重庆市渝北区六校联盟2023-2024学年九年级下学期数学5月份模拟试题（学生版+教师版）

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参考公式：
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧所对应的正确答案方框涂黑．
1. 6的倒数是（ ）
A. B. C. －6D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】乘积是1的两个数互为倒数．据此即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴6的倒数是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了倒数的知识，熟练掌握倒数的定义是解题关键．
2. 如图，下列几何体是由5个相同的小正方体组合而成的，从正面看到的平面图形是下列选项中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看到的平面图形有列，每列的个数为、、，由此即可得出答案．
【详解】解：从正面看到的平面图形是
故选：D．
3. 如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（ ）
A. 4℃B. 8℃C. 12℃D. 16℃
【答案】C
【解析】
【分析】根据A市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
【详解】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是﹣4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象，掌握数形结合思想、认真观察函数图象图，从不同的图中得到必要的信息是解决问题的关键．
4. 如图，与位似，点O是位似中心，，若的面积为8，则的面积为（ ）

A 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查位似的性质，熟练掌握位似的性质即可得到答案．根据面积比等于位似比的平方计算即可．
【详解】解：与位似，点O是位似中心，
，
，
，
的面积为8，
故的面积为．
故选A．
5. 直线，的顶点A在直线a上，且．若，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，根据题意可得、，据此即可求解．
【详解】解：如图所示：
∵．，
∴
∵，
∴
故选：C
6. 估计的值应在（ ）
A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则和夹逼法是解题的关键．先化简后，再根据即可得到答案．
【详解】原式
∴，
∴
故选：B．
7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
利用该款燃油汽车今年4月份的售价＝该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：A．
8. 如图，与圆O相切与点M，连接，分别交圆O于点C，D，N为圆O上一点，连接，，若，，，则的长为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键．连接，利用切线的性质得到，从而得到，利用圆周角定理得到，从而得到，设，则，，根据建立等式求解，再结合即可解题．
【详解】解：连接，
与圆O相切与点M，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，解得，
，，
．
故选：D．
9. 如图，在正方形中，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，若四边形的面积为10，则的长为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．过点作于点，设交于点，根据四边形的面积，列式即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，设交于点，
，
正方形，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选D．
10. 已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（ ）
①若，则
②
③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个
④记前n个式子的和为，则
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查规律，理解题意是解题关键．根据题目找出规律即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，，
若，则，故①正确；
，故②正确；
推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个，故③正确．
记前n个式子的和为，则，故④错误．
故选C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡中对应的位置上．
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的计算，熟练掌握有理数的计算是解题的关键．根据运算法则计算即可得到答案．
【详解】解：原式，
故答案为：．
12. 如图，以正六边形的一边向内作正方形，连接，则的度数为______．
【答案】##75度
【解析】
【分析】本题考查正多边形的性质，等腰三角形的性质，由正多边形的每个内角相等，求出，，得到，由等腰三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握正多边形的每个内角相等．
【详解】解：∵以正六边形的一边向内作正方形，
∴，，，
∴，
∵，
，
∴的度数为．
故答案为：．
