资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩9页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性随堂练习题
展开
这是一份初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性随堂练习题，文件包含专题05等腰三角形五大类型原卷版docx、专题05等腰三角形五大类型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【题型2根据等腰三角形的性质求角度】
【题型3判断等腰三角形的个数】
【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【题型5等腰三角形的判定与性质】
【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】
1．（2023•花溪区模拟）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝3，则CD等于（ ）
A．10B．5C．4D．3
【答案】D
【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝3，
∴CD＝3．
故选：D．
2．（2023•红塔区模拟）已知等腰三角形的周长为20，一边长为4，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．4B．8C．12D．4或12
【答案】A
【解答】解：分两种情况：
当腰长为4时，等腰三角形的底边长＝20﹣4×2＝20﹣8＝12，
∵4+4＜12，
∴不能组成三角形，
当底边长为4时，等腰三角形的腰长＝×（20﹣4）＝8，
综上所述：此等腰三角形的底边长为4，
故选：A．
3．（2023•开福区校级二模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝10，AD＝6，则BC的长为（ ）
A．10B．16C．18D．20
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BC＝2BD，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8，
∴BC＝2BD＝16，
故选：B．
4．（2023•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝CB＝13，BD⊥AC于点D且BD＝12，AE⊥BC于点E，连接DE，则DE的长为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解答】解：∵AB＝CB＝13，BD⊥AC于点D且BD＝12，
∴AD＝CD＝＝＝5，
∵AE⊥BC，
∴DE＝AC＝CD＝5，
故选：C．
5．（2023春•莱芜区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AC上，DC＝3cm，将线段DC沿着CB方向平移5.5cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC边上，则△EBF的周长为（ ）
A．9.5cmB．10cmC．10.5cmD．11.5cm
【答案】C
【解答】解：∵将线段DC沿着CB的方向平移5.5cm得到线段EF，
∴EF＝DC＝3cm，FC＝5.5cm，∠C＝∠BFE，
∵AB＝AC，BC＝10cm，
∴∠B＝∠C，BF＝4.5cm，
∴∠B＝∠BFE，
∴BE＝EF＝3cm，
∴△EBF的周长为：3+3+4.5＝10.5（cm），
故选：C．
6．（2022秋•大连期末）等腰三角形的周长为20cm，一边为8cm，则腰长为（ ）
A．4cmB．8cmC．4cm或8cmD．6cm或8cm
【答案】D
【解答】解：∵等腰三角形的周长为20cm，
∴当8cm是腰长时，底边＝20﹣8﹣8＝4cm；
∴当8cm是底边长时，腰长＝＝6cm，
∴腰长为8cm或6cm，
故选：D．
7．（2022秋•五常市期末）若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式（a﹣2）2+|b﹣5|＝0，则这个三角形的周长是（ ）
A．9B．12C．9或12D．15或6
【答案】B
【解答】解：根据题意，，
解得，
（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，2+2＜5，
不能组成三角形；
（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，
能组成三角形，
周长为2+5+5＝12．
故选：B．
8．（2022秋•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC＝12，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝12，BD＝CE，
∵BD＝4，
∴CE＝BD＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8．
故选：C．
9．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的中点，若∠BAD＝30°，BD＝2，则△ABC的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，D是边BC上的中点，∠BAD＝30°，BD＝2，
∴∠BAC＝60°，BC＝4，
∴△ABC为等边三角形，
∴△ABC的周长为4×3＝12，
故选：D．
10．（2023•桐乡市校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E，若BC＝4，△BDC的周长为10，则AE的长为（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【答案】B
【解答】解：∵BC＝4，且△BDC的周长为10，
∴BD+CD＝10﹣4＝6，
∵AD＝BD，
∴AD+DC＝6，
∴AC＝6，
∵AB＝AC，
∴AB＝6，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴AE＝AB＝3，
故选：B．
11．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝（ ）cm．
A．4.8B．6C．5D．6.4
【答案】B
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝3AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝3，
∴BF＝6．
故选：B．
【题型2根据等腰三角形的性质求角度】
12．（2023•余杭区校级模拟）如图，点D是△ABC的BC边上一点，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，则∠C＝（ ）
A．50°B．40°C．20°D．25°
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝80°，
∴∠B＝50°＝∠ADB，
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠C＝∠ADB＝25°．
故选：D．
13．（2023•思明区校级二模）如图，AB∥CD，DE＝EC，∠B＝35°，则∠BED＝（ ）
A．70°B．110°C．130°D．140°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝35°，
∴∠C＝∠B＝35°，
又∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠C＝35°，
∴∠BED＝2∠C＝70°．
故选：A．
14．（2023•城关区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC＝（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．
故选：C．
15．（2023春•舞钢市期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝BD＝CD，则∠BAC的度数是（ ）
A．90°B．80°C．70°D．60°
【答案】A
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AD＝BD＝CD，
∴，，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+45°＝90°，
故A正确．
故选：A．
16．（2023春•紫金县期中）若等腰三角形的底角为48°，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．66°B．84°C．48°D．68°
【答案】B
【解答】解：∵等腰三角形的底角为48°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣48°﹣48°＝84°．
故选：B．
17．（2023春•于洪区月考）若等腰三角形的一个角为40°，则该等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．70°C．100°D．40°或100°
【答案】D
【解答】解：若40°的角是顶角，则底角为：，
∴此时另外两个角的度数是70°，70°；
若40°的角是底角，则另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴此时另外两个角的度数是100°，40°．
∴该等腰三角形的顶角为40°或100°．
故选：D．
18．（2023春•碑林区校级月考）如图，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（ ）
A．120°B．30°C．60°D．80°
【答案】D
【解答】解：根据题意，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝40°，
又AB的垂直平分线交BC于点D，
∴DA＝DB
∴∠BAD＝∠B＝40°，
在△BAD中，∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，
∴∠ADC＝80°．
故选：D．
19．（2022秋•庐阳区校级期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【答案】C
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：C．
20．（2022秋•嵊州市期末）如图，在等腰三角形ABC中，顶角∠A＝36°，点D是腰AB上一点，作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则∠BED的度数为（ ）
A．16°B．18°C．20°D．24°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠BED＝90°﹣∠B＝18°，
故选：B．
21．（2023春•蕉城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ADB＝（ ）
A．100°B．105°C．110°D．115°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝75°，
由题意得：BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝105°，
故选：B．
22．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，BD＝AD＝AC，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（ ）
A．75°B．80°C．85°D．84°
【答案】D
【解答】解：∵BD＝AD＝AC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠4＝∠1+∠2，
∴∠3＝∠4＝2∠1＝2∠2，
∵∠BAC＝108°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠BAC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠2+2∠2＝72°，
∴∠2＝24°，
∴∠1＝24°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣24°＝84°，
故选：D．
【题型3判断等腰三角形的个数】
23．（2023春•茂名期中）如图，BM是△ABC的角平分线，AB＝AC，∠A＝36°，则图中有（ ）等腰三角形．
A．1个B．2个C．3个D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝36°，
∴，
∵BM是△ABC的角平分线，
∴∠ABM＝∠CBM＝36°，
∴∠A＝∠ABM，
∴△ABM是等腰三角形，
∵∠CBM＝36°，∠C＝72°，
∴∠BMC＝72°，
∴△BMC是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ABC、△ABM、△BMC，共3个等腰三角形．
故答案为：C．
24．（2022秋•张北县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于点F，交AC于点E，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：∵AD是边BC上的高线，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，
∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，
∴△ADC是等腰三角形，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBE＝∠ABC＝30°，
∴∠ABF＝∠BAD，
∴△ABF是等腰三角形，
则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，
而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，
故△ABE为等腰三角形，
故选：C．
25．（2022秋•千山区期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC＝∠ABC＝72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°
∴△CAD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
∴则图中等腰三角形的个数是3个．
故选：C．
26．（2022秋•灌南县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解答】解：AB＝AC，∠ABC＝36°，
∴∠BAC＝108°，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个，
故选：C．
