2024年陕西省榆林市横山区中考二模数学试题（学生版+教师版）

这是一份2024年陕西省榆林市横山区中考二模数学试题（学生版+教师版），文件包含2024年陕西省榆林市横山区中考二模数学试题教师版docx、2024年陕西省榆林市横山区中考二模数学试题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了倒数，解题的关键是根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【详解】解：的倒数是，
故选A．
2. 如图所示，已知一个正方体展开图六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是（ ）
A. 敢B. 追C. 梦D. 想
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方体展开图的相对面，熟练掌握相对面的确定方法，是解题的关键．根据正方体的相对面的确定方法：同行隔一个，异行隔一列，进行判断即可．
【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴与“勇”相对的字是“想”，
故选：D．
3. 如图，在中，点在边上，连接，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理及外角的性质，根据等角对等边求得，进而可求得，再根据等角对等边及三角形内角和即可求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算等知识点，根据完全平方公式，平方差公式，幂的乘方，单项式乘单项式的法则进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
5. 如图，将正方形纸片沿线段折叠之后，使点落在正方形内部的点处，若比大，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，先由正方形的性质得到，再由折叠的性质可得，则可得，据此可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∵比大，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6. 已知一次函数（，为常数，），若当增加2时，增加4，则的值是（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数值，先分别求出当时，当时的函数值，再根据当增加2时，增加4列出方程求解即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
∵当增加2时，增加4，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图，已知内接于，是的直径，过点C作，垂足为E，交于点D，，，则的长为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，由圆周角定理可得，由垂径定理可得，，进而可得，则，由此可求得的长，从而可得的长.
本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键.
【详解】连接，
，
，
∵是的直径，，
，，
，
，
，
，
.
故选：B
8. 若二次函数（、为常数）的图象经过、两点，且与轴只有一个交点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，先求出对称轴为直线，进而根据对称轴计算公式得到，再由抛物线与轴只有一个交点，得到，则，即可得到抛物线解析式为，再把代入解析式中求解即可．
【详解】解：∵抛物线的图象经过、两点，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
把代入中得：，
∴，
故选：B．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 请你写出一个大于0而小于3的无理数：______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是估算无理数的大小，属开放性题目，答案不唯一．
先找出0到9之间的一个数，再进行开方即可求解．
【详解】
符合条件一个无理数为．
10. 如图所示的地面由正五边形和正n边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和公式，掌握正多边形的概念，数形结合是解题的关键．先计算出正五边形的内角，再根据平面镶嵌的条件计算求解．
【详解】正五边形的内角和为，
每个内角为，
∴，
故答案为：．
11. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则的长是该方程的一个正根．当，时，的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程的应用，将，代入中，解方程即可得解，熟练掌握求根公式法解方程是解本题的关键．
【详解】将，代入中得，
解方程得，，
∵的长是方程的一个正根，
∴的长为：，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称进行求解即可．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，
∴，两点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：0．
13. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点P作，连接，由菱形的性质可得，则由勾股定理可得，解直角三角形得到，则，进而得到当三点共线，且时，最小，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作，连接，
∵在菱形中，对角线相交于点，，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴当三点共线，且时，最小，最小值为的长，