13. 2024年，汤姆斯杯世界男子羽毛球团体锦标赛小组赛中，中国队的三个对手分别是澳大利亚队、加拿大队、韩国队，小琪和小莉分别订购了中国队的一场小组赛门票，小琪和小莉订购的是同一场小组赛门票的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，熟练掌握列表法是解题的关键．根据列表法进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故小琪和小莉订购的是同一场小组赛门票的概率是．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线过原点O，与反比例函数的图象交于A，B两点，轴于点C，若的面积为8，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，反比例函数的几何意义，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．作轴于点，根据反比例函数的对称性得到A，B两点关于原点O对称，进而得到，利用反比例函数的几何意义，得到，得到，再利用反比例函数性质求解，即可解题．
【详解】解：作轴于点，
直线过原点O，与反比例函数的图象交于A，B两点，
A，B两点关于原点O对称，
，
，
的面积为8，
，
轴于点C，
，
，
，
反比例函数的图象在二、四象限，
．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，．平分交于点E，以B为圆心．长为半径画弧，交于点F．若点E为的中点，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质以及角平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据，计算即可得到答案．
【详解】解：，平分交于点E，
，
，
，
，
点E为的中点，
，
，
，
．
故答案为：．
16. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，点F是线段上的一点．连接，，，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的中位线定理以及直角三角形的性质，熟练掌握中位线定理是解题的关键．根据题意得，，即可得到答案．
【详解】解：点D，E分别是边，的中点，，
，
，，
，
．
故答案为：．
17. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的解、一元一次不等式组的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式组和分式方程的解法以及分式方程的增根情况是解题的关键．解不等式组再结合解集为可得，解分式方程可得且，据此求得整数a的值即可解题．
【详解】解：，
解①得：，
，
，
解②得：，
关于x的不等式组的解集为，
，
解得，
，
，
整理得，
关于y的分式方程的解为非负整数，且a为整数，
，且a的取值为、3、和，
所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：6．
18. 一个四位数M，记作，若，则称为“和美数”．例如：四位数．，是“和美数”．若一个“和美数”为，则这个数为______；
对于“和美数”，去掉个位上数字得到三位数，去掉千位上的数字得到三位数，当能被整除时，满足条件的的最大值与最小值的差为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，理解新定义，正确的推理计算是解题的关键．根据“和美数”的定义即可求出；根据“和美数”的定义先求得，结合可得，再根据被整除的数的特征求解即可．
【详解】解：一个“和美数”为，
，即，
解得：，
这个“和美数”；
，
，
，
，，
能被整除，
是的倍数，即是的倍数，
当最小时，最小，当最大时，最大，
最小为，
，
，
，，
，
，
满足条件的的最小值为；
又，
，
又，是的倍数，
的最大值为，此时，
，
，，
满足条件的的最大值为；
；
故答案为：，．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘多项式以及完全平方公式进行计算；
（2）根据完全平方公式以及整式的运算即可得到答案．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
20. 学习了全等三角形知识后，小明进行了如下思考，在直角三角形中，连接直角角平分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互相垂直，那么这两条线段有什么数量关系？请根据他的思考完成以下作图与填空．
在中，，平分，点M为上一点，连接．
（1）用直尺和圆规：过点M作，交于点D，在上截取点E，使．（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，连接，探究与的数量关系．
证明： 平分，
．
在和中，
，
（）．
，①______．
又，，
在四边形中，．
．
又，
②______．
．
③______．
通过以上探究，请你帮助小明完成下面命题：在直角三角形中，连接直角角平分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互相垂直，那么④______．
【答案】（1）图见解析，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查利用直尺和圆规进行基本作图，以及全等三角形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质．
（1）根据题意过点M作，交于点D，以为圆心，为半径画弧，交于点,图形即为所作．
（2）根据全等三角形性质得到①，利用等量代换得到②，利用等腰三角形性质和等量代换得到③，根据证明过程得出结论，即可解题．
【小问1详解】
解：根据题意所作图形如下：
【小问2详解】
解：连接，
证明：平分，
．
在和中，
，
（）．
，①．
又，，
在四边形中，．
