第15讲 导数的应用（导数与函数的极值，最值）（原卷及解析版）

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(1)极小值点与极小值
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ．
特别提醒：
（1），不一定是极值点
（2）只有且两侧单调性不同 ，才是极值点.
(3)求极值点，可以先求的点，再列表判断单调性.
2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程的根
（3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况
若左正右负，则为极大值；
若 左负右正，则为极小值；
若 左右同号，则无极值。
3.最大值:
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，称是函数的最大值
4.最小值:
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，称是函数的最小值
题型一：求极值
1．（全国高二课时练习）函数的极小值为（ ）
A．1B．
C．D．
【答案】B
【详解】
f′(x)＝－1＋2x＝2，令f′(x)＝0，得x＝．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
当x＝时，f(x)有极小值．
故选：B．
2．（全国高二课时练习）函数在区间上的极大值为（ ）
A．B．
C．－1D．0
【答案】C
【详解】
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ －1.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)