选D．
8. 光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解．
【详解】解：过点F，作，则，
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，线段轴，，连接OA，OB，若将绕点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、旋转的性质、坐标与图形等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
延长交y轴于C，易得；再借助正切函数可得，进而说明点与点B关于y轴对称，据此确定点的坐标即可．
【详解】解：如图： 延长交y轴于C
点A的坐标为，线段轴，，
∴，
∴，即，
如图： 将绕点O逆时针旋转，
∴，即点与点B关于y轴对称，
∴．
故选：A．
10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图像及其性质,掌握二次函数图像的性质成为解题的关键．
根据二次函数图像的对称性确定点B的横坐标,可判断①;将代入并结合图像可判断②;根据抛物线的对称轴为直线可判断③;根据函数的增减性可判断④．
【详解】解:∵抛物线的对称轴为直线，
∴设点B的横坐标为b,则有:,解得:,
∴点B的坐标为,即①正确;
∵点B的坐标为,
∴当时,由函数图像可得函数值大于零,即,即②错误;
∵抛物线的对称轴为直线，
∴,即,即③错误;
∵
∴y随x的增大减小,即,即④正确．
综上,正确的有2个．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】4
【解析】
【分析】由题意直接利用去绝对值法则和立方根性质进行运算即可得出答案.
【详解】解：，，
则.
故答案为：4.
【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握去绝对值法则和立方根性质是解题的关键.
12. 一个不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外其它都相同，小明随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用树状图求概率，正确画出树状图成为解题的关键．
先根据题意画出树状图，然后确定所有结果数和满足题意的结果数，最后运用概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知共有12种结果，其中一红一白的结果数为6
所以恰好是一红一白的概率是．
故答案为．
13. 若实数m在数轴上的位置如图所示，则关于x的不等式组，的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集、正确得出关于m的不等式是解题关键．
先解不等式组的解集，再结合数轴得出解集得出关于m的等式，进而得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
由数轴可知，
所以，该方程组的解集为：．
故答案为：．
14. 如图，在扇形中，，点为的中点，点为上任一点，其中，当的值最小时，图中阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，扇形面积公式等知识点．正确作出点关于的对称点是解题的关键．
作点关于的对称点，连接和，分别交于点和点，当处于时，的值最小，通过证明，，进而得出为等边三角形，因为点为的中点，所以，，因为，所以，又因为，所以，所以，又因为，，所以，故的底为，高，即，因为在扇形中，，所以，故阴影部分的面积为．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接和，分别交于点和点，当处于时，的值最小，
根据对称的性质可得，,
又∵，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴为等边三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴的底为，高，
即，
∵在扇形中，，
∴，
故阴影部分的面积为，
故答案为．
15. 已知，四边形是矩形，，的平分线交边于点M，的平分线交边所在直线于点N，若，则边的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
先根据题意画出图形，设，过作,由矩形的性质可得、,再根据角平分线的性质定理可得；再说明，然后根据勾股定理可得，进而得到、，然后运用勾股定理列方程解答即可．
【详解】解：如图：设，过作，
∵四边形是矩形，
∴,，
∴，
∵的平分线交边所在直线于点N，，
∴
∵的平分线交边于点M，
∴，
∴
∴，，
∴，
在中运用勾股定理可得：
，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8道小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，再加减计算即可；
（2）根据单项式乘以多项式、完全平方公式展开、去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 为全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校设立了劳动基地，其中七年级甲、乙两班种植了番茄，现从甲、乙两班基地各随机抽取棵番茄植株，测量了它们的高度，并对数据进行了收集、整理、分析，并给出了下面部分信息．