．
又，
②．
．
③．
通过以上探究，请你帮助小明完成下面命题：在直角三角形中，连接直角角平分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互相垂直，那么④这两条线段相等．
21. 今年全民国家安全教育日宣传教育活动的主题是“总体国家安全观•创新引领10周年”．某校组织了有关国家安全教育知识线上测试活动，测试满分100分，为了解七、八年级学生此次线上测试成绩的情况，分别随机在七、八年级各抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（比赛成绩用x表示，单位：分），共分成4组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息：
七年级学生C组的竞答成绩为：81，81，82，82，82，86．
八年级被抽取学生的竞答成绩为：60，61，61，63，70，72，74，75，81，84，84，84，84，90，90，91，91，92，93，100．
七年级抽取的竞赛成绩扇形图
七、八年级抽取的竞答成绩统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解国家安全教育知识？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的总人数．
【答案】（1），，；
（2）八年级的学生更了解国家安全教育知识，因为在平均数一样的情况下，八年级的中位数、众数比七年级的要大．
（3）人
【解析】
【分析】（1）分别根据中位数、众数的定义可求解a和b，用“组”的人数除以总人数乘以可得m的值；
（2）从平均数、中位数、众数的角度比较即可得出结论；
（3）分别用七、八年级总人数乘七、八年级学生中竞答成绩不低于90分人数所占百分比，再相加即可．
【小问1详解】
解：由题知，，即，
（人），
七年级组和组所占人数为8人，七年级中位数为第10位和第11位成绩的平均数，
即，
八年级众数，
故答案为：，，．
【小问2详解】
解：八年级的学生更了解国家安全教育知识，因为在平均数一样的情况下，八年级的中位数、众数比七年级的要大．
【小问3详解】
解：由题意知，（人），
答：该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的总人数为人．
【点睛】本题主要考查中位数、众数的定义，利用中位数、众数做决策，用样本估计总体，以及统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
22. 某家具厂生产宴会大圆桌和椅子，1张大圆桌配8把椅子为一套．家具厂现有28名工人，一名工人一个月可以生产5张桌子或16把椅子．
（1）分别安排多少名工人生产大圆桌和椅子，可使每个月生产的桌椅正好配套？
（2）家具厂去年投入了100万元用于生产这样的配套的餐桌椅，由于今年一套这样的餐桌椅的成本比去年提高了，结果今年生产的餐桌椅比去年少40套，投入却比去年多了5万元，问去年的每套餐桌椅成本是多少？
【答案】（1）安排名工人生产桌子，名工人生产椅子
（2）万元
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，找出等量关系是解题的关键．
（1）根据题意列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设去年的每套餐桌椅成本是万元，今年的成本为万元，根据题意列出分式方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：设安排名工人生产桌子，名工人生产椅子，
由题意得：，
解得，
故，
答：安排名工人生产桌子，名工人生产椅子，可使每个月生产的桌椅正好配套；
【小问2详解】
解：设去年的每套餐桌椅成本是万元，故今年的成本为万元，
根据题意得：
解得
经检验，是原方程的解，
答：去年的每套餐桌椅成本是万元．
23. 如图，在中，，，，点P为直角边，边上一动点，现从点B出发，沿着的方向运动至点A处停止．点P在上的运动速度为每秒2个单位，在上的运动速度为每秒个单位，运动时间为x秒，的面积为y．
（1）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质：
（3）结合函数图象，当时，直接写出y的范围．
【答案】（1）
（2）由函数图像，上是增函数，是减函数
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查函数图像的性质，熟练掌握题意是解题的关键．
（1）当在上时，，当在上时，，分两种情况讨论即可；
（2）根据函数图像得出性质；
（3）根据图像x的取值范围求出y的范围．
【小问1详解】
解：当在上时，，
由于，
，
当在上时，，
，
由于，
，，
综上，；
【小问2详解】
解：如图：
由函数图像，上是增函数，是减函数；
【小问3详解】
解：，y的范围为，
，y的范围为，
综上所述，．
24. 如图科技比赛机器人竞技比赛场地图，其中已知A为起点，D为终点．B、C、E、F点为任务完成点，B位于A点东北方向米处，点E位于A点南偏东方向，点B在点E的正北方向．点C既位于点B正东方向31米处，又位于点D的北偏西方向．点F既位于点E的正东方向，又位于点D的正南方向．米．（参考数据：，，，，）
（1）求的长．（结果保留根号）
（2）机器人甲选择了路线①：，行驶的平均速度是米/秒．在点B处完成任务花了9秒、在C处花8秒．机器人乙选择了路线②：，行驶的平均速度为米/秒．在点E完成任务花了15秒、在F处花10秒、请通过计算说明：哪个机器人用时最少？（数值精确到）
【答案】（1）米
（2）机器人乙用时最少．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）作于点，利用解直角三角形得到、、，再根据求解，即可解题；
（2）作于点，作于点，交于点，由题易知四边形和为矩形，利用矩形的性质得到，，进而得到，利用解直角三角形得到， ， ，再分别算出两个机器人所用时间，即可解题．
【小问1详解】
解：作于点，
B位于A点东北方向米处，点E位于A点南偏东方向，
，，米，
米， 米，
米，
