初中苏科版6.4 探索三角形相似的条件课后作业题

这是一份初中苏科版6.4 探索三角形相似的条件课后作业题，文件包含第02讲探索三角形相似的条件知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第02讲探索三角形相似的条件知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

1.掌握平行线等分线段及平行线分线段成比例定理的内容；
2.了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；
3.进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力；
知识点1 平行线分线段成比例
类型1 平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
几何语言：
图一
拓展：
.如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；
.经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；

图二
3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。
图三
类型2 平行线分线段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.

图四 图五

（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例

知识点2 相似三角形的相关概念
在和中，如果
我们就说与相似，记作
∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
注意：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
知识点3 相似三角形的判定
1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
【题型1 平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】
【典例1】（2022秋•惠安县期末）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-1】（2023•武侯区校级模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝4，AC＝9，EF＝4，则DE的长为（ ）
A．B．C．5D．9
【变式1-2】（2023春•张店区期末）如图，直线a∥b∥c，直线a，b，c分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，若AC＝2，CE＝4，BD＝1，则DF＝（ ）
A．2B．3C．D．
【典例2】（2023春•任城区期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2-1】（2023春•罗定市校级期中）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝2：3，若CE＝6，则BC的长为（ ）
​
A．3B．4C．5D．6
【变式2-2】（2023•宁化县模拟）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（ ）
A．7.2B．6.4C．3.6D．2.4
【典例3】（2023•市中区一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式3-1】（2022秋•西岗区校级期末）如图，已知D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，AE＝2k，EC＝k，DE＝4，那么BC等于（ ）
A．4B．5C．6D．8
【变式3-2】（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2023•三明模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．B．4C．6D．
【题型2 相似三角形的概念】
【典例4】（2022秋•郯城县校级期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4】（2023春•梁溪区校级期末）下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形
B．两个顶角是120°的等腰三角形
C．两个全等三角形
D．两个直角三角形
【题型3三边对应成比例，两三角形相似】
【典例5】如图，已知．求证：．
【变式5】（2023•瑶海区三模）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝ ，BC＝ ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
【题型4 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】
【典例6】（2022秋•铜仁市期末）如图，D，E分别为AB，AC边上两点，且AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6．求证：△ADE∽△ACB．
【变式6-1】（2022秋•泉州期末）如图，AB、CD相交于点O，已知OA＝3，OD＝4，OB＝2，OC＝1.5．求证：△AOD∽△COB．
【变式6-2】（2023•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝8，EC＝2．求证：△ADE∽△ACB．
【变式6-3】（2022秋•商南县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝3，AC＝12．
（1）求CD的长．
（2）求证：△ABE∽△ACB．
【题型5 两角对应相等，两三角形相似】
【典例7】（2023•平潭县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
【变式7-1】（2023•凤庆县二模）如图，AC为菱形ABCD的对角线，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．求证：△ACD∽△ABE．
​
【变式7-2】（2023•涵江区一模）如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，BD相交于点O，OB＝OC，求证：△ABC∽△DCB．
【变式7-3】（2023•越秀区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点（不与点B，点C重合），连接DE并延长，交AB的延长线于点F．
求证：△CDE∽△AFD．
1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2022•临沂）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（ ）
A．B．C．D．
4．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
5．（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．

6．（2023•岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．
（1）若∠A＝30°，AB＝6，则的长是 （结果保留π）；
（2）若＝，则＝ ．
7．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
1．（2023•朝阳县三模）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝4，EF＝5，则DE的长度是（ ）
A．6B．C．D．
2．（2023•阳谷县一模）如图，是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF，DE＝24cm，EF＝40cm，BC＝50cm，则AB长为（ ）cm．
B．C．50D．30
3．（2023•仙桃校级一模）如图，DE∥BC，AD：DB＝2：3，EC＝6，则AE的长是（ ）
A．3B．4C．6D．10
4．（2023秋•商水县期中）如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是（ ）
A．OA•OC＝OD•OBB．∠B＝∠C
C．∠A＝∠DD．
5．（2023•昔阳县模拟）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．D．
6．（2023秋•高新区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4cm，D为AC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（ ）
A．0.5或2B．0.5或3.5C．2或2.5D．2或3.5
7．（2023秋•宜兴市月考）如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋•鲁山县期中）如图，已知△MNP．下列四个三角形，与△MNP相似的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中：①AC2＝AP•AB；②AB•CP＝AP•CB；③∠APC＝∠ACB；④∠ACP＝∠B能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
10．（2023春•肇源县期末）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋•商河县期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
12．（2023秋•衡南县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F是边AB上一点，且CB＝CF，过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点D，求证：△ADF∽△ACB．
13．（2023秋•邗江区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为t（s）．
（1）当移动几秒时，△PQB的面积为9cm2？
（2）当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
14．（2023秋•西安期中）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得BC＝CD．求证：△AEB∽△CED．
15．（2023秋•西安期中）如图，已知点E在△ABC是边AC的中点，点F在边AB的延长线上，EF交BC于点D，如果＝，求．
16．（2023秋•兴庆区校级期中）在△ABC和△AED中，AB•AD＝AC•AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC∽△AED．
17．（2023秋•东莞市校级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝2AD，AC＝2AE．求证：△ADE∽△ABC．
18．（2022秋•栖霞区校级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且∠BCE+∠BDE＝180°．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）连接BE、CD，求证：△AEB∽△ADC．
19．（2023•南安市校级模拟）如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上．
（1）请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA；
（2）试证明上述结论：△ABD∽△CBA．
20．（2023秋•金安区校级月考）如图，在△PAB中，C、D为AB边上的两个动点，PC＝PD．
（1）若PC⊥AB（即C、D重合），则∠APB＝ °时，△APC∽△PBD；
（2）若PC＝CD，∠APB＝120°，则△APC与△PBD相似吗？为什么？
（3）当∠CPD和∠APB满足怎样的数量关系时，△APC∽△PBD？请说明理由．