27．（2021秋•惠阳区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D在AC的垂直平分线DF上，AE平分∠BAD，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵点D在AC的垂直平分线DF上，
∴AD＝CD，
∴△ADC是等腰三角形；
∴∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝36°，
∴∠BAE＝∠B，
∴AE＝BE，
∴△AEB是等腰三角形；
∵∠AED＝∠BAE+∠B＝72°，∠ADE＝∠DAC+∠C＝72°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴△ADE是等腰三角形；
∵∠BAD＝∠ADE＝72°，
∴BA＝BD，
∴△ABD是等腰三角形；
∵∠CAE＝∠AED＝72°，
∴CA＝CE，
∴△CAE是等腰三角形，
综上所述，等腰三角形有△ABC，△ADC，△AEB，△ADE，△ABD，△CAE共6个，
故选：D．
28．（2021秋•邢台月考）如图，已知∠A＝36°，∠C＝72°，BE平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（ ）
A．3B．4C．5D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°∠A﹣∠C＝72°，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABE＝36°，
∴EA＝EB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等腰三角形，
又∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝36°，
∴∠DBE＝∠DEB＝36°，
∴DB＝DE，
∴△DBE是等腰三角形，
又∵∠EBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，
∴∠C＝∠BEC＝72°，
∴BE＝BC，
∴△BEC是等腰三角形，
故选：C．
【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】
29．（2023春•碑林区校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点M、点N是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【解答】解：当MN是等腰△MNP的底边时，符合条件的点有P1、P2、P3、P4，共4个；
当MN是等腰△MNP的腰时，符合条件的点有P5、P6、P7、P8，共4个，
∴点P的个数是8个．
故选：C．
30．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：
所以符合条件的点C的个数为3个，
故选：C．
31．（2022秋•顺义区期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
32．（2022•兴宁区校级开学）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【解答】解：如图：
在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有8个，
故选：C．
33．（2022秋•安次区期末）在如图所示的3×3方格中，以AB为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 4 个．
【答案】4．
【解答】
解：如图所示，
分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4，即为第三个顶点的位置；
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个．
故答案为：4
【题型5等腰三角形的判定】
34．（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】（1）108°；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
35．（2023春•大埔县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求证：△ADC是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；
∵∠DAB＝45°，∠B＝30°
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴DC＝AC，
∴△ADC是等腰三角形．
36．（2022秋•洛川县期末）如图，已知∠ACE是ABC的一个外角，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DC平分∠ACE，
∴∠ECD＝∠ACD，
∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠B，∠ACD＝∠A，
∴∠A＝∠B，
∴BC＝AC．
故△ABC是等腰三角形．
【题型6等腰三角形的判定与性质】
37．（2023•莲都区一模）如图，△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠AED＝64°，求∠DCB的度数．
【答案】（1）见解析过程；
（2）32°．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴DE＝CE．
（2）∵DE∥BC，∠DEA＝64°，
∴∠ACB＝∠AED＝64°，
∵CD平分∠ACB，
∴．
答：∠DCB的度数是32°．
38．（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，BE平分∠DEC．
（1）求证：BC＝CE．
（2）若CE＝AB，EA＝EB，求∠C的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）36°．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠DEC，
∴∠DEB＝∠BEC，∠EBC＝∠BEC，
∴DE∥BC．
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠BEC＝∠EBC，
∴BC＝CE；
（2）解：∵BC＝CE，CE＝AB，
∴BC＝AB，
∴∠C＝∠A，
设∠C＝∠A＝x，
∵EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝x，
∴∠EBC＝∠BEC＝∠A+∠ABE＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，
∴∠C＝x＝36°．
39．（2023春•菏泽月考）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）14cm．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠DCB，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FD＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵AC＝6cm，AB＝8cm，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF
＝AE+ED+FD+AF
＝AE+EB+FC+AF
＝AB+AC
＝8+6
＝14（cm）．
