广东省茂名市高州中学2023-2024学年高二下学期5月中旬模拟数学试题（学生版+教师版）

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测试范围：选择性必修第一册+选择性必修二+选择性必修三（第七章前）.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A. B. 4C. 6D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】先根据双曲线方程得焦点坐标为，进而根据椭圆的方程即得.
【详解】∵双曲线方程，
所以双曲线的焦点坐标为，
由于椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以由椭圆的方程得：.
故选：D．
2. 若，且，则（ ）
A 42B. 1092C. 1086D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】取结合等比数列求和公式得到，计算得到答案.
【详解】取得到，
即，
，则.
故选：C.
3. 已知向量，，若向量满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由向量平行坐标表示，向量垂直的坐标运算结合，，列出方程组求解即可．
【详解】设，则，，
由得，，
由得，，
则，解得，
所以，
故选：B．
4. 从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 36B. 42C. 45D. 54
【答案】B
【解析】
【分析】分选2个偶数中含有0和不选0两种情况，结合排列组合知识进行求解.
【详解】当任选2个偶数中含有0时，0可以放在个位或十位，共2种情况，
再从3个奇数中选一个，2个偶数中选一个，放在剩余的数位上，共种选择，
此时共种情况，
当任选2个偶数中不含有0时，从3个奇数中选一个，并和2,4进行全排列，共种情况，
综上，组成没有重复数字的三位数个数为.
故选：B
5. 已知抛物线：的焦点为,是C上一点，，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】解方程即得解.
【详解】解：由题得抛物线的准线方程为，则有，即有，解得．
故选：A
6. 设为数列的前项和，且，则（ ）
A. B. 2024C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用的关系，结合条件构造，利用等比数列的定义及通项公式计算即可.
【详解】由，
且，
显然，所以是以为首项，为公比的等比数列，
即，故.
故选：D
7. 已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】由题意可知：，
设切点为，则切线方程为，
因为切线过原点，所以，
解得，则.
故选：B
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,， 是椭圆上一点，△ 是以 为底边的等腰三角形，且 ，则该椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在焦点三角形中根据等腰三角形和椭圆定义可将三边长用表示, 设,根据余弦定理可得,再根据的范围列不等式,结合离心率的定义,解关于离心率的不等式可得.
【详解】如图所示:
因为△是以为底边的等腰三角形,
所以,
由椭圆的定义可得:,
设,
因为,
所以,
在△中,由余弦定理可得, ,
所以,所以,
解得:.
故选:B.
【点睛】本题考查了椭圆的定义,余弦定理,离心率的公式,解一元二次不等式,属于基础题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 二项式的展开式中的有理项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先得到通项公式，当或或时有理项，求出答案.
【详解】的通项公式，
当或或时，为有理项，
当时，，D正确；
当时，，C正确；
当时，，A正确.
故选：ACD
10. 下列不等式中成立的有（ ）
A.
B. 当时，
C. 当且时，
D. 当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项构造函数，其中，利用导数分析函数单调性，可判断A选项；证明出、，可判断B选项；利用B选项中的两个不等式可判断C选项；构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可判断D选项.
【详解】对于A选项，令，其中，
则，
当时，，，则，
此时，，故函数在上为增函数，
故，A错；
对于B选项，令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，
故当时，，
当且仅当时，两个等号同时成立，故，B对；
对于C选项，由B选项可知，当时，，，
上述两个不等式当且仅当时，等号成立，
所以，当且时，，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
不等式中等号不能同时成立，
即当且时，，C对；
对于D选项，令，其中，
则且不恒为零，则函数在上单调递增，
所以，当时，，即，
当时，，即，D错.
故选：BC.
11. 已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则（ ）
A. 两组数据的中位数相同B. 两组数据的极差相同
C. 两组数据的方差相同D. 两组数据的均值相同
【答案】BC
【解析】
【分析】利用复数的乘法可得出，设，利用中位数的概念可判断A选项；利用极差的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用平均数公式可判断D选项.
【详解】因为，则，则，
所以，，不妨设，则，
对于A选项，值的中位数为，值的中位数为，且，A错；
对于B选项，值的极差为，值的极差为，
且，故两组数据的极差相同，B对；
对于C选项，记，
，
值的方差为，
值的方差为
，
故两组数据的方差相同，C对；
对于D选项，由C选项可知，，D错.
故选：BC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 1260有__________个不同的正因数.（用数字作答）
【答案】36
【解析】
【分析】将1260分解，然后根据分步乘法计数原理计算即可.
【详解】，
第一步，可以取，共3种，
第二步，可以取，共3种，
第三步，可以取，共2种，
第四步，可以取，共2种，
所以一共有种取法，对应36个不同的正因数.
