初中数学苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理课后作业题

这是一份初中数学苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理课后作业题，文件包含专题02勾股定理的逆定理三大类型题型专练原卷版docx、专题02勾股定理的逆定理三大类型题型专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
【题型2 勾股数的应用】
【题型3 勾股定理的逆定理的应用】
【题型1直角三角形的判断】
1．（2023春•咸安区期中）以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）
A．6，12，13B．6，8，9C．3，4，5D．5，12，15
【答案】C
【解答】解：A、62+122＝180≠132，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、62+82＝100≠92，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、32+42＝25＝52，能构成直角三角形，符合题意；
D、52+122＝169≠152，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
2．（2023春•红安县期中）△ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3B．∠A+∠B＝∠C
C．a＝32，b＝42，c＝52D．a2﹣b2＝c2
【答案】C
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝81+256＝337，c2＝625，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵a2﹣b2＝c2，
∴c2+b2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
3．（2023春•常德期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，选择下列条件中的一个，①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：：2．能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，符合题意；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，符合题意；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，
∴x＝15°，
∴5x＝75°，
∴△ABC是锐角三角形，不符合题意；
④∵a：b：c＝1：：2，12+（）2＝4＝22，
∴△ABC是直角三角形，符合题意．
故选：C．
4．（2023春•吴忠校级期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
【答案】（1）16；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵CD⊥AB
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△CDB中，
∵BC＝15，DB＝9，
∴CD＝＝12，
在Rt△ACD中，
∵AC＝20，CD＝12，
∴AD＝＝＝16；
（2）证明：在Rt△CDA中，CD2+AD2＝AC2，
∴122+AD2＝202，
∴AD＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，
∴AC2+BC2＝202+152＝625＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
5．（2023春•古田县期中）如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝20，BD＝12，AD＝16，AC＝34．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求△ADC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）△ADC的面积为240．
【解答】（1）证明：∵AB＝20，BD＝12，AD＝16，
∴BD2+AD2＝122+162＝400，AB2＝202＝400，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°；
（2）解：∵∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∵AC＝34，AD＝16，
∴CD＝＝＝30，
∴△ADC的面积＝AD•CD
＝×16×30
＝240，
∴△ADC的面积为240．
6．（2023春•南宁期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝15，CD＝12，AD＝16．
（1）求BD的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）判断△ABC的形状．
【答案】（1）BD的长为9；
（2）△ABC的面积为150；
（3）△ABC是直角三角形，理由见解答．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵BC＝15，CD＝12，
∴BD＝＝＝9，
∴BD的长为9；
（2）∵AD＝16，BD＝9，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，
∵CD⊥AB，CD＝12，
∴△ABC的面积＝AB•CD＝×25×12＝150，
∴△ABC的面积为150；
（3）△ABC是直角三角形，
理由：在Rt△ACD中，AD＝16，CD＝12，
∴AC＝＝＝20，
∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
7．（2023春•新市区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）证明△ABC是直角三角形；
（2）求BC边上的高．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）2．
【解答】（1）证明：根据题意得，AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
由（1）知，AB＝，AC＝2，BC＝5，∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝AB•AC，
∴AD＝＝＝2，
即BC边上的高为2．
8．（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AD⊥BC，AD＝2，BD＝1，
∴AB2＝AD2+BD2＝5，
又∵AD⊥BC，CD＝4，AD＝2，
∴AC2＝CD2+AD2＝20，
∵BC＝CD+BD＝5，