40．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）50°．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
41．（2022秋•鄞州区校级期末）（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE；
②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；
（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∴∠FAP＝∠PAC，
∴∠FAC＝2∠PAC，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，
∴2∠PAC+∠BAC＝180°．
42．（2022秋•苍溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长．
【答案】（1）见解答；
（2）AC＝8．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∴∠CDB＝∠B＝72°，
∴CD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵△BCD的周长是13，
∴BC+BD+CD＝13，
∵AD＝CD，
∴BC+BD+AD＝13，
∴BC+AB＝13，
∵BC＝5，
∴AB＝13﹣5＝8，
∴AC＝AB＝8，
43．（2023•平阳县校级三模）如图，在△ABC中，点E、F在AC上，且AE＝CF，AD∥BC，AD＝BC．
（1）求证：△EBC≌△FDA．
（2）当AE＝EB，∠DFC＝130°时，求∠ABE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝EC，
在△EBC和△FDA中，
，
∴△EBC≌△FDA（SAS）；
（2）解：∵∠DFC＝130°，
∴∠AFD＝50°，
∵△EBC≌△FDA，
∴∠BEC＝∠AFD＝50°，
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE，
∵∠BEC＝∠BAE+∠ABE＝50°，
∴∠ABE＝25°．
44．（2022春•岷县月考）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠ECB＝∠OEC，
∴∠ACE＝∠OEC，
∴OE＝OC，
同理可得OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）解：∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF＝∠BCD＝90°，
∴EF＝＝＝13，
∴OC＝EF＝．
45．（2022•北海一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE．
【答案】（1）54°；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC．
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC．
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF．
∴∠EBF＝∠FEB．
∴BF＝EF．
【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【题型2根据等腰三角形的性质求角度】
【题型3判断等腰三角形的个数】
【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【题型5等腰三角形的判定与性质】
【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】
1．（2023•花溪区模拟）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝3，则CD等于（ ）
A．10B．5C．4D．3
【答案】D
【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝3，
∴CD＝3．
故选：D．
2．（2023•红塔区模拟）已知等腰三角形的周长为20，一边长为4，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．4B．8C．12D．4或12
【答案】A
【解答】解：分两种情况：
当腰长为4时，等腰三角形的底边长＝20﹣4×2＝20﹣8＝12，
∵4+4＜12，
∴不能组成三角形，
当底边长为4时，等腰三角形的腰长＝×（20﹣4）＝8，
综上所述：此等腰三角形的底边长为4，
故选：A．
3．（2023•开福区校级二模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝10，AD＝6，则BC的长为（ ）
A．10B．16C．18D．20
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BC＝2BD，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8，
∴BC＝2BD＝16，
故选：B．
4．（2023•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝CB＝13，BD⊥AC于点D且BD＝12，AE⊥BC于点E，连接DE，则DE的长为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解答】解：∵AB＝CB＝13，BD⊥AC于点D且BD＝12，
∴AD＝CD＝＝＝5，
∵AE⊥BC，
∴DE＝AC＝CD＝5，
故选：C．
5．（2023春•莱芜区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AC上，DC＝3cm，将线段DC沿着CB方向平移5.5cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC边上，则△EBF的周长为（ ）
A．9.5cmB．10cmC．10.5cmD．11.5cm
【答案】C
【解答】解：∵将线段DC沿着CB的方向平移5.5cm得到线段EF，
∴EF＝DC＝3cm，FC＝5.5cm，∠C＝∠BFE，
∵AB＝AC，BC＝10cm，
∴∠B＝∠C，BF＝4.5cm，
∴∠B＝∠BFE，
∴BE＝EF＝3cm，
∴△EBF的周长为：3+3+4.5＝10.5（cm），
故选：C．
6．（2022秋•大连期末）等腰三角形的周长为20cm，一边为8cm，则腰长为（ ）
A．4cmB．8cmC．4cm或8cmD．6cm或8cm
【答案】D
【解答】解：∵等腰三角形的周长为20cm，
∴当8cm是腰长时，底边＝20﹣8﹣8＝4cm；
∴当8cm是底边长时，腰长＝＝6cm，
∴腰长为8cm或6cm，
故选：D．
7．（2022秋•五常市期末）若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式（a﹣2）2+|b﹣5|＝0，则这个三角形的周长是（ ）
A．9B．12C．9或12D．15或6
【答案】B
【解答】解：根据题意，，
解得，
（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，2+2＜5，
不能组成三角形；
（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，
能组成三角形，
周长为2+5+5＝12．
故选：B．
8．（2022秋•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC＝12，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝12，BD＝CE，
