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    苏科版数学八年级上学期-第03讲 线段垂直平分线的性质和判定(原卷版+解析版)

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    初中苏科版第二章 轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性同步测试题

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    这是一份初中苏科版第二章 轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性同步测试题,文件包含第03讲线段垂直平分线的性质和判定知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第03讲线段垂直平分线的性质和判定知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共34页, 欢迎下载使用。
    掌握线段的垂直平分线的性质和判定;
    能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.
    知识点1 :线段垂直平分线
    1.定义
    经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线。
    2.线段垂直平分线的作图
    1. 分别以点 A、B 为圆心,以大于AB 的长为半径作弧,两弧相交于 C、D 两点;
    2. 作直线 CD,CD 为所求直线

    知识点2 :线段垂直平分线性质
    线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
    知识点3:线段的垂直平分线逆定理
    到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
    【题型1 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
    【典例1】(2023春•青羊区校级期中)如图,在△ABC中,AB=4,BC=7,DE是AC的中垂线,则△ABD的周长为( )

    A.10B.11C.12D.13
    【变式1-1】(2023春•莲湖区期中)如图,在△ABC中,直线MN为BC的垂直平分线,并交AC于点D,连接BD.若AD=3cm,AC=9cm,则BD的长为( )
    A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
    【变式1-2】(2023春•罗湖区校级期中)如图,在△ABC中,BC=2,∠BAC>90°.AB的垂直平分线交BC于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,则△AEF的周长为( )
    A.2B.1C.4D.3
    【变式1-3】(2023春•新城区校级月考)如图,在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点E,D.若△BCD的周长为8,则BC的长为( )
    A.1B.2C.3D.4
    【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
    【典例2】(2023春•即墨区期中)如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=50°,∠ABD=26°,则∠ACF的度数为( )
    A.66°B.52°C.46°D.42°
    【变式2-1】(2022秋•滑县校级期末)如图,线段AC的垂直平分线交AB于点D,∠A=48°,则∠BDC的度数为( )
    A.48°B.96°C.90°D.84°
    【变式2-2】(2022秋•曲靖期末)如图,在△ABC中,∠BAC=110°,EF是边AB的垂直平分线,垂足为E,交BC于F.MN是边AC的垂直平分线,垂足为M,交BC于N.连接AF、AN则∠FAN的度数是( )
    A.70°B.55°C.40°D.30°
    【变式2-3】(2022秋•青县期末)如图,△ABC中,∠A=40°,∠C=70°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,连接BE,则∠EBC的大小为( )
    A.30°B.40°C.50°D.80°
    【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
    【典例3】(2022秋•东昌府区校级期末)三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域,如果在这个区域内修建一个公园,要使公园到三个村庄的距离相等,那么这个公园应建的位置是△ABC的( )
    A.三条高线的交点B.三边垂直平分线的交点
    C.三条角平分线的交点D.三条中线的交点
    19.(2022春•于洪区期末)如图,电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等,则发射塔应该建在( )
    A.A处B.B处C.C处D.D处
    【变式3-1】(2020秋•天心区期中)在国家精准扶贫政策的指导下,湖南龙山县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃,现在正是丰收的季节.为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地,当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站,要使基站到两个村庄的距离相等,基站应该建立在( )
    A.A处B.B处C.C处D.D处
    【变式3-2】(2022秋•平城区校级期末)近年来,高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目,如图,A,B,C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地,但是,国资委为了使A,B,C三地的民众都能享受高铁带来的便利,决定将高铁站修建在到A,B,C三地距离都相等的地方,则高铁站应建在( )
    A.AB,BC两边垂直平分线的交点处
    B.AB,BC两边高线的交点处
    C.AB,BC两边中线的交点处
    D.∠B,∠C两内角的平分线的交点处
    【题型4 线段垂直平分线的性质的综合应用】
    【典例4】(2023春•新城区期中)如图,在△ABC中,EF是AC的垂直平分线,AD⊥BC,D为BE的中点.
    (1)求证:AB=CE.
    (2)若∠C=32°,求∠BAC的度数.
    【变式4-1】(2023春•项城市月考)如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
    (1)若AB=5,则△CMN的周长为 ;
    (2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
    【变式4-2】(2023春•沙坪坝区校级月考)如图,在△ABC中,EF是AB的垂直平分线,AD⊥BC于点D,且D为CE的中点.
    (1)求证:BE=AC;
    (2)若∠C=70°,求∠BAC的度数.
    【变式4-3】(2022秋•垣曲县期末)如图,直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线,l与m分别交边AB于点D和点E.
