陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学2023-2024学年七年级下学期第二次月考数学试题

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1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
D、可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2. 某细胞的直径是0.000074米，用科学记数法可表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：C．
3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. 7，8，9B. 5，12，13C. 4，5，6D. 2，3，4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若三个正整数、、满足，则称、、为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，不是“勾股数”，不符合题意；
B、，是“勾股数”，符合题意；
C、，不是“勾股数”，不符合题意；
D、，不是“勾股数”，不符合题意；
故选：B．
4. 如图， 在和中，，， 请问添加下面哪个条件不能判断的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∵当时，根据ASA即可判定；
∵当时，根据AAS即可判定；
∵当时，无法判定；
∵当时，根据SAS即可判定；
故选：C．
5. 下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据多项式的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式的运算法则逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项正确，符合题意；
C．，故该选项不正确，不符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了整式的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式等知识，熟练掌握各自运算方法及运算法则是解题的关键．
6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选：D．
7. 若的展开式中不含项，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 3D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘以多项式展开式子，合并同类项，不含项，就是项系数为0，进而求出的值．
【详解】解：
又展开式中不含项，
即
故选：D
8. 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用，表示直角三角形的两直角边，则下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，以及完全平方公式和几何图形面积结合，正确掌握平方差公式，以及完全平方公式的特点是解题的关键，根据题意由勾股定理可得，，再利用完全平分公式，平方差公式，以及其公式变形求解，即可解题．
【详解】解：由题和勾股定理知，，，
故A项错误，不符合题意；
，
，解得，
故B项正确，符合题意；
有，
故C项错误，不符合题意；
，，表示直角三角形的两直角边，
，
，
故D项错误，不符合题意；
故选：B．
9. 中，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，三角形内角和为
∴最大角为，
∴此时三角形不是直角三角形，
故B符合题意；
∵，
∴，
∴三角形是直角三角形，
故C不符合题意；
∵，
∴设，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
10. 如图，中，，为上一动点且，在点运动的过程中，当时，的面积为（ ）
A. 52B. 32C. 40D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质；过点作于点，勾股定理求得，进而根据全等三角形的性质得出，，根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴
∴
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11. 若，则的结果是________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键．
先对方程变形得到，再根据同底数幂的乘法计算即可．
【详解】解：由得：，
∴，
故答案为：16．
12. 如图，在中，，于点，则________．
【答案】4.8
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．先由勾股定理求出长，再根据直角 三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由勾股定理，得，
∵
∴
∴．
故答案为：4.8．
13. 用如图所示的正方形，制成一副七巧板（如图甲），将它拼成“小天鹅”图案（如图乙），若从图乙中随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为________．
【答案】##0.3125
【解析】
【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
设正方形的边长为1，则正方形面积为，先求出空白部分面积，再拿正方形面积减去空白部分面积即阴影部分面积，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：如图：
设正方形的边长为1，则正方形面积为
则，
，
∴
∴这个点取在阴影部分的概率为，
故答案为：．
14. 已知，代数式_____．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式．根据题意可得，再将代数式化简，整体代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：2024．
15. 已知甲、乙两地相距，，两人沿同一公路从甲地出发到乙地，骑摩托车，骑电动车，图中分别表示，两人离开甲地的路程与时间的关系图象．则两人相遇时，是在出发后________小时．
【答案】1.8
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，列一元一次方程解答，正确理解函数图象得到的信息是解题的关键．
先求出A，B的速度，则设出发后t小时后相遇，有，解方程即可．
【详解】解：A的速度为：，B的速度为：，
设出发后t小时后相遇，
则，
解得：，
故答案为：1.8．
16. 如图，中，为上一点，且为直线上一动点，将绕点逆时钟旋转得到，连结，则的最小值为________．
【答案】10
【解析】
【分析】过点F作，作，作点C关于的对称点，可证，继而可求，由，可得三点共线时，取得最小值，为的长，由勾股定理求得．
