广东省高州中学2023-2024学年高二下学期5月第一次模拟数学试卷

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所以双曲线的焦距长为：.故选：D.
2．C【详解】解：根据题意，数列的前几项为：…，
即，，，，
故数列的一个通项公式可以为.故选：C.
3．A【详解】连接，
.故选：A.
4．C【详解】记某地四月份某日舌东风为事件，某地四月份某日下雨为事件，则所求概率为=故选:C.
5．A【详解】展开式的通项公式为，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
据此可得：的系数为.故选：A.
6．D【详解】因为在方向上的投影向量为，所以，
所以有，故选：D
7．C【详解】由题意可得，则，
则，又，则，则，则使数列的前n项和的最小正整数n为7 故选：C.
8．C【详解】 由，可得，
两边同除得：，
可设函数，，
当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，图像如上图所示，因为，，故由可得，所以，整理得得.故选：C.
9．ABD【详解】令，则，所以A正确；
令，则，又，
所以，，所以B正确，C错误；，
令，则，故D正确；故选：ABD．
10．BC【详解】解：对于A，根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以A错误，对于B，因为随机变量服从二项分布，，所以，解得，所以B正确，对于C，因为随机变量服从正态分布，，所以，所以，所以C正确，对于D，由题意可得。所以D错误，故选：BC
11．ACD【详解】根据题意可得，，，，，，
对A选项，∵，当且仅当P，，Q三点共线时，等号成立，∴的最大值为5，∴A选项正确；对B选项，设的内切圆的半径为r，则根据的等面积算法可得：，∴，
当且仅当P为短轴顶点时，等号成立，∴的内切圆面积最大值为，∴B选项错误；
对C选项，根据的内切圆的性质易得：，
∴，∴，∴C选项正确；
对D选项，若为中点，设，，
则，两式相减可得：，∴，∴，∴，∴l的方程为，即，∴D选项正确.故选：ACD.
12．或【详解】由可得，即直线过定点，
由可得，即曲线C：，
作出曲线与直线的图象，如图，
当直线过点时，斜率，
当直线过点时，斜率，
直线与曲线相切时，圆心到直线的距离，
即，解得或（由图可知不符合题意，舍去），
由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点.
故答案为：或
13．【详解】把8个班分成2，2，4三个小组，再分配到3个革命老区，有种方法；
把8个班分成2，3，3三个小组，再分配到3个革命老区，有种方法；
所以不同的安排方法有.
14．520【详解】因为为偶函数，则，即，
则，即，故的图象关于点对称，且；
又为偶函数，则，则，即，故的图象关于点对称，且，
又将代入得，则；
令，由可得，则；
同理可得，则；
因为，，所以，则；，
由此可得组成了以0为首项，为公差的等差数列，
故，
15．【分析】（1）取的中点为，可得四边形为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可.
【详解】（1）取的中点为，连接，
因为分别为中点， 所以，
即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则面．
（2）在棱上存在点，使得二面角的平面角为，且为上靠近的三等分点，证明如下：取中点为，因，则，
又平面平面，平面平面，平面，则平面，
过点作平行线，交于，则为的中点，，
因平面，平面，则，
过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
由题意得，则,
因，则，故，
则，
设，由题可知，
，
设平面法向量为，
则，令，则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
因为二面角的平面角为，
所以，
化简得，即，又，则，所以为上靠近的三等分点.
16．【详解】（1）因为的最小正周期为，所以.因为，所以.
因为的图象经过点，所以，，
即，.因为，所以.故.
（2）因为，，所以直线为图象的对称轴，
又的图象经过点.所以①，②，.
②-①得，所以
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意；
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意；
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意，
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为
17．【详解】（1）证明：如下图所示，
抛物线的焦点坐标为，
设直线l的方程为，点，，
联立，消去得，则
所以，，因为，所以，
又，，，
所以，即，所以O，Q，M三点共线.
（2）因为，所以，于是，即，
所以，所以直线l的方程为.
18．【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得，，
又，即，而，解得，则，
所以数列为等比数列，；
由，，得，
因此数列是以为首项、1为公差的等差数列.
（2）由（1）得，，即，
则，
于是，
两式相减得，，
因此，又，即，
于是，而，当且仅当时等号成立，则，
所以实数的取值范围为.
19．【详解】（1）由已知可得，.
由可得，或.
当时，有，所以在上单调递增；
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
所以，在处取得极小值.
（2）要使，不等式恒成立，
只需满足即可.
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，在上取得唯一极小值，也是最小值.
因为，
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
此时，
所以有，即，无解；
②当时，由可得，.
当时，有，所以在上单调递增；
当时，有，所以在上单调递减.
所以，在取得唯一极大值，也是最大值；
（ⅰ）当时，有，此时在上单调递减，
所以，，
所以有，解得；
（ⅱ）当时，有，此时在上单调递增，
所以，，
所以有，即，无解；
（ⅲ）当时，有，此时在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
所以有，即，无解.
综上所述，.