    (1)若AB=10,则△CDE的周长是多少?为什么?
    (2)若∠ACB=125°,求∠DCE的度数.
    【题型5 线段垂直平分线的判定】
    【典例5】(秋•南安市期末)(1)求证:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.(要求:画出图形,写出已知,求证和证明过程)
    (2)用(1)中的结论解决:如图,△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,BE平分∠ABC,求证:点E在线段AB的垂直平分线上.
    【变式5】如图,P是∠MON的平分线上的一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B.求证:PO垂直平分AB.
    【题型6 线段垂直平分线的作法】
    【典例6】(2022秋•杭州期中)如图,直线m表示一条公路,A、B表示两所大学.要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等,请在图上找出这点P.
    【变式6-1】(2020•宜昌)如图,点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF=GH,我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.下列说法正确的是( )
    A.l是线段EH的垂直平分线
    B.l是线段EQ的垂直平分线
    C.l是线段FH的垂直平分线
    D.EH是l的垂直平分线
    【变式6-2】(秋•丰台区期末)下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程.
    已知:△ABC.
    求作:△ABC中BC边上的高线AD.
    作法:如图,
    ①以点B为圆心,BA的长为半径作弧,以点C为圆心,CA的长为半径作弧,两弧在BC下方交于点E;
    ②连接AE交BC于点D.
    所以线段AD是△ABC中BC边上的高线.
    根据小东设计的尺规作图过程,
    (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
    (2)完成下面的证明.
    证明:∵ =BA, =CA,
    ∴点B,C分别在线段AE的垂直平分线上( )(填推理的依据).
    ∴BC垂直平分线段AE.
    ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线.
    【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】
    【典例7】(2023春•佛山期中)如图,已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD,且交OE于点F.
    (1)求证:OE是CD的垂直平分线.
    (2)若∠AOB=60°,请你探究OE,EF之间有什么数量关系?并证明你的结论.
    【变式7-1】(2021秋•蓬江区校级期中)如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点O.
    (1)求证:AD垂直平分EF;
    (2)若∠BAC=60°,猜测DO与AO间有何数量关系?并证明.
    1.(2023•南宁一模)如图,AB的垂直平分线MN交AC于点D,AC=10,BC=6,则△BCD的周长为( )
    A.6B.10C.16D.18
    2.(2023•贵阳模拟)如图,地面上有三个洞口A、B、C,老鼠可从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口,尽快抓住老鼠,应该蹲在( )
    A.△ABC三条角平分线的交点
    B.△ABC三条边的中线的交点
    C.△ABC三条高的交点
    D.△ABC三条边的垂直平分线的交点
    3.(2021•河北)如图,直线l,m相交于点O.P为这两直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,则P1,P2之间的距离可能是( )
    A.0B.5C.6D.7
    4.(2023•碑林区校级模拟)如图,在△ABC中,边AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,已知AD=
    3cm,△ABE的周长为14cm,则△ABC的周长是( )
    A.17cmB.18cmC.19cmD.20cm
    5.(2022•青海)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=10°,则∠C的度数是 .
    6.(2020•南京)如图,线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O,若∠1=39°,则∠AOC= .
    7.(2020•牡丹江)在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分斜边AB,分别交AB、BC于D、E.若∠CAB=∠B+30°,求∠AEB.
    1.(2023春•碑林区校级月考)线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA=3,则PB的值为( )
    A.3B.4C.2D.无法确定
    2.(2023春•灵璧县校级月考)如图,在△ABC中,BC=8,AB的垂直平分线交BC于D,AC的垂直平分线交BC与E,则△ADE的周长等于( )
    A.6B.7C.8D.12
    3.(2022秋•庄河市期末)如图,在△ABC中,直线MN为BC的垂直平分线,并交AC于点D,连结BD.若AD=2cm,BD=4cm,则AC的长为( )
    A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
    4.(2023•灞桥区校级模拟)如图,点P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且M,N分别在PA,PC的垂直平分线上.若∠APC=142°,则∠ABC的度数为( )
    A.76°B.104°C.130°D.140°
    5.党和政府十分关心四川灾后重建工作,准备为三个村庄A、B、C(其位置如图所示)修建一口水井,要求水井到三个村庄的距离相等,水井应该修在什么地方呢,你能找到吗?
    (写出作法,并保留作图痕迹)

    6.(梅州)如图,在△ABC中,∠C=90度.
    (1)用圆规和直尺在AC上作点P,使点P到A、B的距离相等;(保留作图痕迹,不写作法和证明)
    (2)当满足(1)的点P到AB、BC的距离相等时,求∠A的度数.
    7.如图,△ABC中,∠A的平分线与BC的中垂线交于D点,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,判断BE与CF的数量关系,并说明理由.
    8.(2022秋•大丰区期末)如图,在△ABC中,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E.
    (1)若BC=10,求△ADE的周长;
    (2)若∠BAC=128°,求∠DAE的度数.
    9.(2022秋•昭阳区校级月考)如图,在ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
    (1)若△CMN的周长为18cm,求AB的长;
    (2)若∠MFN=65°,求∠MCN的度数.

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