初中数学苏科版九年级上册1.1 一元二次方程精练

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选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2022秋•大石桥市期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x＝x2﹣x+1B．（x﹣1）2＝2x﹣3
C．+﹣3＝﹣10D．ax2+bx＝c＝0
【答案】B
【解答】解：A、两边的项消去后，不含二次项，所以不是一元二次方程；
B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
C、是分式方程，不是整式方程，当然不是一元二次方程；
D、要强调a≠0，否则不是一元二次方程．
故选：B．
2．（2023春•肇源县月考）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，5B．3，1C．3x2，﹣5xD．3，﹣5
【答案】D
【解答】解：一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式为：3x2﹣5x+1＝0，
故二次项系数是3，一次项系数是﹣5．
故选：D．
3．（2023•南岳区一模）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣6+4B．（x﹣2）2＝6+2
C．（x﹣2）2＝﹣6+2D．（x﹣2）2＝6+4
【答案】D
【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0，
移项，得x2﹣4x＝6，
配方，得x2﹣4x+4＝6+4，
（x﹣2）2＝6+4，
故选：D．
4．（2023春•永嘉县月考）若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（ ）
A．b＞4B．b＞﹣4C．b≥4D．b≥﹣4
【答案】D
【解答】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b，
∴（x﹣a）2＝b+4，
∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根，
∴b+4≥0，
∴b≥﹣4，
故选：D．
5．（2023•山西模拟）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何角法，例如可构造如图所示的图形求解方程x（x+2）＝15，这一过程体现的数学思想（ ）
​
A．统计思想B．化归思想
C．分类讨论思想D．数形结合思想
【答案】D
【解答】解：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想．
故选：D．
6．（2023•无锡）2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A．5.76（1+x）2＝6.58B．5.76（1+x2）＝6.58
C．5.76（1+2x）＝6.58D．5.76x2＝6.58
【答案】A
【解答】解：由题意得：5.76（1+x）2＝6.58．
故选：A．
7．（2022秋•温岭市期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A．（1+x）2＝121B．1+x+x2＝121
C．1+x+（x+1）2＝121D．1+x+2（x+1）＝121
【答案】A
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x个人被传染，第二轮传染中有x（1+x）个人被传染，
又∵有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，
∴可列出方程1+x+x（1+x）＝121，
整理得：（1+x）2＝121．
故选：A．
8．（2023•上杭县校级开学）若a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】B
【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，
∴a2+2a＝2024，a+b＝﹣2，
∴a2+3a+b＝（a2+2a）+a+b＝2024+（﹣2）＝2022，
故选：B．
9．（2023•香坊区校级开学）某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（30+x）（100﹣20x）＝2800B．（30+x）（100﹣4x）＝2800
C．（30﹣x）（100+20x）＝2800D．（30﹣x）（100+4x）＝2800
【答案】D
【解答】解：设每件衬衫售价降低x元，
根据题意得，（30﹣x）（100+4x）＝2800，
故选：D．
10．（2023春•莱州市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（ ）
A．﹣7B．7C．5D．﹣5
【答案】C
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×2＝5．
故选：C．
填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。
11．（2023•桂林一模）一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是 x2﹣3x﹣6＝0 ．
【答案】x2﹣3x﹣6＝0．
【解答】解：x2﹣（3x﹣2）＝8，
x2﹣3x+2＝8，
x2﹣3x﹣6＝0，
故答案为：x2﹣3x﹣6＝0．
12．（2023•金华模拟）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为 2022 ．
【答案】2022．
【解答】解：把x＝﹣1代入x2+bx+2021＝0中，得
1﹣b+2021＝0，
解得b＝2022，
故答案为：2022．
13．（2023•东莞市二模）若方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，则代数式m2﹣m+5＝ 6 ．
【答案】6．
【解答】解：把x＝m代入x2﹣x﹣1＝0，得
m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴代数式m2﹣m+5＝1+5＝6．
故答案为：6．
14．（2023•滕州市校级开学）请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数为1，且两根之和为正数，两根之积为负数．你所写的一元二次方程是 x2﹣6x﹣8＝0（答案不唯一） ．
【答案】x2﹣6x﹣8＝0（答案不唯一）．
【解答】解：∵二次项系数为1，且两根之和为正数，两根之积为负数．
∴这样的方程为x2﹣6x﹣8＝0．
故答案为：x2﹣6x﹣8＝0（答案不唯一）．
15．（2023•德城区一模）若一元二次方程x2﹣kx﹣1＝0的两根互为相反数，则k的值为 0 ．
【答案】0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0的两根互为相反数，
∴x1+x2＝0，
即k＝0．
故答案为：0．
16．（2023•仙桃校级一模）某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程 500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820 ．
【答案】500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820．
【解答】解：根据题意，可得：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820，
故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820．
三、解答题（本题共5题，共52分）。
17．（10分）（2023•天心区校级开学）解方程：
（1）（2x﹣1）2﹣4x＝0；
（2）（2x﹣3）2＝x2．
【答案】（1）；
（2）x1＝3，x2＝1．
【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2﹣4x＝0，
∴4x2﹣4x+1﹣4x＝0，
∴4x2﹣8x+1＝0，
∴a＝4，b＝﹣8，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×4×1＝64﹣16＝48，
∴，
∴，
∴原方程的解为；
（2）∵（2x﹣3）2＝x2，
∴2x﹣3＝x或2x﹣3＝﹣x，
解得：x1＝3，x2＝1，
∴原方程的解为：x1＝3，x2＝1．
18．（10分）（2022秋•平度市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2＝0．
（1）若该方程的一个根为，求实数m的值；
（2）若该方程有实数根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）m＝±；
（2）﹣1≤m≤1．
【解答】解：（1）把x＝代入x2﹣2x+m2＝0得：﹣2×+m2＝0，即﹣1+m2＝0，
解得：m＝±；
（2）∵该方程有实数根，
∴△≥0，即Δ＝（﹣2）2﹣4m2≥0，
解得﹣1≤m≤1．
19．(10分）（2023春•南关区校级期末）随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人．
（1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
（2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】（1）25%；
（2）0.45万人．
【解答】解：（1）设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：8（1+x）2＝12.5，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设6月份后20天日均接待游客人数是y万人，
根据题意得：6.625+20y≤12.5×（1+25%），
解得：y≤0.45，
∴y的最大值为0.45．
答：6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人．
20．（10分)（2023春•八步区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价4元，则平均每天销售数量为 28 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）20+2×4＝28（件）．
故答案为：28．
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，
整理得：x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25．
又∵每件盈利不少于25元，
∴40﹣x≥25，即x≤15，
∴x＝25不合题意舍去，
∴x＝5．
答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元．
21．（12分）（2023春•衢州期末）某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系．
（1）求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）；
（2）若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？
（3）该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由．
​
【答案】（1）y＝﹣3x+21（3≤x≤5.5）；
（2）4元；
（3）该超市日均销售利润不可能达到13万元，理由见解答．
【解答】解：（1）设牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（3.5，10.5），（5，6）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为y＝﹣3x+21（3≤x≤5.5）；
（2）根据题意得：（x﹣3）（﹣3x+21）＝9，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4或x2＝6，
∵3≤x≤5.5，
∴x＝4．
答：牙膏的销售单价应定为4元；
（3）该超市日均销售利润不可能达到13万元，理由如下：
假设该超市日均销售利润能达到13万元，
根据题意得：（x﹣3）（﹣3x+21）＝13，
整理得：3x2﹣30x+76＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝900﹣4×3×76＝﹣12＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该超市日均销售利润不可能达到13万元．