（19题结构）2024高考数学模拟卷02-（原卷版+解析版）

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绝密☆启用前
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某校为了提高学生的安全意识，组织高一年级全体学生进行安全知识竞赛答题活动，随机抽取8人的得分作为样本，分数从低到高依次为:84，85，87，87，90，a，b，99，若这组数据的第75百分位数为94，则利用样本估计此次竞赛的平均分约为（ ）
A．85B．86C．90D．95
2．若复数满足，则（ ）
A．3B．2C．1D．
3．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．－36或36B．－36C．18D．36
4．，的展开式中项的系数等于40，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．若，都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．D．
6．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数的最小正周期为2，则（ ）
A．B．曲线关于直线对称
C．的最大值为2D．在区间上单调递增
11．费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线为在其上一点处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A．的一条渐近线与直线相互垂直
B．若点在直线上，且，则（为坐标原点）
C．直线的方程为
D．延长交于点，则的内切圆圆心在直线上
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为 ．
13．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形均为正方形，，则 .
14．函数的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
(1)求前3局比赛甲都取胜的概率；
(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.
16．（15分）如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为2等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合）．
(1)证明：；
(2)当为何值时，直线与平面所成的角最大？
17．（15分）设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点，求的取值范围.
18．（17分）已知抛物线的焦点为，在轴上的截距为正数的直线与交于两点，直线与的另一个交点为.
(1)若，求；
(2)过点作的切线，若，则当的面积取得最小值时，求直线的斜率.
19．（17分）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．