2024年广东省梅州市部分学校中考一模数学试题（学生版+教师版）

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1. 诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（ ）
A. 学B. 广C. 才D. 以
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查正方体相对两个面上的文字的知识；找出正方体的相对面上的汉字解题即可．
【详解】解：由正方体的展开图特点可得：“非”和“才”相对；“学”和“以”相对；“无”和“广”相对；
故选：C．
2. 下列各数中最大的负数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的知识点是有理数大小比较的方法，解题关键是要明确负数绝对值大的其值反而小．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：，，，，
，
，
所给的各数中最大的负数是．
故选：．
3. 计算的结果是（ ）
A. 2B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算．先算乘除，后算加减，即可解答．
【详解】解：
，
故选：B．
4. 若点与点关于y轴对称，则的值是（ ）
A. B. C. 3D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
5. 如图，长方形纸带ABCD中，将纸带沿EF折叠，A，D两点分别落在，处，若，则∠2的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】长方形对边平行，可得内错角相等、同旁内角互补求得∠FEB；折叠性质可得∠AEF=，然后求出∠2．
【详解】∵AB∥DC
∴∠AEF=∠1=62°，∠1+∠FEB=180°
∴∠FEB=118°
又∵
∴
故选：B．
【点睛】此题的考查了平行的性质和折叠轴对称的性质，解题的关键利用性质找出相等的角求解即可．
6. 实数在数轴上的位置如图所示：那么的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简，进而得出答案，正确化简各式是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得：，，
则原式，
，
，
故选：．
7. 当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：），那么该圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，设圆的圆心为O点，⊙O与刻度尺的一边相交于点A、B，与另一边相交于点C，连接OC，OA，如图，cm，根据切线的性质得到刻度尺的一边，所以，根据平行线的性质得到cm，cm，设⊙O的半径为rcm，在中利用勾股定理得到，，然后解方程即可，熟练利用垂径定理是解题的关键．
【详解】解：设圆的圆心为O点，与刻度尺的一边相交于点A、B，与另一边相交于点C，连接OC，OA，如图，，
∵刻度尺的一边与圆相切，
∴刻度尺的这一边，
∵刻度尺的两边平行，
∴，
∴，，
设⊙O的半径为，
在中，，
解得，即该圆的半径为．
故选：B
8. 如图，电路上有三个开关和一个小灯泡，合上任意两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）

A B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查树状图法求概率，根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：如图，设三个开关分别用表示，

画出树状图如下：
，
共6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种，
∴小灯泡发光的概率为；
故选：C．
9. 如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（ ）

A. （2，3）B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，
根据点F的坐标可得，连接，连接交于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为，根据菱形的性质易得为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出，由平行线和菱形的性质易得，进而求出，以此即可求解．
【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是的中点，
∴，
∴，
如图，连接，连接，交于点N′，连接，