∴此时有，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 求不等式：的负整数解．
【答案】
【解析】
【分析】先解出不等式，然后在x的取值范围内找出负整数．
本题考查解不等式，题目较简单，读清楚问题是本题的关键．
【详解】，
，
，
，
∴原不等式的负整数解为．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的函数值，二次根式的运算，绝对值的化简，熟练掌握运算性质是解题的关键．利用特殊角的函数值，二次根式的运算，绝对值的化简计算，即可解题．
【详解】解：，
，
．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后按照同分母分式加减法运算的法则进行运算，最后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算，关键是弄清运算顺序．分式的运算与分数的一样，一要注意符号；二要结果必须达到最简．
【详解】
．
17. 如图，在四边形中，请利用尺规作图法在上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，尺规作图．
以点C为顶点，为角的一边，在四边形外作，则，直线交于点F，则点F为所求．
【详解】解：如图，点F为所求．
18. 已知：如图，在矩形中，是的中点，求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质；由矩形的性质得，，再由可判定，由全等三角形的性质即可求证；掌握性质及判定方法是解题的关键．
【详解】证明：四边形为矩形，
，
，
是的中点，
，
在和中
，
，
．
19. 如图是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1中共有个黑点，图中共有个黑点，图中共有个黑点，图中共有个黑点，，依此规律，请解答下列问题．
（1）图中共有______个黑点；（用含的式子表示）
（2）若图中共有个黑点，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）根据所给的图形进行类比得到公式即可；
（）利用公式得到方程解题即可；
本题考查了图形的变化规律和解一元一次方程，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解．
【小问1详解】
解：图1中共有个黑点，
图中共有个黑点，
图中共有个黑点，
图中共有个黑点，
，
图中共有个黑点，
故答案为：；
【小问2详解】
当时，．
20. 化学实验课上，李老师带来了．高锰酸钾、．碳酸钙、．氢氧化钙、．氢氧化镁四种物质，这四种物质分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种物质来制取氧气．（实验室通过加热物质可制取氧气，、、物质均不可制取氧气）
（1）刘辉从这四种物质中随机选一种，则选到．高锰酸钾的概率为______；
（2）刘辉先从这四种物质中随机选一种，张华再从剩下的三种物质中随机选一种，利用列表或画树状图的方法求二人所选物质至少有一人能制取氧气的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）用概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到二人所选物质至少有一人能制取氧气的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有四种物质，每种物质被选取的概率相同，
∴选到．高锰酸钾的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性结果数，其中二人所选物质至少有一人能制取氧气的结果数有6种，
∴二人所选物质至少有一人能制取氧气的概率为．
21. 春暖花开，小明和家人一起去放风筝，小明将风筝放在与地面夹角为的山坡处，并站在处，视线恰好与地面平行，起风后小明从处沿坡面开始往下跑10米至坡底处（米），并继续沿平地向前跑20米到达处（米）后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是，此时风筝恰好升高到起飞时点的正上方处．已知小明视线距地面高度米，图中所有点均在同一平面，点在上，均与地面垂直，求风筝上升的垂直距离．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
延长交于点S，过点P作平行于地面交于点M，根据题意求出，，再根据，求出，根据线段之间的关系即可求解．
【详解】延长交于点S，过点P作平行于地面交于点M，如下图
∵，
∴，
∵
∴，即，解得
∴
∵
∴
∴
∴
∴
22. 某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】为了提高身体素质，很多人选择到专业的健身中心锻炼身体，某健身中心推出了两种活动方案，那么选择哪种收费方案更优惠呢？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试解决相关问题．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数解析式和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数解析式和掌握数形结合思想．
任务1：根据题意可得出，，，进而可得出、与x之间的函数关系式；
任务2：根据，可得两点坐标为：当，，在图中画出的函数图象即可；
任务3：观察图象即可得出答案．
【详解】任务1：根据题意，方案一：不购买“云VIP”，每次收费30元；
，即；
方案二：购买“云VIP”，售价为160元/张，每次凭卡另收10元，
，，即；
任务2：由任务1知，当，，当，，可得两点坐标为：当，，在图中画出的函数图象如图所示：
任务3：由任务2图象可知：当时，方案一更优惠；
当时，两个方案收费相同；
当时，方案二更优惠．
