高考一轮复习第08讲 二次函数与幂函数（原卷及解析版）

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1．二次函数的概念
形如的函数叫做二次函数.
2．表示形式
(1)一般式：.
(2)顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：，其中是抛物线与轴交点的横坐标.
3．二次函数的图象与性质
4．常用结论
(1)函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
(2)若为的实根，则在轴上截得的线段长应为.
(3)当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
二、幂函数
1．幂函数的概念
一般地，形如()的函数称为幂函数，其中底数为自变量，为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
3．常用结论
(1)幂函数在上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点.
(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
【考点一 幂函数的解析式】
1．（宁夏长庆高级中学高二期末（文））已知幂函数过点，则解析式为（ ）
A．B．C．D．
2．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则等于（ ）
A．B．C．2D．3
4．（全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）
A．B．C．D．
5．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（浙江高二期中）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3B．3C．D．0
7．（湖南长郡中学）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A．B．2C．4D．
8．（全国高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．3B．9C．27D．
9．（全国高一专题练习）函数是幂函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（全国高一专题练习）如果幂函数的图象经过点，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点二 二次函数的解析式】
1．（四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）函数，的值域为（ ）
A．B．C．D．
2．（昭通市昭阳区第二中学高一期末）已知函数在闭区间上的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．5
3．（江苏扬中市第二高级中学高一开学考试）已知函数有最大值，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
4．（全国高二课时练习）函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．f（1），f（2）B．f（2），f（5）
C．f（1），f（5）D．f（5），f（2）
5．（全国高一课时练习）若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
6．（哈尔滨市第三十二中学校高二期末（文））已知二次函数，满足，，试确定此二次函数.
7．（湖南高一期末）已知为二次函数，且满足，．
（1）求函数的解析式，并求图象的顶点坐标；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象；
8．（巴楚县第一中学高二月考（文））已知二次函数，满足，且的最小值是．
（1）求的解析式；
（2）设函数，函数，求函数在区间上的最值.
9．（贵州省思南中学高三（理））已知函数.
（1）当，时，求函数的值域.
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【考向三 幂函数的图象及性质的应用】
1．（全国高一单元测试）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（全国高一课前预习）已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（ ）
A．1B．0，2C．－1，1，3D．0，1，2
3．（全国高一课前预习）已知幂函数()为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．3
4．（全国高一课时练习）已知点在幂函数的图象上，则函数是（ ）.
A．奇函数 B．偶函数
C．减函数 D．增函数
5．（全国高一课前预习）函数是幂函数，则下列结论正确的是( )
A．B．
C．D．以上都不对
6．（全国高一课时练习）若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（全国高一专题练习）已知幂函数的图象不经过原点，则m的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
8．（全国高一专题练习）幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
9．（全国高一专题练习）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．或1
10．（高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（ ）
A．B．C．2D．
【考向四 二次函数的图象及性质的应用】
1．（北京交通大学附属中学高三开学考试）设函数，对任意实数都有成立，则函数值，，，中，最小的一个不可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（重庆市清华中学校高三月考）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（江苏高三专题练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（全国高三专题练习）函数在区间上是递减的,则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
5．（南京市秦淮中学高三开学考试）已知，函数.若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（全国高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围
A．B．C．D．
7．（河北衡水中学高三）在如图所示中，二次函数与指数函数的图象只可为
A． B．
C． D．
8．（上海外国语大学附属大境中学高三月考）已知二次函数的值域为．
（1）若此函数在上是单调减函数，求实数a的取值范围；
（2）求在上的最小值，并求的值域．
9．（怀仁市第一中学校高三月考（文））设二次函数，并且.
（1）求实数的值；
（2）若函数在的最大值是1，求实数的值.
10．（福建省将乐县第一中学高三月考）已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
函数解析式
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称性
函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性
当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数.
在上是增函数；
在上是减函数.
最值
当时，
当时，
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
过定点
过定点
过定点