∴当点N在点时，取得最小值为，
∵四边形为菱形，，
∴为等边三角形，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴点E的坐标为．
故选：C．
10. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点H为与的交点．若，则的长为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明得到，，则；再证明得到，则，，进而得到，同理可得．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
同理可证明，
∴，
∴，，
∴
同理可得，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 2024年“五一”小长假黄陂各大景区景点共接待游客约万人次，创旅游综合收入约亿元，成为名副其实的“黄金周”，映照了黄陂旅游消费市场的巨大潜力．数据亿用科学记数法表示为______(备注：1亿=)．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：亿
故答案为：．
12. 设是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】2023
【解析】
【分析】根a、b是方程的两个实数根，求出，，得出，把的变形后进行计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
13. 如图，为的对角线，，点在上，连结，分别延长，交于点，若，则的长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形性质、垂直平分线的定义和性质、三角形全等的判定和性质等知识，根据平行四边形性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质即可得到结论，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
．
故答案为：8．
14. 若不等式组无解，则的取值范围是_________．
【答案】a≤2
【解析】
【分析】根据不等式解集的情况列得，计算即可．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴，
解得a≤2，
故答案为：a≤2．
【点睛】此题考查不等式组的解集求参数，正确掌握不等式组的解集的几种情况正确列式计算是解题的关键．
15. 若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角________度．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，特殊角的三角函数值．先利用根的判别式的意义得到，则可得到，然后根据特殊角的三角函数值确定锐角的度数．
【详解】解：∵二次函数与轴只有1个公共点，
∴，
解得，
∴锐角．
故答案为：60．
16. 如图，正方形的边长为4，E，F分别是边上的动点，且，连接交于点G，P是边上的另一个动点，连接，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点O，连接，延长到T，使得，连接，，，过点O作于H．由题意，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，延长到T，使得，连接，，，过点O作于H．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
18. 解方程或解不等式组
（1）；
（2）解不等式组并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）
（2），数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程及一元一次不等式组，掌握相关计算的步骤是解决问题的关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而在数轴上表示．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解不等式①，得；
解不等式②，得．
在数轴上表示不等式组的解集如图所示，
可得原不等式组的解集为．
19. 某校为了进一步倡导文明健康绿色环保生活方式，提高学生节能、绿色、环保、低碳意识，举办了“低碳生活，绿色出行”知识竞赛（满分100分）．每班选10名代表参加比赛，随机抽取2个班，记为甲班，乙班，现收集这两个班参赛学生的成绩如下：
【收集数据】
【分析数据】
【应用数据】
（1）根据以上信息，填空：_______，_______，_______；
（2）参赛学生人数为600人，若规定竞赛成绩90分及以上为优秀，请你根据以上数据，估计参加这次知识竞赛成绩优秀的学生有多少人？
（3）结合以上数据，选择适当的统计量分析这两个班级中哪个班级成绩较好？
【答案】（1）90，，92
（2）参加这次知识竞赛成绩优秀的学生约有450人
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是统计量的选择，掌握平均数、众数、中位数、方差的概念和性质是解题的关键．
（1）根据众数、中位数、平均数的概念解答；
（2）根据样本估计总体，得到答案；
（3）根据平均数和方差的性质说明理由．
【小问1详解】
解：∵甲班中出现3次，出现的次数最多，
∴甲班10名学生测试成绩的众数是90，即，
把甲班10名学生测试成绩从小到大排列，第5个数和第6个数分别是90，93，
故甲班10名学生测试成绩的中位数是，即，
根据乙班10名学生的数据得出乙班10名学生的平均数，即，
故答案为：90，，92；
【小问2详解】
(人)，
答：估计参加知识竞赛的600名学生中成绩为优秀的学生共有450人．
【小问3详解】
乙班成绩较好，
理由如下：乙班的平均数高于甲班的平均数，说明乙班成绩平均水平高，
乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班成绩比较稳定，
∴乙班成绩较好．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求的值．
（2）求一次函数的表达式．
（3）若点在轴上，当时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）一次函数的表达式为
（3）点的坐标为 或
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数交点的含义，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
（1）把点的坐标的代入反比例函数求出的值；
（2）根据（1）得到反比例函数解析式，再把点代入，求点的值，把点代入一次函数解析，运用待定系数法即可求解；
（3）设，根据题意先计算出的值，再计算出的值，由此即可求解．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象过，
∴；
【小问2详解】
解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
解得，，
检验，时，，符合题意，
∴点的坐标为，
设一次函数的表达式为，
把和代入得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
【小问3详解】
解：设点坐标为．
当时，由得．
设直线与轴交于点，
∴点的坐标为，
∴．
∴，
∵在轴上，
∴，
又，
∴，
∴，
∴点的坐标为或．
21. 综合应用：测旗杆高度
小明和小红是学校的升旗手，两人想一同测出学校旗杆的高度．为了解决这个问题，他们向数学王老师请教，王老师给他们提供了测倾器和皮尺工具．经过两人的思考，他们决定利用如下的图示进行测量．
【测量图示】
【测量方法】在阳光下，小红站在旗杆影子的顶端F处，此刻量出小红的影长；然后小明在旗杆落在地面的影子上的某点处，安装测倾器，测出旗杆顶端的仰角．
【测量数据】小红影长，身高，旗杆顶端的仰角为，侧倾器高，，旗台高．
若已知点、、、在同一水平直线上，点、、在同一条直线上，、、均垂直于．你能帮小明和小红两人测出旗杆的高度吗?（参考数据：，，）
【答案】旗杆的高度为．
【解析】
【分析】本题考查利用太阳光测高、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握修改性质及判定定理是解题关键．过作，设，用表示的长，利用三角函数表示的长，即可表示出的长，根据同时、同地，、分别是、的影长得出，可得，列方程求出的值即可得答案．
【详解】解：如图所示：过作，
设，则，
∵，
∴
在中，，
解得
∴，
∴
∵在太阳光下，同一时刻，、分别是、的影长，
∴，
∴
∴，
解得：
经检验，是原方程的解
答：旗杆的高度为．
22. 为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．
（1）跳绳和键子的单价分别是多少元？
（2）若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？
【答案】（1）跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元
（2）最多购买80根跳绳
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设跳绳的单价是元，毽子的单价是元，根据购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元，列出方程组进行求解即可；
（2）设学校购买根跳绳，根据学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设跳绳的单价是元，毽子的单价是元．
依题意，得解得
答：跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元．
【小问2详解】
设学校购买根跳绳，则购买个毽子．
依题意，得，解得，
的最大值为80．
答：最多购买80根跳绳．
23. 如图，在中，，D是边上的一点，为直径的与边相切于点E，接并延长，与的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的切线应用，等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，准确运用相关知识是解题的关键．
（1）连接，根据已知条件求得，再根据得到，再证出即可得证；
（2）证明，利用求出半径，即可求；
【小问1详解】
证明：连接，
与边相切于点E，为的半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解： 和中，是公共角，，
，
，
设的半径是r，则有
，即
整理得，即，
解得，（舍去），
，
，又
由勾股定理得
．
24. 综合与实践
不借助科学计算器，如何求的值？小明进行了如下的实践操作：
如图，已知正方形纸片．
第一步：将正方形纸片沿折叠，展开后得到折痕．
第二步：将折叠到，使点B的对应点F恰好落在上，展开后得到折痕，点E在线段上，连接．
问题解决：
（1）求证：
（2）请利用小明的实践操作过程，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）由正方形和折叠的性质求出，再由即可得出答案；
（2）先证明，设，则，在等腰直角三角形中，，可得，，再求解即可．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，
由折叠的性质得：
，
【小问2详解】
四边形是正方形，
，，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
设，则，
在等腰直角三角形中，
，
直角三角形中，
故
25. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线是直线下方抛物线上一动点．