∵BD＝4，
∴CE＝BD＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8．
故选：C．
9．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的中点，若∠BAD＝30°，BD＝2，则△ABC的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，D是边BC上的中点，∠BAD＝30°，BD＝2，
∴∠BAC＝60°，BC＝4，
∴△ABC为等边三角形，
∴△ABC的周长为4×3＝12，
故选：D．
10．（2023•桐乡市校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E，若BC＝4，△BDC的周长为10，则AE的长为（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【答案】B
【解答】解：∵BC＝4，且△BDC的周长为10，
∴BD+CD＝10﹣4＝6，
∵AD＝BD，
∴AD+DC＝6，
∴AC＝6，
∵AB＝AC，
∴AB＝6，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴AE＝AB＝3，
故选：B．
11．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝（ ）cm．
A．4.8B．6C．5D．6.4
【答案】B
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝3AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝3，
∴BF＝6．
故选：B．
【题型2根据等腰三角形的性质求角度】
12．（2023•余杭区校级模拟）如图，点D是△ABC的BC边上一点，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，则∠C＝（ ）
A．50°B．40°C．20°D．25°
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝80°，
∴∠B＝50°＝∠ADB，
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠C＝∠ADB＝25°．
故选：D．
13．（2023•思明区校级二模）如图，AB∥CD，DE＝EC，∠B＝35°，则∠BED＝（ ）
A．70°B．110°C．130°D．140°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝35°，
∴∠C＝∠B＝35°，
又∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠C＝35°，
∴∠BED＝2∠C＝70°．
故选：A．
14．（2023•城关区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC＝（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．
故选：C．
15．（2023春•舞钢市期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝BD＝CD，则∠BAC的度数是（ ）
A．90°B．80°C．70°D．60°
【答案】A
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AD＝BD＝CD，
∴，，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+45°＝90°，
故A正确．
故选：A．
16．（2023春•紫金县期中）若等腰三角形的底角为48°，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．66°B．84°C．48°D．68°
【答案】B
【解答】解：∵等腰三角形的底角为48°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣48°﹣48°＝84°．
故选：B．
17．（2023春•于洪区月考）若等腰三角形的一个角为40°，则该等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．70°C．100°D．40°或100°
【答案】D
【解答】解：若40°的角是顶角，则底角为：，
∴此时另外两个角的度数是70°，70°；
若40°的角是底角，则另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴此时另外两个角的度数是100°，40°．
∴该等腰三角形的顶角为40°或100°．
故选：D．
18．（2023春•碑林区校级月考）如图，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（ ）
A．120°B．30°C．60°D．80°
【答案】D
【解答】解：根据题意，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝40°，
又AB的垂直平分线交BC于点D，
∴DA＝DB
∴∠BAD＝∠B＝40°，
在△BAD中，∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，
∴∠ADC＝80°．
故选：D．
19．（2022秋•庐阳区校级期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【答案】C
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：C．
20．（2022秋•嵊州市期末）如图，在等腰三角形ABC中，顶角∠A＝36°，点D是腰AB上一点，作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则∠BED的度数为（ ）
A．16°B．18°C．20°D．24°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠BED＝90°﹣∠B＝18°，
故选：B．
21．（2023春•蕉城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ADB＝（ ）
A．100°B．105°C．110°D．115°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝75°，
由题意得：BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝105°，
故选：B．
22．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，BD＝AD＝AC，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（ ）
A．75°B．80°C．85°D．84°
【答案】D
【解答】解：∵BD＝AD＝AC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠4＝∠1+∠2，
∴∠3＝∠4＝2∠1＝2∠2，
∵∠BAC＝108°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠BAC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠2+2∠2＝72°，
∴∠2＝24°，