米，
【小问2详解】
解：作于点，作于点，交于点，
由题易知四边形和为矩形，米，米，，
米，米，米，，
（米），
（米），
（米），
机器人甲选择了路线①：，行驶的平均速度是米/秒．在点B处完成任务花了9秒、在C处花8秒．
机器人甲所用时间为（秒），
机器人乙选择了路线②：，行驶的平均速度为米/秒．在点E完成任务花了15秒、在F处花10秒，
又（米），
机器人乙所用时间为（秒），
，
机器人乙用时最少．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，过点作交轴于点，求出的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接交于点，点为原抛物线的顶点，连接，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）；
（2）最大值6，点坐标；
（3）点的横坐标为1或或，过程见解析．
【解析】
【分析】（1）结合待定系数法代入点坐标，解方程组即可得到答案；
（2）作，由，，可知道，，由，不妨设，那么，，所以，当与相切时，取最大值，联立与，时可算得的表达式，点的坐标，以及的值，从而计算出的结果；
（3）先计算点坐标，点坐标以及的顶点坐标，计算出的长度，推出将原抛物线沿射线方向平移个单位时，即是将原抛物线沿水平方向向左移动了2个单位，向下移动了个单位，从而得到的表达式，作轴交于点，证明是线段的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质，推出，结合，，推出，①当点在直线上时，联立直线和抛物线，解得横坐标，②作的垂直平分线交于,作交于点，那么，，先通过求得点坐标，然后求出直线的表达式，然后求出的表达式，最后联立直线和计算出的横坐标．
【小问1详解】
过，
，
【小问2详解】
作，如图所示
，
，
将代入，
不妨设，那么
设直线为，代入，
直线为
不妨设直线为
当与相切时，取最大值
联立与，
，可化简为
当时，即，直线与相切
那么直线为
当代入，解得
将代入，得到
点坐标为
当代入，那么
点坐标为
故最大值是6，点点坐标为；
【小问3详解】
将代入，记得，
，
，
，
，是该抛物线顶点
点坐标为
作交于点
，
那么当原抛物线沿射线方向平移个单位时，
即是将原抛物线沿水平方向向左移动了个单位，向下移动了个单位，
，
新抛物线
作轴交于点，连接，
点坐标为
是线段的垂直平分线
，
，
，
，
，即
设直线为，代入，
直线为
①当点在直线上时，联立直线和抛物线
，整理得
当点在直线上，横坐标为1；
②作的垂直平分线交于,连接，作交于点
那么，
不妨设
，，
点坐标为
设直线为，代入，
直线为
设直线的表达式为，代入点
直线的表达式为
联立直线和抛物线
解得，
此时点的横坐标是或
综上所述，点横坐标可以是1，，．
故答案为：1或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，包括待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程根与判别式的关系，垂直平分线的性质，一次函数的平移，三角形外角的性质，平行线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．
26. 在等边中，点F是延长线上一点，点D是线段上一点，将绕点D逆时针旋转得到．
（1）如图1，若点E恰好落在边上，，求的长；
（2）如图2，若，连接，探究之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若，，连接，当最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）6 （2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过点D作，根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，再由相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）过点D作，根据等边三角形的判定和性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，在上截取，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，再由平行四边形的判定和性质即可证明；
（3）以为腰，为顶点，向下作顶角的等腰三角形，得到，，，设，则，，，
在中，应用勾股定理，得到，当时，取得最小值，此时，，，，，，得到，由，，得到，，由，即可求解，
本题考查了，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线构造全等三角形．
【小问1详解】
解：过点D作，
∵等边，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵将绕点D逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
过点D作，
∵等边，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转得：，
∴，
在上截取，连接，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：将绕点D顺时针旋转得到，连接、，延长交于点，在上截取，
则，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，，
在中，，
∵，
∴当时，取得最小值，取得最小值，
∴，，，，
∵，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．澳大利亚
加拿大
韩国
澳大利亚
（澳大利亚，澳大利亚）
（加拿大，澳大利亚）
（韩国，澳大利亚）
加拿大
（澳大利亚，加拿大）
（加拿大，加拿大
（加拿大，韩国）
韩国
（澳大利亚，韩国）
（加拿大，韩国）
（韩国，韩国）
年级
七年级
八年级
平均数
80
80
中位数
a
83
众数
82
b