（19题结构）2024高考数学模拟卷01-（原卷版+解析版）

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绝密☆启用前
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
2．已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
3．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
4．2024年3月，甲､乙两人计划去贵州旅游，现有梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、青岩古镇、肇兴侗寨六个景区供他们选择，甲去两个景区，乙去三个景区，且甲不去梵净山，乙要去青岩古镇，则这两人的旅游景区的选择共有（ ）
A．60种B．100种C．80种D．120种
5．在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．抛物线C．直线D．圆
6．设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A．B．C．D．
7．已知奇函数与偶函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限的交点为，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数满足，，则（ ）
A．在复平面内，对应的向量与对应的向量所成角的正切值为2
B．在复平面内，对应的点在第四象限
C．的虚部为2
D．的实部为
10．若，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
11．设函数，下面四个结论中正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有且只有一个零点
C．函数的值域为
D．对任意两个不相等的正实数，若，则
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在的展开式中，的系数为，则该二项展开式中的常数项为 ．
13．已知的内角，，所对应的边分别是，，，，，，则的面积为 .
14．在三棱柱中，四面体是棱长为2的正四面体，为棱的中点，平面过点且与垂直，则与三棱柱表面的交线的长度之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为亿元，观影人次为亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了和，均创造了同档期新的纪录. 2024年2月10日某电影院调查了名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）.

(1)求这名观影者满意度评分不低于分的人数；
(2)估计这名观影者满意度评分的第百分位数（结果精确到）；
(3)设这名观影者满意度评分小于分的频率为，小于分的频率为，若甲、乙名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看，影片的概率分别为，，乙观看，影片的概率分别为，，当天甲、乙观看哪部电影相互独立，记甲、乙这名观影者中当天观看影片的人数与观看影片的人数之差为，求的分布列及期望.
16．（15分）已知函数．
(1)若的零点也是其极值点，求；
(2)若对所有成立，求的取值范围．
17．（15分）如图，几何体中，和均为等边三角形，平面平面，，，，为中点.
(1)证明：、、、四点共面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．（17分）已知椭圆的右焦点为，直线与相交于、两点．
(1)求直线l被圆所截的弦长；
(2)当时，．
（i）求的方程；
（ii）证明：对任意的，的周长为定值．
19．（17分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．