∴∠1＝24°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣24°＝84°，
故选：D．
【题型3判断等腰三角形的个数】
23．（2023春•茂名期中）如图，BM是△ABC的角平分线，AB＝AC，∠A＝36°，则图中有（ ）等腰三角形．
A．1个B．2个C．3个D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝36°，
∴，
∵BM是△ABC的角平分线，
∴∠ABM＝∠CBM＝36°，
∴∠A＝∠ABM，
∴△ABM是等腰三角形，
∵∠CBM＝36°，∠C＝72°，
∴∠BMC＝72°，
∴△BMC是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ABC、△ABM、△BMC，共3个等腰三角形．
故答案为：C．
24．（2022秋•张北县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于点F，交AC于点E，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：∵AD是边BC上的高线，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，
∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，
∴△ADC是等腰三角形，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBE＝∠ABC＝30°，
∴∠ABF＝∠BAD，
∴△ABF是等腰三角形，
则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，
而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，
故△ABE为等腰三角形，
故选：C．
25．（2022秋•千山区期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC＝∠ABC＝72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°
∴△CAD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
∴则图中等腰三角形的个数是3个．
故选：C．
26．（2022秋•灌南县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解答】解：AB＝AC，∠ABC＝36°，
∴∠BAC＝108°，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个，
故选：C．
27．（2021秋•惠阳区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D在AC的垂直平分线DF上，AE平分∠BAD，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵点D在AC的垂直平分线DF上，
∴AD＝CD，
∴△ADC是等腰三角形；
∴∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝36°，
∴∠BAE＝∠B，
∴AE＝BE，
∴△AEB是等腰三角形；
∵∠AED＝∠BAE+∠B＝72°，∠ADE＝∠DAC+∠C＝72°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴△ADE是等腰三角形；
∵∠BAD＝∠ADE＝72°，
∴BA＝BD，
∴△ABD是等腰三角形；
∵∠CAE＝∠AED＝72°，
∴CA＝CE，
∴△CAE是等腰三角形，
综上所述，等腰三角形有△ABC，△ADC，△AEB，△ADE，△ABD，△CAE共6个，
故选：D．
28．（2021秋•邢台月考）如图，已知∠A＝36°，∠C＝72°，BE平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（ ）
A．3B．4C．5D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°∠A﹣∠C＝72°，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABE＝36°，
∴EA＝EB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等腰三角形，
又∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝36°，
∴∠DBE＝∠DEB＝36°，
∴DB＝DE，
∴△DBE是等腰三角形，
又∵∠EBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，
∴∠C＝∠BEC＝72°，
∴BE＝BC，
∴△BEC是等腰三角形，
故选：C．
【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】
29．（2023春•碑林区校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点M、点N是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【解答】解：当MN是等腰△MNP的底边时，符合条件的点有P1、P2、P3、P4，共4个；
当MN是等腰△MNP的腰时，符合条件的点有P5、P6、P7、P8，共4个，
∴点P的个数是8个．
故选：C．
30．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：
所以符合条件的点C的个数为3个，
故选：C．
31．（2022秋•顺义区期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
32．（2022•兴宁区校级开学）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【解答】解：如图：
在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有8个，
故选：C．
33．（2022秋•安次区期末）在如图所示的3×3方格中，以AB为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 4 个．
【答案】4．
【解答】
解：如图所示，
分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4，即为第三个顶点的位置；
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个．
故答案为：4
【题型5等腰三角形的判定】
34．（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】（1）108°；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
35．（2023春•大埔县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求证：△ADC是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；
∵∠DAB＝45°，∠B＝30°
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴DC＝AC，
∴△ADC是等腰三角形．
36．（2022秋•洛川县期末）如图，已知∠ACE是ABC的一个外角，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DC平分∠ACE，
