江西省部分学校2023-2024学年高二下学期5月统一调研测试数学试卷

这是一份江西省部分学校2023-2024学年高二下学期5月统一调研测试数学试卷，共12页。试卷主要包含了考查范围，考生必须保持答题卡的整洁，已知数列的前n项和为，若，，则，已知，，若存在，，使得，则有等内容，欢迎下载使用。
试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．考查范围：选择性必修第一册占，选择性必修第二册占，集合与常用逻辑用语占。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“对任意，是偶函数”的否定是（ ）
A．存在，使不是偶函数
B．对任意，不是偶函数
C．存在，使是偶函数
D．不存在，使是偶函数
2．已知为等差数列，若，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知变量x，y线性相关，利用样本数据求得的回归直线方程为，且点都在直线上，则这组样本数据的相关系数（ ）
A．1B．C．D．
5．已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（ ）
A．4B．C．2D．
6．已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，数列中，且是递增数列，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
7．已知数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，若存在，，使得，则有（ ）
A．最小值为B．最大值为
C．最小值为D．最大值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（ ）
A．
B．小王第3个月与第7个月工资之和等于第2个月与第8个月工资之和
C．小王入职后前15个月的工资之和是第8个月工资的15倍
D．小王入职后第20个月的工资为4550元
10．若数列满足，对任意正整数n，恒有，则的通项可以是（ ）
A．B．C．D．
11．根据的单调性判断，下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，，则____________．
13．已知是公差不为零的等差数列，是公比为正数的等比数列，若，，，则____________．
14．若函数的图象与直线有4个交点，则实数a的取值范围是____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）据统计，目前中国各省市博物馆藏品数量最多的前5个省市及藏品数量（单位：万件）依次为：北京（632.2）、四川（470.9）、上海（342.1）、陕西（329.2）、广东（262.7），从这5个省市中任意选取2个省市，记选取到的博物馆藏品数量超过400万件的省市个数为X．
（1）求X的分布列与期望；
（2）在的条件下，求广东省没有被选取到的概率．
16．（15分）已知四棱锥中，底面，，四边形是边长为4的菱形，点E，F分别为，的中点，．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（15分）已知数列满足，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，，求的前n项和．
18．（17分）已知椭圆的离心率为，且a，b的等比中项为2．
（1）求C的方程；
（2）若直线与C交于点A，B两点，直线过点A且与C交于另外一点，直线过点B，且与C交于另外一点．
（ⅰ）设，，证明：；
（ⅱ）若直线的斜率为，判断是否存在常数m，使得k是m，的等比中项，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数．
（1）若是R上的自律函数．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围；
（2）已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由．
2024年5月江西省高二年级统一调研测试
高二数学参考答案及评分细则
1．【答案】A
【解析】因为命题“，x具有性质”的否定是“，x不具有性质”．故选A．
2．【答案】D
【解析】设的公差为d，因为，所以，．故选D．
3．【答案】D
【解析】因为，所以，则．故选D．
4．【答案】B
【解析】由点都在直线上，可得，又x，y负相关，所以．故选B．
5．【答案】D
【解析】的图象在处的切线方程为，则，，当时，，，因为是奇函数，图象关于原点对称，的图象在处及处的切线也关于原点对称，所以，，即所以，，．故选D．
6．【答案】A
【解析】若双曲线的渐近线与圆没有公共点，则点到直线的距离大于1，即，解得；若数列是递增数列，则，所以p是q的充分不必要条件．故选A．
7．【答案】C
【解析】由，，得，所以，所以数列是首项为1、公比为的等比数列，所以，，所以，，两式相减得，所以，所以．故选C．
8．【答案】B
