江苏省徐州市铜山区2024年中考二模数学试卷（解析版）

这是一份江苏省徐州市铜山区2024年中考二模数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 2024的倒数是（ ）
A. B. C. 2024D.
【答案】A
【解析】 ，
2024的倒数是．
故选：A．
2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
D选项是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．，故该选项错误，
B．，故该选项正确，
C．，故该选项错误，
D．，故该选项错误，
故选：B．
4. 已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、 ，， ，结论正确，该选项不符合题意；
B、 ， ，结论错误，该选项符合题意；
C、 ，， ，结论正确，该选项不符合题意；
D、 ， ，结论正确，该选项不符合题意；
故选：B．
5. 某校组织学生体育锻炼，小明记录了他一周参加锻炼的时间，并绘制了如图所示的统计图．下列数据正确的是（ ）
A. 平均数为70B. 众数为75
C. 中位数为70D. 方差为0
【答案】C
【解析】7个数据按照从小到大排列为：，，，，，，，
中位数是70分钟，选项C符合题意；
67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，选项B不符合题意；
平均数为（分钟），选项A不符合题意；
方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，选项D不符合题意；
故选：C．
6. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是，即．
故选：D．
7. 在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是菱形，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8. 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】A
【解析】∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴
，
如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，
∵，
∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小
∵，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形正方形，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9. 49的平方根是_____．
【答案】±7
【解析】∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7．
故答案为：±7．
10. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是____________．
【答案】x⩾5
【解析】∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，
解得：x⩾5，
则实数x的取值范围是：x⩾5
故答案为：x⩾5．
12. 小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是________．
【答案】
【解析】如图，延长交于，
，．
，，
故答案为：．
13. 蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是________．
【答案】6
【解析】如图所示，
正六边形的外角和为，
它的每一个外角都为，
，
为等边三角形，
，
共需要正六边形的个数为，
故答案为：6．
14. 关于的方程有实数根，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】由题意得，，．
故答案为：．
15. 若圆锥的底面半径为3，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是________．
【答案】9
【解析】设这个圆锥的母线长是，
依题意得：圆锥的底面周长为：，
则展开后扇形的弧长为，
即：，
解得：，
这个圆锥的母线长是9．
故答案为：9．
16. 如图，是⊙O的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是________°．
【答案】
【解析】如图所示，连接，
∵，∴，
∵是的直径，∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点，，．若的面积为4，则的值为________．
【答案】
【解析】如图，过点作于点，过点作于点，
设，由于，故，，
点在上，
，
为矩形的对称中心，
，
，
即，
解得．
故答案为：．
18. 如图，在长方形中，，，E、F分别是、上的一点，，将沿翻折得到，连接．若是以为腰的等腰三角形，则___．
【答案】或
【解析】设，则，
由翻折得：，当时，，
∵为矩形，∴∠B＝，
由勾股定理得：，解得：；
当时，如图，作，
∵，
∴，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
∴，
在和中，∵
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得 ，
综上所述：或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）；
（2）
.
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组： .
解：（1），
，
，
，
检验，，
故原方程的解为：
（2）
由得，，，
解得，
由得，，，
解得，
故原不等式的解集为：．
21. 某数学社团以“舌尖上的徐州—我最喜爱的徐州小吃”为主题对所在学校的学生进行随机调查，并给出四种选择（每人只能从中选择且只能选择一种）“A：徐州把子肉”“B：徐州菜煎饼”“C：徐州胡辣汤”“D：八股油条”．该社团将调查得到的数据整理后，绘制成以下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）样本容量为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中D对应圆心角的度数为 ；
（4）若该校共有1300名学生，请估计喜欢“C：徐州胡辣汤”的学生大约有多少人．
解：（1）样本容量为．
故答案为：50．
（2）选择B的人数有：（人）．
补全的条形统计图如图所示：
（3）扇形统计图中D对应圆心角的度数为：．
故答案为：．
（4）人，
答：估计喜欢“C：徐州胡辣汤”的学生大约有520人．
22. “二十四节气”是中国古代用来指导农事的历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，他们准备了印有“A：立春”“B：夏至”“C：立秋”“D：冬至”四张节气图案的卡片，这些卡片除图案外无其他差别．两人将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A：立春”的概率是 ；
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C：立秋”的概率．
解：（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．立春”的结果只有1种，
∴小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．立春”的概率是，
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C：立秋”的有6种，
∴两人都没有抽到“C：立秋”的概率为．
23. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？
解：设矩形的宽为x步，则矩形的长为步，
依题意得：，
解得：或（舍去），
，
矩形的宽为24步，则长为36步，
答：宽24步，长36步．
24. 如图，在⊙O中，是直径，点在⊙O上．在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接，则，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）由（1）知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点、、在同一水平线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为，求塔的高度（精确到）．（参考数据：，，，，）．
解：如图，过点作，垂足，
在中，，，
，，
，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
解得．
答：塔的高度为．
26. 如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1的边上作点，使；
（2）在图2边上作点，使．
解：（1）如图，点P即为所求；
证明：∵，
∴；
（2）如图，点P即为所求．
证明：∵线段的垂直平分线交于点P，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
27. [阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ．
[探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由．
[发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ．
解：阅读理解：
是的中位线，
，
又，
，
，即，
同理可证，，
，
；
探究思考:
如图，取中点G，中点H，中点I，连接，，，
，
，，，
，
又，
，
，即，
，
，
同理可证，，
，
综上可知，与的面积比是定值，定值为；
发现结论：
如图，取G、H、I分别是三边的n等分点，且，
，
，，，
，，
，
，即，
，
，
同理可证，，
，
，
故答案为：．
28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点、，顶点为，连接、．点在线段上，作射线，过点作射线，垂足为点，以点为旋转中心把按逆时针方向旋转到，连接．
（1）求点、的坐标．
（2）随着点在线段上运动．
①连接，的大小是否发生变化？请说明理由；
②延长交于点，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
（3）连接，当点在该抛物线的对称轴上时，的面积为 ．
解：（1） ，
顶点的坐标为，
令，则，
解得，，
的坐标为．
（2）①的大小不变，理由如下；
连接，如图所示，
，，
，
是等边三角形，
，
，
以点为旋转中心把按逆时针方向旋转到
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
的大小不变．
② 存在，
取中点，以为圆心，长为半径画圆，如图所示，
，
点在上，
设交轴于点，
是等边三角形，
，
，即，
，，，
，
点为与交点，即为定点，
为的弦，
圆中最长弦为直径，
当为的直径时，取得最大值，
，
取得最大值为4．
（3）如图，设抛物线对称轴与轴交点为，与与轴交点为，连接，
为等边三角形，
，
，，
，，
，
，
，
，
又，，，
，即，
，
，，
和是等腰直角三角形，
设，，，，
在中，
，即，
整理得，即，
两边平方整理得：，
解得，
，
如图，作，，
，
四边形是矩形，
又 为等边三角形，
，，
，
，
或，
综上所述，或．