第18讲 任意角和弧度制,三角函数的概念（原卷及解析版）

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①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：
终边与角相同的角可写成．
2.弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
若一个角的弧度数为，角度数为，则，．
知识点2．三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义：
设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么
（1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；
（2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；
（3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
知识点3．扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．
(2)扇形面积公式，
题型一：任意角的概念
1．（全国高二课时练习）钟表的分针在1.5小时内转了（ ）
A．180°B．-180°C．540°D．-540°
【答案】D
【详解】
根据顺时针为负角，则分针在1.5小时内转了 ，
故选：D
2．（河北张家口·）某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为.
故选：A.
3．（咸阳百灵学校高一月考）若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：将钟表的分针拨快5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为，
故选：C
4．（全国高一课前预习）将分针拨快30分钟，则分针转过的弧度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
将分针拨快30分钟，则分针顺时针旋转180°，所以分针转过的弧度数是.
故选：A
5．（江苏宿迁·）小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
时钟上一圈的弧度是，共12个刻钟，每个刻钟相隔，
现在时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，小亮需要将时针顺时针旋转，
针顺时针旋转为负角，故他需要将时钟的时针旋转.
故选：B.
题型二：终边相同的角的集合
1．（全国高二课时练习）下列各角，与330°角的终边相同的角是（ ）
A．510°B．150°C．-150°D．-390°
【答案】D
【详解】
与330°角的终边相同的角为，
当时， ，
故选：D
2．（银川三沙源上游学校高一月考（文））在0°~360°范围内，与－690°角的终边相同的角是（ ）
A．150°B．210°C．30°D．330°
【答案】C
【详解】
令，
则 ，
令，得，
故选：C
3．（北京十五中高一期中）在0360°范围内，与角终边相同的角是（ ）
A．17°B．107°C．197°D．287°
【答案】D
【详解】
与角终边相同的角可表示为，令得.
故选：D.
4．（全国高一课时练习）下列各角中，与终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
与终边相同的角为，
当时，，
故选：C
5．（全国高一课时练习）在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( )
.
A．170°B．190°
C．－190°D．－170°
【答案】C
【详解】
与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190°
题型三：象限角
1．（全国高二课时练习）下列各角，与330°角的终边相同的角是（ ）
A．510°B．150°C．-150°D．-390°
【答案】D
【详解】
与330°角的终边相同的角为，
当时， ，
故选：D
2．（银川三沙源上游学校高一月考（文））在0°~360°范围内，与－690°角的终边相同的角是（ ）
A．150°B．210°C．30°D．330°
【答案】C
【详解】
令，
则 ，
令，得，
故选：C
3．（北京十五中高一期中）在0360°范围内，与角终边相同的角是（ ）
A．17°B．107°C．197°D．287°
【答案】D
【详解】
与角终边相同的角可表示为，令得.
故选：D.
4．（全国高一课时练习）下列各角中，与终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
与终边相同的角为，
当时，，
故选：C
5．（全国高一课时练习）在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( )
.
A．170°B．190°
C．－190°D．－170°
【答案】C
【详解】
与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190°
题型四：弧长公式，扇形面积公式
1．（全国高三模拟预测（文））已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因扇形的圆心角为，则此圆心角的弧度数是，设圆的半径为r，
则由扇形面积公式得：，而，解得，
所以该扇形所在圆的半径为2.
故选：B
2．（镇远县文德民族中学校）已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】A
【详解】
因为扇形的半径为2，面积是2，
所以，
解得，
故选：A
3．（银川三沙源上游学校高一月考（文））扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：因为扇形的中心角为120°，即因为扇形的中心角为，
又半径为，
所以扇形的面积为.
故选：A.
4．（白沙黎族自治县白沙中学高一期中）扇形的半径为1，圆心角的弧度数为2，则这个扇形的周长是（ ）
A．3B．4C．5D．以上都不对
【答案】B
【详解】
由扇形周长公式：，而，
∴这个扇形的周长是.
故选：B
5．（全国高一专题练习）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
【答案】B
【详解】
解：扇环的面积为．
故选：B
6．（上海高一课时练习）若的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹的扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
若的圆心角所对的弦长为2，则可得半径为2，
所以这个圆心角所夹的扇形的面积.
故选：A.
7．（全国高一课时练习）已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为弧度数为的圆心角所对的弦长为，所以扇形半径，
因此圆心角所对的弧长是
故选:B
8．（江西省乐平中学高一开学考试）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且AD=10，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设，圆心角是.则，
解得，所以阴影部的面积为，
故选：A
9．（上海宝山·高一期末）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
根据题意，则，，则，
所以扇面的面积.
故选：.
10．（全国高三专题练习（理））如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（ ）
A．84B．63C．42D．21
【答案】D
【详解】
设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，由题可得且，解得，，从而扇环面积.
故选：D．
题型五：任意角的三角函数定义
1．（北京市第一四二中学高三月考）若角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
∵角的终边经过点，
∴，，，
∴．
故选：D．
2．（全国高二课时练习）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
∵点P（﹣1，），
∴x＝﹣1，y＝，|OP|，
∴．故
故选：B
3．（重庆市第七中学校高三月考）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为角的终边经过点，
所以，
故选：B
4．（九龙坡·重庆市育才中学）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
根据三角韩的定义，角的终边经过点，，
所以.
故选：C
5．（全国高一课时练习）已知，则角所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】
因为，
所以角所在的象限是第二象限，
故选：B
6．（北京景山学校远洋分校高一期中）角的终边落在射线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题意在终边上取点，则，
所以．
故选：A．
7．（河南（文））已知角的终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由已知得，即，解得，
所以.
故选：A.
8．（绥德中学高一月考）是第二象限角，其终边上一点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题意可知，，解得，
因此，.
故选：A.
9．（全国）已知角终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为角终边经过点，且，
所以，所以，所以点的坐标为，
所以.
故选: A
10．（河南高一期末（文））已知，角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：因为角的终边上一点，所以，又，解得，由可知在第二象限，故．
故选：C．