江苏省盐城市经开区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【详解】解：A、，故原题计算错误；
B、，故原题计算正确；
C、，故原题计算错误；
D、，故原题计算错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
2. 下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A选项，该选项符合题意；
B选项，分解因式要将多项式写成几个整式的积的形式，而B选项是和的形式，故该选项不符合题意；
C选项，分解因式要将多项式写成几个整式的积的形式，而C选项是和的形式，故该选项不符合题意；
D选项，分解因式的对象必须是多项式，故该选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
3. 如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么点A与点B之间的距离不可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系得出之间的取值范围．
【详解】解：、、能构成三角形，
，即．
故选：D．
【点睛】考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4. 下列分解因式正确的是（ ）
A. －a＋a3=－a(1＋a2)B. 2a－4b＋2=2(a－2b)
C. a2－4=(a－2)2D. a2－2a＋1=(a－1)2
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义进行分析.
【详解】A、-a+a3=-a（1-a2）=-a（1+a）（1-a），故本选项错误；
B、2a-4b+2=2（a-2b+1），故本选项错误；
C、a2-4=（a-2）（a+2），故本选项错误；
D、a2-2a+1=（a-1）2，故本选项正确．
故选D．
【点睛】考核知识点：因式分解.
5. 若4a2﹣2ka+9是一个完全平方式，则k=（ ）
A. 12B. ±12C. ±6D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先根据两平方项确定这两个数，再求完全平方公式的乘积二倍项，即可确定k的值．
【详解】∵4a2+2ka+9是一个完全平方式，
∴2ka=2×2a×3，或2ka= -2×2a×3，
∴k=6或k=-6．
故答案为±6
【点睛】本题主要考查了完全平方式，解题时注意：完全平方式分两种，一种是和的完全平方公式，就是两个整式的和的平方；另一种是差的完全平方公式，就是两个整式的差的平方．
6. 若关于的多项式展开合并后不含项,则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式,解题的关键是令含的系数为零,本题属于基础题型．
根据多项式乘多项式的乘法即可求出答案．
【详解】解:,
,
,
由题意可知：,
∴,
故选:．
7. 如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An－1BC与∠An－1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为( )

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，根据A1B、A1C分别平分∠ABC、∠ACD可得：∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，而∠ACD＝∠A＋∠ABC ，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，继而∠A2＝∠A，因此发现规律，将∠A代入即可求出使∠An的度数为整数，则n的最大值．
【详解】由三角形的外角性质可得：∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，
∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
∴∠A1＋∠A1BC＝∠A1CD ＝（∠ABC＋∠A）＝∠A＋∠A1BC，
∴∠A1＝∠A＝×48°＝24°，
∵A1B、A1C分别平分∠ABC、∠ACD，
∴∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，
而∠ACD＝∠A＋∠ABC ，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，
∴∠A＝2∠A1，
∴∠A1＝∠A,
同理可得：∠A1＝2∠A2，
∴∠A2＝∠A，
∴∠A＝2n∠An，
∴∠An＝∠A
∵∠A＝48°
∴当n＝4时，∠A4＝×48°＝3°，此时n的值最大，
故选：C
【点睛】本题考查了三角形外角性质、角平分线的性质、熟练掌握这两个性质并准确识图找出规律是解题的关键．
8. 如图，三角板直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=40°，则∠2=（ ）
A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等并结合平角的概念求解
【详解】解：如图，由题意知：AB∥CD，∠FEG=90°，

∴∠2=∠3．
∵∠1+∠3+90°=180°，
∴∠1+∠2=90°．
∵∠1=40°，
∴∠2=50°．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等正确推理计算是解题关键．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
9. 数据0.0000314用科学记数法可表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可得到答案．
【详解】解：数据0.0000314用科学记数法可表示为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10. 在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示． 按照这种方式继续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有__________个三角形．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化类，根据图形的变化，通过归纳总结得到规律．
【详解】解：1个三角形需要火柴棍3根，
2个三角形需要火柴棍5根，
3个三角形需要火柴棍7根，
…
发现规律：n个三角形需要火柴棍根，
∴，
解得：．
故答案为：20．
11. 若有意义，则取值范围____．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂的底数不等于零，即可求解．
【详解】∵有意义，
∴3m-2≠0，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查零指数幂的意义，掌握零指数幂的底数不等于零，是解题的关键．
12. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为．
13. 如图，已知 ，，，则__________．
【答案】40
【解析】
【分析】利用三角形外角和的性质，可得∠EFG＝∠EHG－∠HGF，两直线平行内错角相等，可得∠BEF＝∠EFG，即可求得．
【详解】∵AB∥CD，
∴ ∠BEF＝∠EFG，
而∠EFG＝∠EHG－∠HGF＝60°－20°＝40°，
∴∠BEF＝40°，
故填：40．
【点睛】本题考查外角和的性质，平行线的性质，熟练运用角的等量关系是解题关键．
14. 如果是一个完全平方式，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
根据，求解作答即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
，
∴，
故答案为：．
15. 若，，，则______．
【答案】320
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算．首先利用积的乘方法则以及单项式与单项式相乘的法则将待求式展开，合并同类项，得到最简式，再将、、的值代入化简后的式子，求解即可．
【详解】解：
．
当，，时，原式．
故答案为：320．
16. 如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE=β．下列各式：①α＋β；②α﹣β；③β−α；④180°﹣α﹣β；⑤360°﹣α﹣β．以上结果可以作为∠AEC的度数的是___．（填序号）
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，由平行线的性质和三角形外角性质进行计算即可．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD
∴∠AFC=∠DCE=β
∵∠AFC=∠BAE+∠AEC
∴∠AEC=∠AFC-∠BAE=β−α
（2）如图2，过点E作EF∥AB
则∠AEF=∠BAE=α
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠CEF=∠DCE=β
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
（3）如图3，∵AB∥CD
∴∠AFC=∠BAE=α
∵∠AFC=∠DCE+∠AEC
∴∠AEC=∠AFC-∠DCE=α−β
（4）如图4，∵AB∥CD
∴∠AFE=∠DCE=β
∵∠BAE=∠AFE+∠AEC
∴∠AEC=∠BAE-∠AFE=α−β
（5）如图5，过点E作EF∥AB
则∠AEF=180゜−∠BAE=180゜−α
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠CEF=180゜−∠DCE=180゜−β
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=180゜−α+180゜−β=360゜−α−β
（6）如图6，∵AB∥CD
∴∠DFE=∠BAE=α
∵∠DCE=∠DFE+∠AEC
∴∠AEC=∠DCE−∠DFE=β−α
综上所述，正确的序号分别为：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，分别有同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，平行于同一直线的两条直线平行，此外，还用到了分类讨论思想．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算顺序和运算法则．
（1）先计算乘方，再计算乘法即可；
（2）先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 因式分解
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法等．
（1）先根据平方差公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若．