（1）求两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
（2）过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标．
（3）在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线的函数表达式为．直线的函数表达式为．
（2）
（3）存在，点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）把先根据与轴的交点得到的坐标，将坐标点代入即可得表达式；
（2）设，根据轴，得出的代数式，再根据为线段的中点，即可求点的坐标；
（3）分情况讨论：①当，证明得，根据比例即可；②当，证明得，根据比例即可．
【小问1详解】
当时，．解得．
点在点的左侧，
，
设直线的表达式为：
将代入得：
解得：
直线的函数表达式为
同理将代入，可得直线函数表达式为．
【小问2详解】
设
轴
，
，
，
为线段的中点，
，
．
解得（舍去），，
；
【小问3详解】
存在，点的坐标为或
分以下三种情况讨论：
①当时，如图，过点作轴于点，
过点作，交的延长线于点．
设，则
．
．
又
．
解得

②当时，如图，过点作轴，过点作于点，
过点作交的延长线于点．
设，则
．
．
又
．
解得．

③当时，该情况不存在．
综上所述，点的坐标为或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图像上点的坐标特征、一元二次方程的解、相似三角形的判定与性质等，解题的关键在于正确画出辅助线甲班
80
85
90
96
97
90
90
100
99
93
乙班
87
89
92
95
92
92
85
92
96
100
统计量
班级
众数
中位数
平均数
方差
甲班
a
b
92
36
乙班
92
92
c