．甲、乙两班基地各抽取的棵番茄植株高度（）的折线图：
．甲、乙两班基地各抽取的棵番茄植株高度的统计量表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_____；_______．
（2）求表中的值．
（3）结合两个样本的折线图或平均数，评价甲、乙两班基地番茄植株的高度状况．
【答案】（1）；
（2）
（3）从折线图可以看出，甲班基地样本的波动小于乙班，可得出甲班基地番茄植株高度的整齐程度好于乙班；从平均数相同，可得出甲班基地番茄植株的平均高度与乙班大体相同
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、求加权平均数、根据数据的稳定性和平均数评价，熟练掌握中位数、众数、加权平均数的定义是解题的关键．
（1）根据中位数、众数的定义，结合折线图得出答案即可；
（2）根据折线图，求加权平均数计算即可；
（3）根据数据的波动大小和平均数大小比较，评价即可．
【小问1详解】
解：∵由折线统计图得：甲班数据有个，个，个，1个，
∴甲班数据按大小排序，在第和第的都是，
∴，
∵由折线统计图得：乙班数据出现最多的是，有个，
∴，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：由折线统计图得：乙班的平均数；
【小问3详解】
解：从折线图可以看出，甲班基地样本的波动小于乙班，可得出甲班基地番茄植株高度的整齐程度好于乙班；从平均数相同，可得出甲班基地番茄植株的平均高度与乙班大体相同．
18. 已知，在中，，以点A为圆心，为半径作圆，交于点P．
（1）请使用无刻度的直尺和圆规作线段PB的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
（2）线段与（1）中的所作的垂直平分线相交于点Q，连接，求证：是的切线．
（3）连接，若，直接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线、圆的切线的证明、勾股定理等知识点，掌握圆的切线的证明和性质成为解题的关键．
（1）利用垂直平分线的作图步骤作图即可；
（2）如图：连接，根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得、，再根据已知条件可得，然后根据等量代换可得即可证明结论；
（3）由垂直平分线的性质可得，再根据勾股定理可得，进而得到，最后再运用勾股定理即可解得．
【小问1详解】
解：如图：直线即为所求．
【小问2详解】
解：如图：连接，
∵线段PB的垂直平分线，
∴，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,即,
∴,
∴是的切线．
【小问3详解】
解：∵线段PB的垂直平分线，
∴，
∵，
∴,
∴,
∵，
∴．
19. 如图，反比例函数（）的图象与直线的交点，均在正方形网格线的格点上．
（1）填空：______，_______，_______．
（2）若将直线向下平移个单位长度，平移后所得直线与双曲线（）是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；；
（2）存在，交点坐标为
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数解析式、一次函数图象平移问题、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握求函数解析式、正确计算是解题的关键．
（1）根据“交点，均在正方形网格线的格点上”，结合图象得出、，分别代入反比例函数和直线解析式中计算得出答案即可；
（2）根据一次函数图象的平移，得出平移后直线的解析式，结合反比例函数的解析式计算求出交点坐标即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数（）的图象与直线的交点，均在正方形网格线的格点上，
∴由图象得：、，
∴把代入得：，
把、代入得：，
解得：，
故答案为：；；；
小问2详解】
解：∵由（1）得：，，，
∴反比例函数解析式为，直线解析式为，
∵将直线向下平移个单位长度，
∴平移后所得直线解析式为，
令，整理得，
解得：，
当时，，
∴存在交点，交点坐标为．
20. 平顶山火车站始建于1957年，已有57年的历史，作为平顶山最早的门户，为我市经济发展及城市发展作出了重要贡献，某综合实践小组计划测量火车站旗杆的高度，如图，他们在火车站前选取的测量点 B与候车大厅的底部A在同一水平线上．已知，，竖直放置的支架，在B处测得旗杆底部D的仰角为，在C处测得旗杆顶部E的仰角为，求旗杆的高度，结果精确到．参考数据：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识点，掌握运用解直角三角形的知识解决实际问题成为解题的关键．
如图：过C作，先说明四边形是矩形可得；再解直角三角形可得、，最后根据线段的和差即可解得．
【详解】解：如图：过C作，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
答：火车站旗杆的高度为．
21. “六一”节将至，某校为营造一个优美的花园式学校，后勤处计划购买甲、乙两种花卉．已知购买盆甲花和盆乙花需要花费元，购买盆甲花和盆乙花需要花费元．
（1）求甲、乙两种花每盆分别为多少元？
（2）若购买甲、乙两种花共盆，且要求乙花的盆数不少于甲花盆数的倍，设购买甲花盆，总费用为元，请设计出购买这盆花费用最少的购买方案．