∴BC2＝25，
∴AC2+AB2＝25＝BC2，
∴∠BAC＝90°，△ABC是直角三角形．
（2）解：分三种情况：
①当BP＝AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB＝＝，
∴BP＝AB＝；
②当BP＝AP时，P是BC的中点，
∴BP＝AB＝2.5；
③当AP＝AB时，BP＝2BD＝2；
综上所述：BP的长为或2或2.5．
9．（2022秋•南阳期末）如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．
（1）请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）△ABC不是直角三角形，理由见解答；
（2）9．
【解答】解：（1）△ABC不是直角三角形，理由如下：
根据勾股定理，得BC2＝32+42＝25，AC2＝22+62＝40，AB2＝22+32＝13，
∵AC2≠BC2+AB2，
∴△ABC不是直角三角形；
（2）．
故△ABC的面积是9．
10．（2023春•岫岩县期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了△ABC．
（1）小华看了看说，△ABC是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由；
（2）在△ABC中，求AC边上高的长．
【答案】（1）同意他的观点，理由见解答；
（2）．
【解答】解：（1）我同意他的观点，
理由：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2，
∴AB2+BC2＝20＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知：△ABC是直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，
设AC边上高的长为h，
∴△ABC的面积为：AB•BC＝•AC•h，
∴××＝×2h，
∴h＝，
即AC边上高的长为．
11．（2023春•乐陵市期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．求：
（1）分别求出边AB、AC、BC的长度，并计算△ABC的周长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1），，2，3+；
（2）直角三角形．
【解答】解：（1）由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝＝2，
△ABC的周长＝AB+AC+BC＝++2＝3+；
（2）△ABC是直角三角形，
理由是：∵AB＝，AC＝，BC＝，
∴AB2+BC2＝13+52＝65，AC2＝65，
∴AB2+BC2＝AC2，
即△ABC的形状是直角三角形．
【题型2 勾股数的应用】
12．（2023春•合肥期末）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．5，10，12C．0.6，0.8，1D．8，15，16
【答案】A
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；
B、52+102≠122，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
C、0.6，0.8不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
D、82+152≠162，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意．
故选：A．
13．（2023春•怀宁县期中）下列各组数中，属于勾股数的一组是（ ）
A．3，4，B．9，40，41
C．0.9，1.2，1.5D．，，
【答案】B
【解答】解：直角三角形三边a、b、c满足a2+b2＝c2的关系其中c最大．
选项A有根号，不是勾股数，故选项A错误，不符合题意；
选项B中9²+40²＝41²，且9，40，41均为正整数，故选项B正确，符合题意；
选项C中0.92+1.22＝1.52，符合勾股定理，但不是正整数，故选项C错误，不符合题意；
选项D中，不符合勾股数，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
14．（2023春•新会区校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．3，4，5D．，，
【答案】C
【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，不合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，符合题意；
D、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
故选：C．
15．（2023春•庐江县期中）如表中a，b，c组成的五组“勾股数”反映出一定的规律，那么当a＝90时，按此规律b的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】C
【解答】解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即90＝2×（43+2），
b依次为8，15，24，35，48，…，即当a＝90时，b＝452﹣1＝2024．
故选：C．
16．（2023•韩城市二模）《九章算术》提供了许多勾股数，如（3，4，5），（5，12，13）等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则m与这两个数组成勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则m与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由8生成的勾股数的“弦数”是 17 ．
【答案】17．
【解答】解：把由8生成的勾股数的“弦数”记为A，
∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，
故A＝17．
故答案为：17．
17．（2023•长安区二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；…，我们发现，当一组勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数）时，它的股、经分别为m2﹣1和m2+1．若一组勾股数的勾为26，则经为 170 ．
【答案】170．
【解答】解：∵一组勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），2m＝26，
∴m＝13，
∴经为m2+1＝132+1＝170．
故答案为：170．
18．（2023春•滑县期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 25 ．
【答案】25．
【解答】解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+72＝242，