【详解】解：过点F作，作，则，作点C关于的对称点，则，，
由题意得：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点F在直线上运动，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴三点共线时，取得最小值，为的长，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形三边关系求最值，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（共7道题，计52分，解答要写出过程）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数，负整数指数幂，完全平方公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可解题；
（2）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可解题．
【详解】解：（1），
，
；
解：（2），
，
．
18. 如图，在直线上求作一点P，使点P到射线，的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】图形见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用，角平分线尺规作图．
作出的角平分线，交于点P，问题得解．
详解】作图如下：
点P即为所求．
19 如图，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：，
即．
在和中，
．
【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查整式的化简求值，利用完全平方公式、平方差公式，以及整式的乘法运算化简去括号，再合并同类项后，利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，再把x与y的值代入计算求值即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
，，
原式，
，
．
21. 现有若干个除颜色外完全相同的球，从中选取10个球放入一个不透明的袋子里进行摸球游戏．
（1）若袋子中装有5个红球、2个白球和3个黄球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ；
（2）小明和小亮一起做游戏，若袋子中有4个红球和6个白球，从中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由．
【答案】（1）
（2）不公平，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式与游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）利用概率公式求解即可；
（2）根据概率公式分别计算出摸到红球和白球的概率，比较大小即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
摸到红球的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：不公平，理由如下：
共有10个球，其中4个红球、6个白球，摸到每一个球的可能性相同，
（摸到红球），（摸到白球），
这个游戏对双方不公平．
22. 近年来，每年5月，西安灞桥万亩樱桃成熟上市．某超市预购进，两种品种的樱桃共400斤，已知樱桃的有关信息如下表所示：
（1）设购进种樱桃斤，且所购进的两种樱桃能全部卖出，获得的总利润为元，求关于的关系式；
（2）如果购进两种樱桃的总费用恰好为18200元，那么超市将所购进的两种樱桃全部卖出后，获得的总利润为多少元？
【答案】（1）
（2）获得的总利润为元
【解析】
【分析】本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用，列方程解实际问题的运用，求出函数的解析式是解题的关键．
（1）分别表示出购买，两种品种樱桃的数量，根据总利润种樱桃每斤的利润数量种樱桃每斤的利润数量，就可以表示出w与x之间的关系式；
（2）根据购进两种樱桃的总费用恰好为18200元，建立方程求解，再利用关于的关系式计算，即可解题．
【小问1详解】
解：由题知，购进种樱桃斤，购进种樱桃斤，
，
整理得：；
【小问2详解】
解：购进两种樱桃的总费用恰好为18200元，
，
，
解得，
当时，总利润（元），
答：获得的总利润为元．
23. 如图，
（1）如图①，四边形中，在边上，，，，连结交于点，若，则 ．
（2）如图②，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长．
（3）某市园林绿化部门为提升城市形象，绿化美化环境，拟在富祥路一拆迁后的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为四边形，如图③所示．其中，，，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，与三大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约5元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，内部种植月季等花卉，平均每平方米约需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花）
【答案】（1）
（2）四边形的周长．
（3）满足条件的建设费用大概需元．
【解析】
【分析】（1）根据“等腰对等角”推得后可求出，证明，根据全等三角形性质可得，最后由即可求解；
（2）延长使，连接，证明是等边三角形后，利用其性质即可证明，根据全等三角形性质得到后四边形周长即可求解；
（3）作，连接，证明和是等腰直角三角形后利用其性质证明，由全等三角形性质可知、，此时可求；再通过证明、是等腰直角三角形，结合勾股定理求出，最后结合题意节课求出建设费用．
【小问1详解】
解：，，，
，
，
中，，
又，
，
，
，
即,
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【小问2详解】
解：如下图，延长使，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，，
等边三角形中，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
即，
，
四边形周长．
【小问3详解】
解：如图，作交于点，连接，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
则，
即，
和中，
，
，
，，
又，
，
，
，，
是等腰直角三角形，，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
综上，满足条件的建设费用元．
【点睛】本题考查的知识点是等边对等角、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是利用辅助线构造等边三角形或等腰三角形帮助证明全等．
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