（1）求证：．
（2）若，平分，求的度数．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线有关角度计算，
（1）根据平行线的性质得到，结合得到证明；
（2）根据平行线的性质得到，再根据角平分线得到，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
20. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点、、均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使点的对应点为点．

（1）请在图中画出三角形；
（2）过点画出线段的垂线段，垂足为；
（3）三角形面积为________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）3
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，
（1）根据平移的性质，找到点对应的点，然后画出即可；
（2）根据垂线定义作图即可；
（3）利用三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图为所作图形；
；
【小问2详解】
解：如图线段即为所作；
【小问3详解】
解：的面积为，
故答案为：3．
21. 如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠BPD＝∠B+∠D；（提示；可过点P作PO∥AB）
（2）如图②，已知AB∥CD，求证：∠B＝∠P+∠D．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）过点P作PE∥AB，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得出∠B＝∠BPE、∠D＝∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论；
（2）过点P作PE∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B＝∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD＝∠BPE、∠D＝∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论．
【详解】（1）过点P作PE∥AB，如图1所示．
∵AB∥PE，AB∥CD，
AB∥PE∥CD．
∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE
∴∠BPD＝∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D．
（2）过点P作PE∥CD，如图2所示．
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BOD，
∵PE∥CD，
∴∠BOD＝∠BPE；∠D＝∠DPE
∴∠BPE＝∠BPD+∠DPE＝∠BPD+∠D
∴∠BOD＝∠BPD +∠D
即∠B＝∠BPD +∠D．
【点睛】本题考查了两条直线平行，内错角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．
22. （1）用边长分别为a，b的两个正方形和长宽分别为a，b的两个长方形按如图摆放可拼成一个大正方形，用两种不同的方法可以表示图中阴影部分的面积和．
请你用一个等式表示，，ab之间的数量关系______．
（2）根据（1）中的数量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案；
（2）①先根据完全平方公式求出，再根据作答即可；
②设，，先根据题意求出的值，再用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即；
方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即，
由两种方法看出，
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
即；
∴，
∴；
②设，，
则，，
∴，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．
23. 如图，用4个长是a，宽是b的长方形拼成了一个如图2所示的“回形”正方形．
（1）拼图前后，请写出所用图形(4个长方形)的面积的计算方法：拼图前： ；拼图后： ；因为拼图前后的面积不变，所以可得恒等式： ；
（2）利用（1）中得到的恒等式，解决下面的问题：已知，，求的值．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式．
（1）根据长方形面积公式得出拼图前图形的面积；用大正方形面积减去小正方形的面积得出拼图后的图形面积；根据面积相等，得出关系式即可；
（2）根据，，得出，，根据解析（1）中等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：拼图前后，请写出所用图形(4个长方形)的面积的计算方法：拼图前：；拼图后：；因为拼图前后的面积不变，所以可得恒等式：．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
24. 已知：如图①，在中，是角平分线，点E、F分别在边、上，，将绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当所在直线与线段，有交点时，交点分别为点M、点N．
（1）当时，如图②，此时直线与的位置关系是 ， °；
（2）是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）试探究：在旋转过程中，当t为何值时，中有两个角相等，请直接写出t的值．
【答案】（1），60
（2）33或69 （3）t的值为9或18或54或63
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
（1）根据题中条件，求得，由此可求得，即，同时可求得；
（2）分两种情况讨论：当在点C的左边时，当在点C的右边时，分别画出图形，求出结果即可；
（3）分情况进行讨论，①，求得CE旋转45°或315°，②，可求得CE旋转90°或270°．
【小问1详解】
解：如图所示，与交于点O，
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
当时，根据由旋转可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线与位置关系是：垂直，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：如图，当在点C的左边时，延长交于点G，
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在点C的右边时，
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴根据旋转可知，旋转角为：，
∴；
综上分析可知：或时，使得；
【小问3详解】
解：由题意可知，，
①当，
∴，
∴，
∵，
∴，
即当旋转时，中有两个角相等，如图所示，
∴此时；
②时，
则： ，
∴，即，如图，
则旋转的度数为：，
即当旋转时，中有两个角相等；
此时；
③当时，
∵，
∴，
则，
即，
∵，
∴，
即当旋转时，中有两个角相等，如图所示，
此时；
④由③可知，如图，当时，
∵，
此时旋转，
即当旋转时，中有两个角相等，
此时；
综上所述：当t的值为9或18或54或63时，中有两个角相等．