解得：x＝（不合题意，舍去），
②242+72＝x2，
解得：x＝25，
故答案为：25．
19．（2023•茅箭区校级模拟）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： 11，60，61 ．
【答案】11，60，61．
【解答】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13，
又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x，第三个数为x+1，
根据勾股定理的逆定理，得：112+x2＝（x+1）2，
解得x＝60．
则得第5组数是：11，60，61．
故答案为：11，60，61．
20．（2022春•盂县期中）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a、b、c的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
则当a＝20时，b+c的值为 200 ．
【答案】200．
【解答】解：根据表中数据可得：（10+8）÷6＝3，（17+15）÷8＝4，（26+24）÷10＝5，
∴，
∴当a＝20时，．
故答案为：200．
21．（2022秋•莱西市期末）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第5个勾股数组为 （11，60，61） ．
【答案】（11，60，61）．
【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，
4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61），
故答案为：（11，60，61）．
【题型3 勾股定理的逆定理的应用】
22．（2023春•永定区期中）如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（ ）
A．5米B．6米C．7米D．8米
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m
∴AC＝＝4（m），
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，
故选：C．
23．（2023春•瓦房店市期中）如图，一只小鸟从树尖C点径直飞向塔尖A处．已知树高6米，塔高12米，树与塔的水平距离为8米，则小鸟飞行的最短距离为（ ）
​
A．8米B．10米C．11米D．12米
【答案】B
【解答】解：由题意可知，CD＝6米，AB＝12米，BD＝8米，
如图，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，
则BE＝CD＝6米，CE＝BC＝8米，
∴AE＝AB﹣BE＝12﹣6＝6（米），
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝10（米），
即小鸟飞行的最短距离为10米，
故选：B．
24．（2023春•西和县期中）第27届LG杯世界棋王赛决赛将于2023年2月举行，这也是2023年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】D
【解答】解：黑、白两棋子的距离＝＝5．
故选：D．
25．（2023•郧西县一模）已知钓鱼杆AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到ACˈ的位置，此时露在水面上的鱼线BʹCʹ长度为8米，则BBʹ的长为（ ）
A．4米B．3米C．2米D．1米
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝10m，BC＝6m，
∴AB＝＝＝8（m），
在Rt△AB′C′中，AC′＝10m，B′C′＝8m，
∴AB′＝＝6（m），
∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；
故选：C．
26．（2023春•海淀区校级期中）如图所示的圆柱形杯子的内直径为6cm，内部高度为9cm，小颖把一根直吸管放入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，则吸管的长度（整厘米数）最短是（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
【答案】C
【解答】解：吸管长度为，
所以吸管的最短整数是11cm，
故选：C．
27．（2023春•通榆县期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引素却行，去本八尺而索尽，问素长几何？译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳子比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽，求木柱的长．
【答案】木柱的长为尺．
【解答】解：设木柱的长为x尺，则绳索长为（x+3）尺，
根据题意得：x2+82＝（x+8）2，
解得x＝．
∴木柱的长为尺．
28．（2023春•广元月考）已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？
【答案】1米．
【解答】解：在直角三角形△ABO中，根据勾股定理可得，，
如果梯子的顶度端下滑1米，
则OA′＝4﹣1＝3m．
在直角三角形A′B′O中，根据勾股定理得到：OB′＝4m，
则梯子滑动的距离就是OB′﹣OB＝4﹣3＝1m．
29．（2023春•陕州区期中）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kun）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为多少尺？
【答案】10.1尺．
【解答】解：由题意得：DC＝2寸＝0.2尺，AD＝AO＝BO＝BC，
点D到AB的距离为1尺，
设单扇门的宽度是x尺，
根据勾股定理，得（x﹣0.1）2+12＝x2，
解得x＝5.05，
则2x＝10.1，
∴门的宽度（两扇门的和）为10.1尺．
30．（2023春•泸县校级期中）如图，有一块土地形状如图所示，∠B＝90°，AB＝6米，米，CD＝15米，AD＝17米，
（1）求线段AC的大小；
（2）请计算这块土地的面积．
【答案】（1）8米；
（2）（6+60）平方米．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝6米，米，
∴AC＝＝＝8（米），
即线段AC的长为8米；
（2）∵AC＝8米，CD＝15米，AD＝17米，82+152＝172，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴S四边形ABD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×6×2+×8×15＝（6+60）平方米，
即这块土地的面积为（6+60）平方米．
