高考一轮复习 第42讲 回归直线方程（原卷及解析版）

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如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．回归直线对应的方程叫做回归直线方程(简称回归方程)．
2．回归方程的求解
（1）求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．
若变量与具有线性相关关系，有个样本数据，则回归方程中，.
其中，
称为样本点的中心．
（2）线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量．
【注意】①回归直线必过样本点的中心，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据．
②利用回归直线方程不但可以预测在x取某一个值时，y的估计值，同时也能知道x每增加1个单位，的变化量．
③在回归直线方程中，既表示直线的斜率，又表示自变量的取值每增加一个单位时，函数的改变量．
题型一：相关关系
1．（全国高一课时练习）有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗一升汽油所行驶的距离；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③某人每天的吸烟量和身体健康状况；
④圆的半径与面积；
⑤汽车的重量和每千米的耗油量．
其中两个变量成正相关的是（ ）
A．②④⑤B．②④C．②⑤D．④⑤
【答案】C
【详解】
①中，汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；
②中，平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；
③中，某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；
④中，圆的半径与面积是函数关系；
⑤中，汽车的重量和百公里耗油量关系是一个正相关；，
所以②⑤中的两个变量属于线性正相关．
故选：C．
2．（全国高二课时练习）下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（ ）
A．瑞雪兆丰年B．读书破万卷，下笔如有神
C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
【答案】D
“瑞雪兆丰年”和“读书破万卷，下笔如有神”是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都是相关关系，所以A、B、C三项具有相关关系；
结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反应，与人无任何关系，故D项不具有相关关系
故选：D.
3．（全国高二课时练习）下面的变量之间可用直线拟合的是（ ）
A．出租车费与行驶的里程
B．房屋面积与房屋价格
C．身高与体重
D．实心铁块的大小与质量
【答案】C
【详解】
出租车费与行驶的里程是确定的函数关系，故A错误；房屋面积与房屋价格是确定的函数关系，故B错误；人的身高会影响体重，但不是唯一因素，可用直线拟合，故C正确；实心铁块的大小与质量是确定的函数关系，故D错误.
故选：C．
4．（全国）某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取8位同学，他们的数学、物理成绩（单位：分，满分100分）的散点图如图所示：
根据以上信息，有下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②从全班同学中随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；
③从全班同学中随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】
由散点图，知两个变量具有线性相关关系，所以①正确；
利用统计知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，所以②错误，③正确；
所以正确结论的个数为2.
故选：C.
5．（全国高二单元测试）下列有关相关关系及线性回归的说法，不正确的是（ ）
A．一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系称为相关关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形称为散点图
C．线性回归方程最能代表观测值，之间的关系
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归方程
【答案】D
【详解】
对于D，当所得到的一组观测值不具有相关关系时，求得的回归方程就毫无意义．所以D错.
故选：D.
6．（静宁县第一中学高二月考（文））已知变量和满足关系，变量与负相关．下列结论中正确的是（ ）
A．与正相关，与负相关
B．与正相关，与正相关
C．与负相关，与负相关
D．与负相关，与正相关
【答案】D
【详解】
∵，
∴随的增大而减小，即与负相关，
又与负相关，故增大时，减小，增大，
所以与正相关．
故选：D.
7．（威海市第一中学高二月考）对变量X，Y有观测数据（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）对变量U，V有观测数据（10,1），（11.3,2），（11.8,3），(12.5,4)，（13,5），表示变量X，Y之间的线性相关系数，表示受最U，V之间的线性相关系数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：由条件可知：第一组中的数据负相关，相关系数小于零；
第二组中的数据正相关，相关系数大于零.
所以有.
故选：C
8．（江苏沭阳·高二期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，
囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1，
所以，
故选：A
题型二：回归直线方程（小题）
1．（江西吉安一中高二开学考试（理））已知与之间的一组数据：，则与的线性回归方程为必过（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题意可知：，，
与的线性回归方程必过点.
故选：C.
