北京市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份北京市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若复数z＝﹣2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）已知向量＝（2，1），＝（4，x），且∥，则x的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣8D．8
3．（5分）在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若∠A＝120°，a＝2，b＝，则B＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．πC．D．2π
5．（5分）已知P为△ABC所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2acsB＝c，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
8．（5分）对于非零向量，，定义运算“×”：×＝||||sinθ，其中θ为，的夹角．设，，为非零向量，则下列说法错误的是（ ）
A．×＝×B．（+）×＝×+×
C．若×＝0，则∥D．×＝（﹣）×
9．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝AB，P为棱A1B1的中点，Q为线段A1C上的动点．以下结论中正确的是（ ）
A．存在点Q，使BQ∥AC
B．不存在点Q，使BQ⊥B1C1
C．对任意点Q，都有BQ⊥AB1
D．存在点Q，使BQ∥平面PCC1
10．（5分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（5分）已知复数z＝i（1+i），则＝ ；|z|＝ ．
12．（5分）已知向量＝（1，﹣1），＝（﹣2，1），则2＝ ；向量在上的投影向量的坐标为 ．
13．（5分）正四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D大小的余弦值为 ．
14．（5分）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cs＜，＞＝ ，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝ ．
15．（5分）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝ ；的取值范围是 ．
16．（5分）如图矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列叙述正确的有 （写出所有序号）．
①BM是定值；
②一定存在某个位置，使CE⊥DA1；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．
三、解答题（每题14分，共70分）
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E，F分别是AB，PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥CD．
18．（14分）已知f（x）＝sin2x+2cs2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
19．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF．
（1）求证：平面BAF∥平面CDE；
（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；
（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
20．（14分）已知在△ABC中，sin2A＝sinBsinC．
（1）若∠A＝，求∠B的大小；
（2）若bc＝1，求△ABC的面积的最大值．
21．（14分）对于数集X＝{﹣1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{|＝（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意∈Y，存在∈Y，使得•＝0，则称X具有性质P．
（Ⅰ）判断{﹣1，1，2}是否具有性质P；
（Ⅱ）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（Ⅲ）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共50分）
1．（5分）若复数z＝﹣2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：复数z＝﹣2+i，
则复数z在复平面内对应的点（﹣2，1）位于第二象限．
故选：B．
2．（5分）已知向量＝（2，1），＝（4，x），且∥，则x的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣8D．8
【解答】解：∵＝（2，1），＝（4，x），且∥，
∴2x﹣4＝0，即x＝2．
故选：B．
3．（5分）在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若∠A＝120°，a＝2，b＝，则B＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵∠A＝120°，a＝2，b＝，
∴由正弦定理可得：
sinB＝．
∵∠A＝120°
∴B＝30°，
即B＝．
方法2：∵∠A＝120°，∴0°＜B＜60°，排除A，B，C，
故选：D．
4．（5分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．πC．D．2π
【解答】解：由题知，如图，
△PAB为圆锥的轴截面，边长均为2，
则圆锥的高，
底面半径，
故圆锥体积．
故选：A．
5．（5分）已知P为△ABC所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由于，
利用向量的线性运算，，
