初中苏科版第2章 对称图形——圆2.4 圆周角课时训练

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1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算
2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.
3.掌握圆内接四边形的性质。
知识点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
知识点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 12 圆心角）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
知识点3 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中， ∵四边是内接四边形
∴

【题型1 直径所对圆周角为90°的运用】
【典例1】（2023•无为市四模）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（ ）
A．34°B．36°C．38°D．42°
【变式1-1】（2023•开福区模拟）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，若∠ACB＝32°，则∠B的度数是（ ）
A．58°B．60°C．64°D．68°
【变式1-2】（2023•鄞州区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝28°，则∠BAD的度数是（ ）
A．48°B．56°C．62°D．68°
【变式1-3】（2023•昆明模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ACD＝46°24′，则∠DAB的度数为（ ）
A．43°36′B．46°24′C．43°46′D．44°36′
【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【典例2】（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32°B．42°C．48°D．52°
【变式2-1】（2023•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，D是弧AC的中点，DC、AB的延长线相交于点P．若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为（ ）
A．37°B．32°C．21°D．16°
【变式2-2】（2023•南海区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝55°，则∠BCD等于（ ）
​
A．55°B．45°C．35°D．25°
【变式2-3】（2023•舒城县模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，则∠B的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．110°
【变式2-4】（2023•新城区校级二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（ ）
A．40°B．44°C．50°D．55°
【题型3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】
【典例3】（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（ ）
A．56°B．33°C．28°D．23°
【变式3-1】（2023•南关区校级三模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，∠OCB的度数是（ ）
A．16°B．24°C．32°D．48°
【变式3-2】（2023•绥江县二模）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，BD平分∠ABC，则∠CBD的度数为（ ）
A．100°B．50°C．30°D．25°
【变式3-3】（2023•滨城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．60°
【变式3-4】（2023•凤凰县三模）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38°B．60°C．76°D．80°
【题型4 利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】
【典例4】（2023•淮安区校级二模）如图，ABC是⊙O上三点，若OA＝AB＝BC，则∠ACB的度数为​（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【变式4-1】（2023•淮阴区模拟）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC度数为（ ）
A．58°B．32°C．60°D．68°
【变式4-2】（2023•永寿县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC，AC，已知∠ACO＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【变式4-3】（2023•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连接AD，则∠BAD＝ °．
【题型5 圆内接四边形的综合运用】
【典例5】（2023•鹿城区校级二模）如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连结OA，OC，点D为AB的延长线上一点．若∠CBD＝65°，则∠AOC为（ ）
A．110°B．115°C．125°D．130°
【变式5-1】（2023•昌江县校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ACD＝40°，则∠ABC的度数为（ ）
A．50°B．40°C．20°D．140°
【变式5-2】（2023•碑林区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
【变式5-3】（2023•碑林区校级一模）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧上一点，则∠BCD的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【变式5-4】（2023•道外区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝60°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．128°B．64°C．32°D．120°
【变式5-5】（2023•市南区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝105°，则∠OBD的度数为​（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【题型6 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】
【典例6】（2023•袁州区校级二模）如图，点A、B、C在⊙O上，，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．6D．9
【变式6-1】（2023春•定海区校级月考）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【变式6-2】（2023•蒙城县模拟）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，以点C为圆心、CB长为半径的圆交AB于点D，AD＝2，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．4
【变式6-3】（2023•礼泉县二模）如图，点A，B，C均在⊙O上，连接AB、BC、AC，过点O作OD⊥BC于点D，若⊙O的半径为4，∠A＝60°，则弦BC的长是（ ）
A．2B．2C．4D．4
1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23°B．24°C．25°D．26°
2．（2023•黔东南州二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
3．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 ．
4．（2023•九龙坡区自主招生）如图，AB是半径为8的⊙O的弦，点C是优弧AB的中点，∠ACB＝60°，则弦AB的长度是（ ）
A．8B．4C．4D．8
5．（2023•大安市校级二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝19°，则∠AEC的度数为（ ）
A．19°B．21°C．26°D．64°
6．（2023•礼泉县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，连接AD．若AB＝8，CD＝4，则AD的长为（ ）
A．10B．5C．D．
7．（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（ ）
A．16°B．24°C．12°D．14°
8．（2023•胶州市模拟）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝80°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．160°B．135°C．80°D．40°
9．（2023•武汉）​如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
1．（2023•顺城区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
2．（2023•乾县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．2B．2C．4D．10
3．（2022秋•增城区校级期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AB＝4，那么CD的长为（ ）
A．8B．6C．6D．6
4．（2023•山西模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）
​
A．110°B．120°C．130°D．140°
5．（2023•雁塔区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠A＝∠BOD＝34°，则∠CBD＝（ ）
A．129°B．128°C．109°D．99°
6．（2023春•江津区期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，连接OD，若∠CAB＝25°，则∠BOD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
7．（2023•莱芜区模拟）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若，∠ACB＝45°，则⊙O的半径为（ ）
A．1B．2C．21D．3
8．（2022秋•南山区校级期末）如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．3B．C．D．12
9．（2022秋•黄埔区期末）如图，在半径为3的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°，则BC的长度是（ ）
A．3B．C．D．
10．（2023•乐东县二模）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径，连接OC，若点C为的中点，∠BCD＝140°，则∠ABC 的度数为 70 °．
11．（2023•姑苏区校级二模）如图，O、B两点是线段AC的三等分点，以AB为直径作⊙O，点E为⊙O上一点，连接CE，交⊙O于点D，连接BD、AE，若点D恰为线段CE中点且BD＝2，则△AEC周长为 ．
12．（2023•房山区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠CAB＝60°，CB＝6，则⊙O的半径为 ．
13．（2023•南京模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD，∠B＝75°，∠A＝45°，，则弦CD＝ ．
​
14．（2023•南岗区校级三模）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，则CD＝ ．
​