23. 《节约用水条例》于2024年5月1日起施行，这是我国首部节约用水行政法规．节约用水，是解决我国水资源短缺问题的根本措施．为了了解某地居民月用水量的情况，随机抽取了200户居民4月份的用水量（单位：吨）进行调查，并将其整理成如图所示的统计图表（不完整）：
请结合上述信息，解决下列问题：
（1）补全条形统计图，被抽取的200户居民的月用水量的众数是______吨、中位数是______吨；
（2）求被抽取200户居民的月均用水量；
（3）若该地共有居民10000户，请根据以上信息估计该地这10000户居民的月用水总量．
【答案】（1）统计图见解析；6；6
（2）吨
（3）吨
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布表，求中位数，众数，平均数，用样本估计总体：
（1）先求出a的值，进而补全统计图，再根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据平均数的定义求解即可；
（3）用10000乘以样本中200户居民的月均用水量即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，，
补全统计图如下：
∵用水量为6吨的户数最多，
∴众数为6吨，
把这200户居民的用水量从低到高排列，处在第100位和第101位的用水量分别为6吨，6吨，
∴中位数为吨；
【小问2详解】
解：吨，
∴被抽取的200户居民的月均用水量吨；
【小问3详解】
解：吨，
∴估计该地这10000户居民的月用水总量为吨．
24. 如图，是的直径，过点作的切线，连接，交于点D，过点作的平行线，交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆的相关性质综合，圆的切线的判定，结合全等的判定与性质与三角函数的应用是解题的关键．
（1）连接，证明，得即可；
（2）连接，利用三角函数求解即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵点在上，
∴是的切线；
【小问2详解】
如图，连接，
∵，，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
解得：．
25. 某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示．图2为该拱门的示意图，是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度与到柱子的水平距离满足函数关系式（a、c为常数，），已知，．
（1）请求出图2中抛物线的函数表达式；
（2）从柱子上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，，若，小华的身高是，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？
【答案】（1）
（2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中得应用，要吃透题意，建立函数模型，结合实际得出结果．
由题意可得，抛物线过点和，把上述两点代入函数表达式即可求出结果，设出点坐标，表示出点坐标，根据即可求出结果．
【小问1详解】
解：由题意可得，抛物线过点和，把上述两点坐标代入函数表达式得：
，
解得：，
函数表达式：
【小问2详解】
能通过该拱门，
理由：设，则
，
，
，
，
解得：或（舍去），
，
，
拉上横幅后小华不弯腰是能通过该拱门的．
26. 【问题探究】
（1）如图1，在矩形中，连接，点分别是的中点，连接，若，，则矩形的周长为______；
（2）如图2，正方形边长为10，、分别是边上的动点，连接，且，若，，求与之间的函数关系式；
【问题解决】
（3）如图3所示，矩形是某地的一个湖，其中，点分别是湖岸、的中点．当地政府计划将其改造成一个旅游景点，决定在湖岸上选一点，过点作与平行的直线交于点，沿分别建观光长廊，交于点，点是的中点，并以为一边向左侧建一个正方形垂钓中心．设，正方形垂钓中心的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理．试求当时，正方形垂钓中心的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）利用三角形的中位线定理求出，，然后利用矩形的性质求解即可；
（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）①证明，求出，证明，求出，，然后分，两种情况讨论即可；
②把代入①中所求函数关系式求解即可．
【详解】解：（1）∵点分别是的中点， ，，
∴，，
∵四边形矩形，
∴，，
∴矩形的周长为，
故答案为：；
（2）∵正方形边长为10，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）①∵矩形中，点分别是、的中点．
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
当过M作于H，

∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当过M作于H，

∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
综上，
②把代入，得，
即正方形垂钓中心的面积为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，寻找出相似三角形进行求解是解题的关键．

选择更优惠的健身收费方案
素材1
该健身中心推出的活动方案如下：方案一：不购买“云VIP”，每次收费30元；
方案二：购买“云VIP”，售价为160元/张，每次凭卡另收10元．
素材2
设王先生健身次数为x（次），按照方案一所需费用为（元），且（为常数，），其函数图像如图所示；按照方案二所需费用为（元），且（、b为常数，）．
问题解决
任务1
建立模型
分别求出、与x之间的函数关系式．
任务2
绘制图象
在图中画出的函数图象．
任务3
实际应用
根据图象推断哪种收费方式更优惠．
月用水量（吨）
2
4
6
8
10
12
户数
20
30
70
20
10