整理得：．
故选：A．
6．（5分）已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若非零向量，满足，则，，
故“”是“”成立的必要条件，
若，两边同时平方可得，，，
令，时，满足非零向量，且，成立，但．
故“”不是“”成立的充分条件，
综上所述，“”是“”成立的必要不充分条件．
故选：B．
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2acsB＝c，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
【解答】解：c＝2acsB，由正弦定理可得
sinC＝sin（A+B）＝2sinAcsB，
由两角和的正弦公式可得：sinAcsB+csAsinB＝2sinAcsB，
∴sinAcsB＝csAsinB，
可得tanA＝tanB，
又0＜A，B＜π，
∴A＝B，
故△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A．
8．（5分）对于非零向量，，定义运算“×”：×＝||||sinθ，其中θ为，的夹角．设，，为非零向量，则下列说法错误的是（ ）
A．×＝×B．（+）×＝×+×
C．若×＝0，则∥D．×＝（﹣）×
【解答】解：非零向量，，定义运算“×”：×＝||||sinθ，其中θ为，的夹角．
故：①，
故A正确．
②，
则：θ＝0或π，
所以：和共线，
故：C正确．
③由于：，
故：D正确，
所以利用排除法得到：B错误．
故选：B．
9．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝AB，P为棱A1B1的中点，Q为线段A1C上的动点．以下结论中正确的是（ ）
A．存在点Q，使BQ∥AC
B．不存在点Q，使BQ⊥B1C1
C．对任意点Q，都有BQ⊥AB1
D．存在点Q，使BQ∥平面PCC1
【解答】解：
A选项，由于BQ∩平面 ABC＝B，B∉AC，AC⊂平面ABC，则BQ，AC一定异面，A选项错误；
B选项，根据直三棱柱性质，BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故BB1⊥BC，
又 AB⊥BC，AB∩BB1＝B，AB，BB1⊂平面ABB1A1，
故BC⊥平面ABB1A1，
又BA1⊂平面ABB1A1，
故BC⊥BA1，
显然BC∥B1C1，
即B1C1⊥BA1，
故A1，Q重合时，BQ⊥B1C1，B选项错误；
C选项，直棱柱的侧面ABB1A1必是矩形，
而AA1＝AB，
故矩形ABB1A1成为正方形，
则AB1⊥BA1，
B选项已经分析过，BC⊥平面ABB1A1，
由AB1⊂平面ABB1A1，
故AB1⊥BC，
又BC∩BA1＝B，BC，BA1⊂平面BCA1，
故AB1⊥平面BCA1，
又BQ⊂平面BCA1，
则BQ⊥AB1必然成立，C选项正确；
D选项，取AB中点M，连接CM，PM，
根据棱柱性质可知，CM和C1P平行且相等，
故平面PCC1可扩展成平面CMPC1，
过B作BN⊥CM，垂足为N，
根据BB1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，
故BB1⊥BN，
显然BB1∥CC1，
故BN⊥CC1，
由BN⊥CM，CC1∩CM＝C，CC1，CM⊂平面CMPC1，
故BN⊥平面CMPC1，
若BQ∥平面PCC1，
则BQ⊥BN，
过Q作QO∥BB1，交A1C1 于O，连接B1O，于是BQOB1共面，
又BQ∩BB1＝B，BQ，BB1⊂平面BQOB1，
故BN⊥平面BQOB1，
由于B1O⊂平面BQOB1，
故BN⊥B1O，延长OQ交AC于J，
易得B1O∥BJ，
则BJ⊥BN，
而J在线段AC上，
这是不可能的，D选项错误．
故选：C．
10．（5分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题可知：∠BAD＝73.5°﹣26.5°＝47°，
在△BAD中，由正弦定理可知：，即，
则，
又在△ACD中，，
所以，
故选：D．
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（5分）已知复数z＝i（1+i），则＝ ﹣1﹣i ；|z|＝ ．
【解答】解：z＝i（1+i）＝﹣1+i，
则，|z|＝．
故答案为：﹣1﹣i；．
12．（5分）已知向量＝（1，﹣1），＝（﹣2，1），则2＝ （0，﹣1） ；向量在上的投影向量的坐标为 （） ．
【解答】解：＝（1，﹣1），＝（﹣2，1），
则2＝（2，﹣2）+（﹣2，1）＝（0，﹣1）；
，＝，
故向量在上的投影向量的坐标为：＝＝（）．
故答案为：（0，﹣1）；（）．
13．（5分）正四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D大小的余弦值为 ．
【解答】解：设正四面体ABCD的棱长为2，
取BC中点O，连接AO，DO，则∠AOD就是二面角A﹣BC﹣D的平面角，
∵AO＝DO＝，
∴cs∠AOD＝＝．
故答案为：．
14．（5分）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cs＜，＞＝ ，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝ 5 ．
【解答】解：根据题意，点O（0，0），A（1，2），B（m，0），
则＝（1，2），＝（m，0），则||＝，||＝m，
•＝m，
故cs＜，＞＝＝，
若B是以OA为边的矩形的顶点，而与不垂直，则必有⊥，
又由＝（m﹣1，﹣2），则有•＝（m﹣1）+2×（﹣2）＝0，解可得m＝5，
故答案为：，5．
15．（5分）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝ ；的取值范围是 （2，+∞） ．
【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），
可得：（a2+c2﹣b2）＝acsinB，，
可得：tanB＝，所以B＝，∠C为钝角，A∈（0，），
tanA＝，
∈（，+∞）．
＝＝＝csB+sinB＝∈（2，+∞）．
故答案为：；（2，+∞）．
16．（5分）如图矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列叙述正确的有 ①②④ （写出所有序号）．