2．（孟津县第一高级中学（理））为了庆祝建党100周年，某网站从7月1日开始推出党史类书籍免费下载活动，已知活动推出时间（单位：天）与累计下载量（单位：万次）的统计数据如表所示：
根据上表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测，活动推出11天的累计下载量约为（ ）
A．13.8万次B．14.6万次
C．16万次D．18万次
【答案】C
【详解】
由表格数据知，
由回归直线方程的性质，得，所以，故，
所以当时，（万次），
故选：C.
3．（贵州贵阳一中高三月考（文））某产品的零售价（元）与销售量（个）的统计表如下：
据上表可得回归直线方程为，则（ ）
A．140.6B．141C．141.2D．141.4
【答案】B
【详解】
解：由表得，，所以，解得.
故选：B.
4．（崇仁县第二中学（文）） 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据如下表，由表中数据，得回归直线：，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．直线过点（4，8）D．直线过点（2，5）
【答案】D
【详解】
画出散点图如图所示．
通过散点图可知回归直线是递增型，所以，
也可以观测到在轴的截距是大于零的，所以．
，，
所以回归直线过（4，8）这一点.
所以ABC选项结论正确，D选项结论错误.
故选：D
5．（全国高二课时练习）设有一个回归方程为，则变量增加一个单位时（ ）
A．平均增加1.5个单位B．平均增加2个单位
C．平均减少1.5个单位D．平均减少2个单位
【答案】C
【详解】
因为直线回归方程为：①，
当变量增加一个单位时②，
由②①可得：，
所以变量增加一个单位时平均减少1.5个单位，
故选：C.
6．（镇远县文德民族中学校高二月考（理））已知两个变量x，y线性相关，且根据观测到的数据计算样本平均数得，则根据这组观测数据算得的线性回归方程不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
解：因为线性回归直线方程一定经过样本中心，，
又，，，，
所以这组观测数据算得的线性回归方程不可能是，
故选：D.
7．（全国高二单元测试）已知与之间的一组数据：
则与的线性回归方程必过点___________.
【答案】
【详解】
由表格数据可知：，，
线性回归方程必过点.
故答案为：.
8．（长春市第二十中学高二期末）已知､取值如下表：
画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值为___________.（精确到0.1）
【答案】1.7
【详解】
因为，
所以有，
故答案为：
9．（四川乐山·高二期末（文））某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则______．
【答案】10
【详解】
由题意，得，，
由样本中心在回归方程上，
∴，得.
故答案为：
10．（四川成都·高三模拟预测（文））已知关于，的一组数据：
根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为，则的值为___________.
【答案】
【详解】
由题意，根据表格中的数据，可得，
，即样本中心为，
则，即，
解得.
故答案为：
题型三：回归直线方程（大题）
1．（渭南市尚德中学高二月考（文））在一段时间内，分5次调查，得到某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据为：
（1）求出关于的线性回归方程；
（2）若价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？（精确到0.01t）．
【答案】（1）；（2）6.25 t.
【详解】
（1）∵，，，，
∴，，
故y关于x的线性回归方程为．
（2）当时，，
∴价格定为1.9万元时，预测需求量大约是．
2．（海原县第一中学高一期末）某产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：
（1）求线性回归方程；
（2）预测当广告费支出（百万元）时的销售额．
（回归直线方程是：，其中，
【答案】（1）；（2）百万元.
【详解】
（1）由题意，，，而，，
∴，则，
∴线性回归方程为.
（2）当时，(百万元).
3．（渝中·重庆巴蜀中学）高二下学期期末考试之后，年级随机选取8个同学，调査得到每位同学的每日数学学习时间分钟与期末数学考试成绩(分)的数据，并求得.
（1）求学生的数学考试成绩与学生每日数学学习时间的线性回归方程；
（2）小明每日数学学习时间如果是65分钟，试着预测他这次考试的数学成绩.
附：
【答案】（1）；（2）分.
【详解】
解：（1）由已知可求得：，
所以，
页，则线性回归方程为：.
（2）当时，带入回归方程得，
所以预测他这次考试数学成绩为分.