31．（2023春•庆云县期中）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里，求客船航行的方向．
【答案】客船航行的方向为北偏东10°．
【解答】解：客船的速度为4x海里/小时，则货船的速度为3x海里/小时，
由题意得4x﹣3x＝5，
解得x＝5，
∴客船的速度为20海里/小时，则货船的速度为15海里/小时，
∵货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，
∴AC＝20×2＝40海里，AB＝15×2＝30海里，∠BAE＝80°，
又∵BC＝50海里，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAF＝180°﹣90°﹣80°＝10°，
∴客船航行的方向为北偏东10°．
32．（2023春•邢台期中）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【答案】（1）A，B两村之间的距离为1500米；
（2）AB段公路需要封锁，需要封锁的路段长度为420米．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝900米，BC＝1200米，
∴AB＝＝＝1500（米）．
答：A，B两村之间的距离为1500米；
（2）公路AB有危险而需要封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF，
∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AC，
∴CD＝＝
＝720（米）．
由于720米＜750米，故有危险，
因此AB段公路需要封锁．
∴EC＝FC＝750米，
∴ED＝
＝210（米），
故EF＝420米，
则需要封锁的路段长度为420米．
33．（2023春•惠城区校级期中）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
【答案】E站应建在离A站10km处．
【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等，
∴DE＝CE．
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）．
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km．
答：E站应建在离A站10km处．
34．（2023春•海淀区校级期中）如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，∠ADC＝90°，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？
【答案】720元．
【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，
∵AC2＝CD2+AD2＝32+42＝25，
∴AC＝5，
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
该区域面积＝S△ACB﹣S△ACD＝×12×5﹣×3×4＝24（平方米），
铺满这块空地共需花费＝24×30＝720元．
35．（2023•灞桥区校级模拟）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
【答案】渔船不改变航线继续向东航行，不会有触礁危险，理由见解析．
【解答】解：渔船不改变航线继续向东航行，不会有触礁危险，理由如下：
过点P作PA⊥MN，交MN的延长线于点A，
由题意得：∠PMA＝90°﹣60°＝30°，∠PNA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠APN＝90°﹣∠PNA＝30°，
设AN＝x海里，则PN＝2x海里，
∴AP＝＝＝x（海里），AM＝MN+AN＝（16+x）海里，
∵∠PMA＝30°，
∴PM＝2AP＝2x（海里），
在Rt△MAP中，PM2＝AP2+AM2，
即（2x）2＝（x）2+（x+16）2，
解得：x1＝8，x2＝﹣4（不合题意，舍去）；
∴AP＝x＝8（海里），
∵（8）2＝192，122＝144，
∴8＞12，
∴渔船不改变航线继续向东航行，不会有触礁危险．
36．（2023春•南宁月考）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断（AC）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
【答案】（1）旗杆距地面3m处折断；
（2）距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险．
【解答】（1）解：由题意，知AC+BC＝8m．
因为∠A＝90°，
设AC长为xm，则BC长（8﹣x）m，
则42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故旗杆距地面3m处折断；
（2）如图．
因为点D距地面AD＝3﹣1＝2（m），
所以B'D＝8﹣2＝6（m），
所以，
所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险．
37．（2022秋•南关区校级期末）如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米．
【答案】3米．
【解答】解：设水池的深度为x米，由题意得：
x2+42＝（x+2）2，
解得：x＝3．
答：水池的深度为3米．
38．（2022秋•栖霞市期末）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．
（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
【答案】（1）村庄能听到宣传；
（2）村庄总共能听到4分钟的宣传．
【解答】解：（1）村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，
∴BP＝BQ＝＝600（米），
∴PQ＝1200米，
∴影响村庄的时间为：1200÷300＝4（分钟），
∴村庄总共能听到4分钟的宣传．
39．（2022春•乾安县期中）洋洋与林林进行遥控赛车游戏，终点为点A，洋洋的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时林林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰．
【解答】解：出发3秒钟时，CC1＝12米，BB1＝9米，
∵AC＝40米，AB＝30米，
∴AC1＝28米，AB1＝21米，
∴B1C1＝＝35米＞25米，
∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰．
40．（2022秋•渠县校级期末）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
根据题意可知，AD＝8﹣3+1＝6千米，BD＝2+6＝8千米，a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…