福建省南安市侨光中学2023-2024学年高一下学期第2次阶段考试（5月月考）数学试题

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6【解答】解：由题意，多面体为棱长为的正方体，切去一个角，
多面体的外接球的直径为，半径为，
多面体的外接球的表面积为．
故选A．
7【详解】由正弦定理，则，即，由题意仅有一值，
故或，解得或
故选：D
8【详解】由题意知，，在上取点，使得，
则且，所以四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
所以平面.
在上取点，使得，
有，所以，则，
又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，则点M的轨迹为线段.
在中，，由余弦定理，
得，
即点M的轨迹长度为.
多选题
9【答案】AC
10【答案】BCD
【详解】由题意可得：.
对于选项A：因为，所以，不垂直，故A错误；
对于选项B：因，所以，故B正确；
对于选项C：因为，
所以在方向上的投影向量的模为，故C正确；
对于选项D：因为，
若与共线，则，解得，
所以当时，与共线，故D正确；
故选：BCD.
ABD
【解答】对于A，，A对;
对于B，由角平分线定理可得，，B对;
对于C，根据正弦定理可得三角形ABD外接圆半径，三角形ABD外接圆面积最小值为，C错;
对于D，设，，由正弦定理可得，，
，根据边长关系，必有，，D对，故选ABD
三、填空题 12．6
13. 解：连接，由题意可知，，
所以，，
根据余弦定理可得：
，
所以，
14.【答案】90
【详解】因为是三个边长为2的等边三角形，
所以为等腰三角形，，
所以，
延长交于点，如图所示，
则，
所以，
所以，
所以
，
所以.
故答案为：90.
解答题
【答案】解：，，
，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
【答案】解：（方法一）因为，，
所以，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
因为，所以；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
（方法二）因为，，
所以，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
整理得，
由正弦定理可得，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
又，
所以，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
因为，则，
所以，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
因为，所以；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
由可得，
由及余弦定理可得
所以，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
由，
解得，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
所以，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
所以．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分
17.（1）由平面，平面，得，┄┄┄┄┄┄1分
连接，由且，
所以四边形为平行四边形，┄┄┄┄┄┄2分
又，
所以平行四边形为正方形，所以，┄┄┄┄┄┄4分
又，所以，┄┄┄┄┄┄5分
又平面，
所以平面，
由平面，所以平面平面；┄┄┄┄┄┄7分
（2）由平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
故为二面角的平面角，即，┄┄┄┄┄┄10分
在中，，作，垂足为M，
由（2）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则为直线在平面上的投影，
所以为直线与平面所成的角，┄┄┄┄┄┄13分
在中，，所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.┄┄┄┄┄┄15分
18．（17分）
【解析】（1）设圆锥母线长､底面半径分别为，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，┄1分
又，所以，┄┄┄2分
又因为的面积为，
，解得（负值舍去），┄┄4分
又，所以，
圆锥的侧面积.┄┄┄┄┄┄6分
（2）由（1）可知，圆锥的高，作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
则有，解得，┄┄┄┄┄┄9分
所以圆锥的内切球的表面积┄┄┄┄┄┄11分
（3）由（1）知，圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，，┄┄┄┄┄┄13分
，┄┄┄┄┄┄14分
，
等号成立.┄┄┄┄┄┄17分
19.（1）由，
由正弦定理，可得，┄┄┄┄┄┄1分
由余弦定理，可得，则，┄┄┄┄┄┄3分
（2）由为边上中线，可得，
则，
由，可得，┄┄┄┄┄┄5分
则，则，┄┄┄┄┄┄6分
则，则；┄┄┄9分
（3）由，可得，
设，
由的面积为面积的，
可得，
则，则，┄┄┄┄┄┄11分
设，由为中线，可得，
则，由共线可得，┄┄┄┄┄┄13分
，┄┄┄┄┄┄15分
由可得，
由，可得，则┄┄┄┄┄┄17分