4.4 正比例 小学数学六年级下册同步培优讲义（人教版）

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4.4 正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：=k成正比例关系的图象是一条经过原点的直线。从图象中可以直观地看到两种 量的变化情况，还可以不用计算，由一个量的值直接找到相对应的另一个量的值。判断两种量是否成正比例： 一是两种量必须是相关联的量；二是一 种量变化，另一种量也随着变化；三是两种量中相对应的两个数的比值(商)一定。同时 满足以上三点，那么这两种量就成正比例。成正比例关系的图象是一条经过原点的直线。从图象中可以直观地看到两 种量的变化情况。还可以不用计算，由一个量的值直接找到对应的另一个量的值。：基础过关练一、填空题1．(1) A、B两物体的路程随时间的变化关系分别如图①、②所示，则A的速度( )B的速度（填“＞”“＝”或“＜”）；(2) A、B两物体分别从甲、乙两地同时相向而行，经过6秒两物体相遇，则甲、乙两地间的距离为( )米。2．如果（m、n都不为0），那么( )，m和n成( )比例。3．，则＝( )∶( )：从2、3、4、6、9中选四个数组成比例，即( )∶( )＝( )∶( )。4．如下图，欢欢沿着直尺的方向拉橡皮筋。如果点A的位置固定不变，将橡皮筋继续拉长，使点C的位置在16厘米处，那么点B的位置在( )厘米处；如果使点B的位置在15厘米处，那么点C的位置在( )厘米处。  5．如果（A，B都不为零），则A( )B（填＞，＜，＝）；A和B成( )比例。6．在没有余数的除法里，除数一定，被除数和商成( )比例。二、判断题7．已知（x、y都不等于0）则x和y成正比例。( )8．成正比例的两个量，它们的积是一定的。( )9．若圆锥的底面积一定，则体积与高成正比例。( )10．正方形的周长和边长成正比例关系，正方形的面积和边长也成正比例关系。( )11．正方形的周长和它的边长成正比例关系。( )12．汽车的速度一定，所行路程和时间成正比例。( )13．圆锥的体积与底面半径成正比例关系。( )三、选择题14．如果（    ），那么x和成正比例（x、y均不为0）。A． B． C． D．15．仓库里有短袖衬衫210件，是长袖衬衫数量的75%。短袖和长袖衬衫共有多少件？下面解法中，正确的是（    ）。①210÷（1＋75%）  ②210∶3＝∶（3＋4）  ③210÷75%＋210  ④210÷3×（3＋4）A．①③ B．①② C．①③④ D．②③④16．下列说法中，正确的是（    ）。①2022年是平年，全年共有365天②圆的面积和圆的半径成正比例③1m的与5m的同样长④一个质数加上1，所得的和一定是合数A．①② B．②③ C．③④ D．①③17．①订阅《小学生学习报》的钱数和份数；②一袋大米吃掉的千克数和剩下的千克数；③正方形的周长和边长；④圆的半径和面积。在上面各题中，两种相关联的量成正比例关系的有（    ）个。A．1 B．3 C．2 D．418．下面是关于2022年北京冬奥会的信息，其中成正比例关系的是（    ）。A．参加冬奥会的男运动员人数与女运动员人数B．冬奥会已建场馆数与未建场馆数C．北京到崇礼区的高铁列车，行驶的速度与时间D．用相同的大巴车接送运动员，在每辆车恰好坐满的情况下，接送运动员的总人数与大巴车的数量19．王小亮在弹簧秤上挂了3千克的物体，弹簧伸长约1.5厘米，在这个弹簧秤上挂2.5千克物体时，弹簧大约伸长（    ）厘米。A．1.25 B．1.5 C．1：培优提升练四、解答题20．下表是小林家去年上半年每月用电量情况。（1）分别写出各月电费与用电量的比，比较比值的大小。（2）说明这个比值表示的意义。（3）电费与相应的用电量成正比例关系吗？为什么？21．为完成张老师布置的测量学校旗杆高度的实践作业，杨光同学将一根长3米的标杆直立在地上，测得该标杆影长为1.2米，而他的同伴夏天同学同时测得旗杆的影长比标杆影长多3.6米。他们记录了数据并通过计算，顺利地得到了旗杆的高度，旗杆的高度到底是多少米呢？（请运用比例求解旗杆的高度）22．甲、乙两地相距570千米，一辆汽车从甲地开往乙地，4小时行了380千米。照这样的速度，这辆汽车还需要多长时间才能到达乙地？（用比例解）23．萌萌和同学们在操场上测量出一棵树的影长是4米，同时测得直立的米尺影子长是40厘米，米尺长1米。这棵树高多少米？（用比例解）24．上海磁悬浮列车匀速行驶时，行驶时间和路程如下。（1）根据表中数据，在图中描出列车行驶时间和路程对应的点，再按顺序连起来。  （2）列车行驶的路程和时间成（    ）比例。（3）根据图象判断，列车运行7分时，行驶的路程是（    ）千米。25．甲、乙两地间的距离是490千米。一辆汽车从甲地出发去乙地，5小时行驶了350千米。照这样计算，行完全程还需要多少小时？26．一列货车前往灾区运送救灾物资，2小时行驶了30千米。