【解析】由得，，设，则，设，由，得，所以t的取值范围是，，设，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，没有最小值，所以当，时，取得最大值，没有最小值．故选B．
9．【答案】ABD（每选对1个得2分）
【解析】小王前3个月的工资之和为，所以，A正确；记小王入职第n个月工资为，则时，是等差数列，因为，所以，B正确；由时是公差为100的等差数列，当时，是公差为50的等差数列，，C错误；小王入职后第13个月的工资为，第20个月的工资为，D正确．故选ABD．
10．【答案】ACD（每选对1个得2分）
【解析】对于A，，当时最小，满足题意，A正确；对于B，，当，，所以，B错误；对于C，，当时，，当时，，且随n的增大而减小，C正确；对于D，，数列的前7项依次为，，1，，，1，，该数列是以3为周期的周期数列，易知D正确．故选ACD．
11．【答案】BC（每选对1个得3分）
【解析】由，得，所以在上单调递增，在上单递减，由得，即，A错误；由得，即，B正确；由得，即，C正确；由得，即，所以，D错误．故选BC．
12．【答案】
【解析】当时，，当时，，，，所以．
13．【答案】
【解析】设的公差为，的公比为，由题意得解得，所以．
14．【答案】
【解析】函数的图象与直线有4个交点，即方程有4个不同实根，即有4个不同实根，设，，则，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，，所以有2个不同实根0与1，令，得，设，则，在上单调递减，在上单调递增，，且时，所以当时，直线与函数的图象没有交点，当或时，直线与函数的图象有1个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，令，得，设，则，在上单调递减，在上单调递增，，且时，，所以当时，直线与函数的图象没有交点，当或时，直线与函数的图象有1个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，综上得当时，函数的图象与直线有4个交点．
【评分细则】
14题答案写成或或也正确．
15．解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，（1分）
，，，（4分）
所以X的分布列如下表所示，
（6分）
．（8分）
（2）设事件A表示“”，事件B表示“广东省没有被选取到”，
则，，（11分）
所以在的条件下，广东省没有被选取到的概率为．（13分）
【评分细则】
第（2）小题，不设事件，直接列式计算，若计算正确，不扣分．
16．（1）证明：因为四边形是菱形，且，
所以，（1分）
因为平面，平面，
所以，（3分）
因为，所以平面，（4分）
因为平面，所以平面平面．（6分）
（2）解：由（1）可得，，两两垂直，
因为，，，
所以，（7分）
以点A为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，（9分）
设平面的法向量，
则即
取，得，，故平面的一个法向量，（11分）
设平面的法向量，
则即
取，得，，故平面的一个法向量，（13分）
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．（15分）
【评分细则】
如用其他解法，若正确，也给满分．
17．（1）证明：因为，
所以，（2分）
两边同时除以得，
即，（5分）
所以数列是公差为4的等差数列．（7分）
（2）解：由（1）得是公差为4的等差数列，首项，
所以，（9分）
所以，（10分）
，（12分）
所以
．（15分）
【评分细则】
第（2）小题最终结果写成也正确．
18．（1）解：因为C的离心率为，所以，（2分）
整理得，所以，（3分）
因为a，b的等比中项为2，所以，
即，，，
所以C的方程为．（5分）
（2）（ⅰ）证明：与联立得，
所以，（6分）
因为，且，（7分）
所以，（9分）
所以，即得证．（10分）
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，．
因为直线经过点，，直线经过点，，
设，则，．（12分）
又，，（15分）
所以，所以，9的一个等比中项为k，
即存在，使得k是m，的等比中项．（17分）
【评分细则】
如用其他解法，若正确，也给满分．
19．解：（1）（ⅰ）因为，
所以，，（2分）
因为是R上的自律函数，
所以恒成立，恒成立，
所以（4分）
解得，所以a的取值范围是．（5分）
（ⅱ）当时，，
设，则，
所以当时，，单调递减，
当或时，，单调递增，（7分）
因为，，，
所以若只有一个实根，t的取值范围是．（9分）
（2）由得，，
令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，（11分）
由在上不单调，且是及上的自律函数，
得，（12分）
则，，（13分）
所以时，
，
在上单调递增，与已知矛盾，
所以不存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数．（17分）
【评分细则】
如用其他解法，若正确，也给满分．
X
0
1
2
P