①BM是定值；
②一定存在某个位置，使CE⊥DA1；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．
【解答】解：对于①④，取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，
∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故④正确，
由∠A1DE＝∠MFB＝，MF＝A1D＝，FB＝DE＝，
由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cs∠MFB＝，
所以MB＝是定值，故①正确，
对于②，当A1C＝时，
因为A1E＝1，CE＝，所以，
所以A1E⊥CE，
因为矩形ABCD中，DE＝CE＝，DC＝2，
所以DE2+CE2＝DC2，即DE⊥EC，
又因为A1E∩DE＝E，所以CE⊥平面A1DE，
所以CE⊥DA1，故②正确，
假设③正确，即在某个位置，使DE⊥A1C，
又因为矩形ABCD中，DE＝CE＝，DC＝2，
所以DE2+CE2＝DC2，即DE⊥EC，
又因为A1C∩EC＝C，所以DE⊥平面A1EC，
则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾，
所以不存在某个位置，使DE⊥A1C，故③错误．
故答案为：①②④．
三、解答题（每题14分，共70分）
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E，F分别是AB，PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥CD．
【解答】证明：（Ⅰ）E，F分别是AB，PB的中点，
可得EF∥PA，
而EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以EF∥平面PAD；
（Ⅱ）PD⊥底面ABCD，PD⊂平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
因为底面ABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PA，
由（Ⅰ）可得EF∥PA，
所以EF⊥CD．
18．（14分）已知f（x）＝sin2x+2cs2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝sin2x+2cs2x＝sin2x+cs2x+1＝2sin（2x+）+1，
∴f（x）的最小正周期T＝＝π，
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
可得f（x）单调递减区间为[kπ+，k]，k∈Z．
（Ⅱ）∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴由函数图象性质可有，
当2x+＝，即x＝时，f（x）max＝3；
当2x+＝，即x＝时，f（x）min＝0．
19．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF．
（1）求证：平面BAF∥平面CDE；
（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；
（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，
∴AF∥平面CDE．
同理，AB∥平面CDE，
∵AF∩AB＝A，
∴平面BAF∥平面CDE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD∩DE＝D．
∴AC⊥平面EBD，
∵AC⊂平面EAC，
∴平面EAC⊥平面EBD；
解：（3）BM＝BD时，AM∥平面BEF，理由如下：
作MN∥ED，则MN平行且等于BD，
∵AF∥DE，DE＝3AF，∴AF平行且等于MN，
∴AMNF是平行四边形，
∴AM∥FN，
∵AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，
∴AM∥平面BEF
20．（14分）已知在△ABC中，sin2A＝sinBsinC．
（1）若∠A＝，求∠B的大小；
（2）若bc＝1，求△ABC的面积的最大值．
【解答】解：（1）∵sin2A＝sinBsinC．由正弦定理可得a2＝bc，
由余弦定理可得：csA＝，
∴，化为（b﹣c）2＝0，
∴b＝c．
∴△ABC是等边三角形，
∴．
（2）∵bc＝1，a2＝bc，
由余弦定理可得：csA＝＝＝，A∈（0，π）．
∴，
∴S△ABC＝＝sinA＝．
∴△ABC的面积的最大值为．
21．（14分）对于数集X＝{﹣1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{|＝（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意∈Y，存在∈Y，使得•＝0，则称X具有性质P．
（Ⅰ）判断{﹣1，1，2}是否具有性质P；
（Ⅱ）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（Ⅲ）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1．
【解答】解：（Ⅰ）{﹣1，1，2}具有性质P．
（Ⅱ）选取＝（x，2），Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b）．
所以x＝2b，从而x＝4；
（ III）证明：取＝（x1，x1）∈Y，设＝（s，t）∈∈Y满足•＝0．
由（s+t）x1＝0得s+t＝0，所以s、t异号．
因为﹣1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为﹣1，另一为1，
故1∈X．
假设xk＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn．
选取＝（x1，xn），并设＝（p，q）满足•＝0，
即px1+qxn＝0，则p，q异号，从而p，q之中恰有一个为﹣1．
若p＝﹣1，则x1＝qxn，显然矛盾；
若q＝﹣1，则xn＝px1＜p≤xn，矛盾．
所以x1＝1．