4．（陕西铜川·高一期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内每天获纯利（元）与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表所示．
已知，，．
（1）求，；
（2）画出散点图；
（3）求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程（结果保留两位小数）；
（4）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元．（精确到1元）
注：，．
【答案】（1），；（2）作图见解析；（3）；（4）146元．
【详解】
（1），；
（2）散点图如图所示．
（3）由散点图知与具有线性相关关系，设回归直线方程为．
∵，，，，，
∴，，
∴回归直线方程为；
（4）当时，．
∴该周内某天的销售量为20件时，估计这天可获纯利146元．
5．（陕西秦都·咸阳市实验中学高一月考）假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用 (万元)，有如下的统计资料:
若由资料可知对呈线性相关关系，试求:
（1）线性回归方程;
（2）估计使用年限为10年时的维修费用.
(注: ，)
【答案】（1）；（2）12.38万元..
【详解】
（1），
(2)将代入得
即使用年限为10年时的维修费用的估计值为12.38万元.
6．（四川南充·高二期末（理））某产品的广告费用(单位:万元)与销售额(单位:万元)的统计数据如下表:
根据上表可得回归方程.
（1）求;
（2）估计广告费用万元时，销售额是多少万元?
【答案】（1）；（2）
【详解】
解：（1），，
数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程，
，
，
（2）线性回归方程是，
广告费用为6万元时销售额为万元
7．（陕西长安一中高二期末（文））2020年8月11日新华社北京电，国家主席习近平对制止餐饮浪费行为作出重要指示.他指出，餐饮浪费现象，触目惊心、令人痛心！“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦.”尽管我国粮食生产连年丰收，对粮食安全还是始终要有危机意识，今年全球新冠肺炎疫情所带来的影响更是给我们敲响了警钟.粮食问题是关乎民生的大问题.某地近几年来粮食产量逐步上升，下表是部分统计数据：
（1）利用所给数据求粮食年需求量与年份代码之间的回归直线方程；
（2）预测2020年的粮食需求量.
参考公式：.
【答案】（1）；（2）万吨.
【详解】
（1），
，
，
∴，，
故回归方程为.
（2）将代入，得，所以预计2020年的粮食需求量为万吨.
8．（千阳县中学高二期中（文））入夏以来，天气炎热，合肥地区用电负荷连创新高，某用户随机统计了家里某4天用电量（千瓦·时）与当天气温（℃）情况，数据如下表：
（1）请根据提供的数据，计算，，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（2）请估计当时的y值.
参考公式：，.
【答案】（1）；（2）41千瓦∙时.
【详解】
（1），
.
求得线性回归方程为：；
（2）当时，（千瓦∙时）
所以根据回归方程估计用41千瓦∙时.
9．（巴楚县第一中学高二期中（文））某研究机构对某校高二文科学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据．
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）试根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为14的学生的判断力.
（参考公式：其中）
【答案】（1）见解析；（2）（3）判断力为7.5.
【详解】
（1）
（2），，
，
，所以.
.
故线性回归方程为.
（3）当时，故可预测记忆力为14的学生的判断力为7.5.
10．（长春市第二十九中学高二期末（文））某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间如下对应数据：
（1）求回归方程；
（2）试预测广告费支出为10百万时的销售额为多大．（，）
【答案】（1）；（2）百万元
【详解】
（1），，
，，
，，
，，
所以所求回归方程为：.
（2）由代入得，
所以预测广告费支出为10百万时的销售额为百万元.
4
5
6
7
8
6
8
9
10
12
12
13
14
15
16
44
35
28
20
11
广告费用（万元）
2
3
5
6
销售利润（万元）
5
7
9
11
0
1
4
5
6
1.3
5.6
7.4
2
4
5
6
8
25
35
60
55
75
1
2
3
4
5
价格
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量
12
10
7
5
3
3
4
5
6
7
8
9
66
69
73
81
89
90
91
2
3
4
5
6
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码
1
2
3
4
5
需求量万吨
136
146
157
176
186
气温（℃）
30
32
34
36
用电量（千瓦∙时）
20
26
30
36
6
8
10
12
2
3
5
6
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70