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湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二上学期期末数学试题
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时量：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若集合，则集合的子集的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
3. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，则
4. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A. 10B. 100C. 110D. 120
5. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有
A. 种B. 种C. 种D. 种
6. 已知圆，直线，l与圆C相交于A、B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（ ）
A B.
C D.
7 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足， ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A. 频率分布直方图中a的值为0.005B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为225
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数上单调递增B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极大值D. 函数有最大值
11. 设数列的前n项和为，下列命题正确的是（ ）
A. 若为等差数列，则，，仍为等差数列
B. 若为等比数列，则，，仍为等比数列
C. 若等差数列，则为等差数列
D. 若为正项等比数列，则为等差数列
12. 已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ）
A. B.
C. 的最大值为16D. 当最小时，直线的斜率不存在
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 曲线在点处的切线方程为______.
14. 已知，则__________.
15. 某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________．
16. 若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 设为实数，函数.
（1）求的极值；
（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若的中线长为，求面积的最大值．
20. 记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且．
（1）求和的值，并猜想的通项公式；
（2）证明第（1）问猜想的通项公式；
（3）设，数列的前n项和为，求证：．
21. 在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点为，上顶点满足.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点.设直线和直线相交于点，直线和直线相交于点，直线与轴交于.证明：是定值.
22. 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.
时量：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若集合，则集合的子集的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
3. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，则
4. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A. 10B. 100C. 110D. 120
5. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有
A. 种B. 种C. 种D. 种
6. 已知圆，直线，l与圆C相交于A、B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（ ）
A B.
C D.
7 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足， ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A. 频率分布直方图中a的值为0.005B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为225
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数上单调递增B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极大值D. 函数有最大值
11. 设数列的前n项和为，下列命题正确的是（ ）
A. 若为等差数列，则，，仍为等差数列
B. 若为等比数列，则，，仍为等比数列
C. 若等差数列，则为等差数列
D. 若为正项等比数列，则为等差数列
12. 已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ）
A. B.
C. 的最大值为16D. 当最小时，直线的斜率不存在
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 曲线在点处的切线方程为______.
14. 已知，则__________.
15. 某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________．
16. 若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 设为实数，函数.
（1）求的极值；
（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若的中线长为，求面积的最大值．
20. 记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且．
（1）求和的值，并猜想的通项公式；
（2）证明第（1）问猜想的通项公式；
（3）设，数列的前n项和为，求证：．
21. 在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点为，上顶点满足.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点.设直线和直线相交于点，直线和直线相交于点，直线与轴交于.证明：是定值.
22. 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.
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