（3）根据经验可知甲、乙两种花的成活率分别为，，而后勤处要求总成活率不小于，在（2）的条件下，要想花费最少，花的成活率能不能满足后勤处的要求？
【答案】（1）甲种花每盆为元，乙种花每盆为元
（2）购买盆甲花、盆乙花时，费用最少
（3）花的成活率能满足后勤处的要求
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、用一元一次不等式解决实际问题、有理数四则混合运算的实际应用，理解题意、正确列出二元一次方程组和一次函数关系式是解题的关键．
（1）设甲种花每盆为元，乙种花每盆为元，根据“购买盆甲花和盆乙花需要花费元，购买盆甲花和盆乙花需要花费元”，列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据“甲、乙两种花共盆，且要求乙花的盆数不少于甲花盆数的倍”，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，设计费用最少的购买方案即可；
（3）根据（2）所求费用最少的购买方案，“甲、乙两种花的成活率分别为，”，计算花的总成活率，和比较大小得出答案即可．
【小问1详解】
解：设甲种花每盆为元，乙种花每盆为元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种花每盆为元，乙种花每盆为元；
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得：，
，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，（盆），
∴购买盆甲花、盆乙花时，费用最少；
【小问3详解】
解：∵由题意得：，
∴花的成活率能满足后勤处的要求，
答：花的成活率能满足后勤处的要求．
22. 小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为，长为，最高处点P到地面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中表示抛物线上任一点到地面的高度，表示抛物线上任一点到隧道一边的距离．
（1）求抛物线的解析式．
（2）为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在之间，高度应在之间，小明发现隧道为单行道，一货车沿隧道中线行驶，宽为，货车的最高处与隧道上部的竖直距离约为，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定．
【答案】（1）
（2）这辆货车的高度不否符合规定．
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）有题意可得：， ，然后运用待定系数法即可解答；
（2）由题意可得：点，设D点坐标为，然后代入解析式求得d，即，再根据线段的和差求得，然后判断是否符合规定即可．
小问1详解】
解：由题意可得：，
设该抛物线的解析式为：
将代入可得： ，解得：，
所以抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：由题意可得：点，
设D点坐标为，则，
∴，即，
∴，
∵，
∴这辆货车的高度不否符合规定．
23. 已知：在中，，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，使点落在边上的点处，为点的对应点，连接．
（1）如图，当点在线段上时，连接．
填空：的形状为_____；与的数量关系为____．
（2）如图，在（1）的基础上，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）如图，连接，当时，直接写出的长．
【答案】（1）等边三角形，
（2）菱形，理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得，所以，，，，又因为，，所以，，又因为，所以是等边三角形．因为，，，所以，，又因为，，所以，，因为，，故的形状为等边三角形，与的数量关系为．
（2）由（1）得，，因为，，，所以，因为，所以，，，因为，，所以四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是菱形．
（3）延长，交于点，由上可得为等边三角形，，又因为，，和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，即，，因为，，，即，因为，，所以，，因为，，所以，，因为，所以，，，因为，，所以，所以．
【小问1详解】
解：由旋转的性质可得，
∴，，，，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故的形状为等边三角形，与的数量关系为．
【小问2详解】
四边形是菱形．
理由：由（1）得，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【小问3详解】
延长，交于点，如图所示：
由上可得为等边三角形，，
又∵，，
∴和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，
即，，
∵，
∴，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，菱形的判定，解直角三角形的相关计算，熟练掌握以上性质是解题的关键．
平均数
中位数
众数
甲班
乙班