∴∠ECD＝∠ACD，
∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠B，∠ACD＝∠A，
∴∠A＝∠B，
∴BC＝AC．
故△ABC是等腰三角形．
【题型6等腰三角形的判定与性质】
37．（2023•莲都区一模）如图，△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠AED＝64°，求∠DCB的度数．
【答案】（1）见解析过程；
（2）32°．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴DE＝CE．
（2）∵DE∥BC，∠DEA＝64°，
∴∠ACB＝∠AED＝64°，
∵CD平分∠ACB，
∴．
答：∠DCB的度数是32°．
38．（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，BE平分∠DEC．
（1）求证：BC＝CE．
（2）若CE＝AB，EA＝EB，求∠C的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）36°．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠DEC，
∴∠DEB＝∠BEC，∠EBC＝∠BEC，
∴DE∥BC．
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠BEC＝∠EBC，
∴BC＝CE；
（2）解：∵BC＝CE，CE＝AB，
∴BC＝AB，
∴∠C＝∠A，
设∠C＝∠A＝x，
∵EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝x，
∴∠EBC＝∠BEC＝∠A+∠ABE＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，
∴∠C＝x＝36°．
39．（2023春•菏泽月考）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）14cm．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠DCB，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FD＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵AC＝6cm，AB＝8cm，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF
＝AE+ED+FD+AF
＝AE+EB+FC+AF
＝AB+AC
＝8+6
＝14（cm）．
40．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）50°．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
41．（2022秋•鄞州区校级期末）（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE；
②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；
（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∴∠FAP＝∠PAC，
∴∠FAC＝2∠PAC，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，
∴2∠PAC+∠BAC＝180°．
42．（2022秋•苍溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长．
【答案】（1）见解答；
（2）AC＝8．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∴∠CDB＝∠B＝72°，
∴CD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵△BCD的周长是13，
∴BC+BD+CD＝13，
∵AD＝CD，
∴BC+BD+AD＝13，
∴BC+AB＝13，
∵BC＝5，
∴AB＝13﹣5＝8，
∴AC＝AB＝8，
43．（2023•平阳县校级三模）如图，在△ABC中，点E、F在AC上，且AE＝CF，AD∥BC，AD＝BC．
（1）求证：△EBC≌△FDA．
（2）当AE＝EB，∠DFC＝130°时，求∠ABE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝EC，
在△EBC和△FDA中，
，
∴△EBC≌△FDA（SAS）；
（2）解：∵∠DFC＝130°，
∴∠AFD＝50°，
∵△EBC≌△FDA，
∴∠BEC＝∠AFD＝50°，
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE，
∵∠BEC＝∠BAE+∠ABE＝50°，
∴∠ABE＝25°．
44．（2022春•岷县月考）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠ECB＝∠OEC，
∴∠ACE＝∠OEC，
∴OE＝OC，
同理可得OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）解：∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF＝∠BCD＝90°，
∴EF＝＝＝13，
∴OC＝EF＝．
45．（2022•北海一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE．
【答案】（1）54°；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC．
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC．
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF．
∴∠EBF＝∠FEB．
∴BF＝EF．
相关试卷
初中数学苏科版八年级上册2.2 轴对称的性质课后测评： 这是一份初中数学苏科版八年级上册<a href="/sx/tb_c17040_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.2 轴对称的性质课后测评</a>，文件包含专题04角平分线的性质与判定五大类型题型专练原卷版docx、专题04角平分线的性质与判定五大类型题型专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
初中数学第二章 轴对称图形2.1 轴对称与轴对称图形课后练习题： 这是一份初中数学<a href="/sx/tb_c17039_t7/?tag_id=28" target="_blank">第二章 轴对称图形2.1 轴对称与轴对称图形课后练习题</a>，文件包含专题06等边三角形五大类型原卷版docx、专题06等边三角形五大类型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
初中数学苏科版九年级上册2.1 圆课时作业： 这是一份初中数学苏科版九年级上册<a href="/sx/tb_c17326_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.1 圆课时作业</a>，文件包含专题01圆的基本概念和性质五大类型题型专练原卷版docx、专题01圆的基本概念和性质五大类型题型专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