故答案为：36
13. 等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得，再分离参数，借助对勾函数的性质计算即可.
【详解】由题意可知，则的公差为，
所以，
则，即恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
而，即，
所以.
故答案为：
14. 已知，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】结合平面几何性质得到，进而结合勾股定理求得，然后根据直线与圆有公共点得到，从而得到的齐次式，进而解不等式即可求出结果.
【详解】
过点作于，过点作于，因为，所以，又因为，所以，故，又因为，且，所以，因此，所以，又因为直线与圆有公共点，所以，故，即，则，所以，又因为双曲线的离心率，所以，故离心率的最大值为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 1月11日，国台办举行了2023年首场新闻发布会，在回应两岸媒体关注的近期解放军军机在台海演训活动为何如此频繁时，发言人马晓光表示，凡事有因必有果，人民解放军的演练是对台美勾连挑衅升级，破坏台海和平稳定的严正警告，大陆阻止台美军事勾连挑衅升级，为的是维护两岸同胞的共同利益，维护台海和平稳定，维护台湾同胞和平安宁的生活，在某次台海演习中，解放军派出一架轰-6轰炸机迂回对一目标舰艇进行三次投弹攻击，已知轰炸机每次攻击时击中舰艇的概率都为，各次攻击彼此独立，舰艇被轰炸机击中一次而击沉的概率为，被轰炸机击中两次而击沉的概率为，若三次都击中，舰艇必定被击沉.
（1）求目标舰艇被我军轰炸机击中次数的分布列及期望，方差；
（2）求目标舰艇被击沉的概率；
（3）当目标舰艇被击沉时，求该舰艇被我军轰炸机至少击中两次的概率.
【答案】（1）分布列见解析，，
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望和方差公式可得；
（2）根据条件概率以及全概率公式求解可得；
（3）根据（2）中结果，结合条件概率公式可得.
【小问1详解】
由题知，击中次数，，
所以；；
；.
得分布列如下：
由二项分布的期望和方差公式可得：，.
【小问2详解】
记击中i次为事件，
，，，舰艇被击沉为事件B，
则，，，
，
即目标舰艇被击沉的概率为.
【小问3详解】
根据（2）中数据：
，
即当目标舰艇被击沉时，该舰艇被我军轰炸机至少击中两次的概率为.
16. 如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，是的中点，底面是菱形，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）连接，证明，，从而证明平面，即可证明平面平面；
（2）取的中点，连接，，证明，从而说明即为二面角的平面角，在中，利用余弦定理即可得出答案.
【详解】（1）证明：连接，
在菱形中，由，则三角形ABD为等边三角形，
又侧面为等边三角形，是的中点，
所以，
，，由
所以，
所以，又，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：取的中点，连接，，
由（1）知，，，
则，
所以即为二面角的平面角，
则，，，
在中，，
所以二面角的平面角的余弦值.
17. 已知数列是等比数列，其前n项和为，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列是等差数列，，如果等差数列的通项满足.令，求数列的前n项和.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）设数列的公比为，化简和为基本量和的关系，进而解出和，从而求解；
（2）设数列的公差为，可得，，进而根据等差数列的前三项成等差数列，可得，从而得到，，进而分或两种情况得到，进而求解即可.
【小问1详解】
设数列的公比为，
则，
解得，或，，
所以或.
小问2详解】
设数列的公差为，
则，
所以，
即，，，
又数列为等差数列，
所以，即，
解得，即，，
当时，，
所以，，
即数列是以24为首项，为公比的等比数列，
所以；
当时，，
所以.
综上所述，或.
18. 如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．

（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）设焦点到直线的距离为，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设出直线方程，联立后得到点纵坐标，同理得到点纵坐标，从而求出直线AB的斜率，即可证明结果；
（2）根据（1）中结果，得出直线的方程，从而得到，再根据的范围，即可求出结果.
【小问1详解】
将点代入抛物线方程得，所以抛物线,
设，，
由，消得，
由韦达定理得，又，得到，
又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：，
因此，又，
所以为定值．
【小问2详解】
由（1）可知，，，，
因此，整理得，
所以到直线的距离，
因为，得，所以，
故．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 已知函数.
（1）是的导函数，求的最小值；
（2）证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）
【答案】（1）0； （2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意得，求导判断单调性即可求解；
（2）由（1）可得可知，当且仅当时等号成立，令，则.借助数列的裂项求和的方法和对数的运算性质即可证明.
【小问1详解】
由题意，，
，
，
令，解得，
又时，时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
，即的最小值为0.
【小问2详解】
证明：由（1）得，，
可知，当且仅当时等号成立，
令，则.
，
即，
也即，
所以，
故对任意正整数，都有.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：
（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；
（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
X
0
1
2
3
P