从出发地点到灾区共有120千米，按照这样的速度，走完全程还需要多少小时？1．(1)＜(2)15【分析】A、B两物体的路程随时间变化关系图都是一条直直的线，说明A、B两物体的路程与时间成正比例，且路程与时间的比值就是速度。（1）分别在A、B的图形中找一点，用这一点的路程除以时间可以分别求出他们的速度，再比较大小即可。（2）在（1）中已经求出A、B的速度，用A与B的速度和乘上时间6秒可以求出路程和也就是甲乙两地间的距离。【详解】（1）A的速度：6÷12＝0.5（米/秒）B的速度：12÷6＝2（米/秒）0.5＜2，所以A的速度＜B的速度（2）（0.5＋2）×6＝2.5×6＝15（米）则甲乙两地间的距离是15米。2． 正【分析】根据题意，可先将改写成7m＝5n，然后等式两边同时除以7，除以n，即可通过转化得出m和n的比。或根据比例的基本性质直接得到。根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，即可确定m和n的比例关系。【详解】由可得7m＝5n7m÷7÷n＝5n÷7÷nm÷n＝5÷7＝所以，m∶n＝5∶7，m和n成正比例关系。3． 8 15 2 3 4 6【分析】8a＝15b，可根据等式基本性质，在等式两边同时除以15a，得出比例式。根据比例基本性质：比例的两内项之积等于两外项之积，即两个数乘积与另外两个数的乘积相等，即能组成比例。据此可得出答案。【详解】8a＝15b，则：，，即b∶a＝8∶15。2、3、4、6、9中选四个数，，2、3、4、6四个数可组成比例，即：2∶3＝4∶6。4． 12 20【分析】在一定的弹性范围内，橡皮筋相对位置（如点B和点C）的拉长距离成正比例关系。设点B的位置在x厘米处，根据点B现在的位置∶点B原来的位置＝点C现在的位置∶点C原来的位置，列出比例求出x的值是点B的位置。设点C的位置在y厘米处，根据点C现在的位置∶点C原来的位置＝点B现在的位置∶点B原来的位置，列出比例求出y的值是点C的位置。【详解】解：设点B现在的位置在x厘米处。x∶9＝16∶1212x＝9×1612x＝14412x÷12＝144÷12x＝12解：设点C现在的位置在y厘米处。y∶12＝15∶99x＝12×159x＝1809x÷9＝180÷9x＝20如果点A的位置固定不变，将橡皮筋继续拉长，使点C的位置在16厘米处，那么点B的位置在12厘米处；如果使点B的位置在15厘米处，那么点C的位置在20厘米处。【点睛】关键是根据图示确定比例关系，从而列出比例解决问题。5． ＜ 正【分析】积一定，一个数乘的数越小其本身越大；x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，据此分析。【详解】如果（A，B都不为零），＞，则A＜B；，两边同时÷B÷，可得，A和B成正比例。【点睛】关键是掌握分数乘法的计算方法，理解正比例的意义，商一定是正比例关系。6．正【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，据此解答。【详解】由“被除数÷除数＝商”可知，被除数÷商＝除数（一定），在没有余数的除法里，除数一定，被除数和商成正比例。【点睛】本题主要考查正比例关系的辨识，掌握正比例关系的意义是解答题目的关键。7．√【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。【详解】也可以转化为，说明x与y的比值一定，所以x和y成正比例。故答案为：√8．×【分析】根据正比例的意义进行解答，成正比例的两个量中，相对应的两个数的比值是一定的。【详解】成正比例的两个量，它们的积是一定的。原题说法错误。故答案为：×【点睛】此题考查了正比例的意义。要求熟练掌握并灵活运用。9．√【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，据此判断圆锥的体积与高是否成正比例。【详解】圆锥的体积÷高＝圆锥的底面积×（一定），是比值一定，圆锥的体积与高成正比例。故答案为：√【点睛】此题属于考查了正比例的辨别，关键是看这两种量对应的比值是否是一定断。10．×【分析】两个相关联的量，当比值一定时，成正比例关系，据此解答即可。【详解】因为正方形的周长÷边长＝4（一定），所以正方形的周长和边长成正比例关系；因为正方形的面积÷边长＝边长，比值不一定，所以正方形的面积和边长不成比例。原题干说法错误。故答案为：×【点睛】明确正比例的意义是解答本题的关键。11．√【分析】根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，进行分析。【详解】正方形周长÷边长＝4，正方形的周长和它的边长成正比例关系，说法正确。故答案为：√【点睛】关键是理解正比例的意义，商一定是正比例关系。12．√【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据速度＝路程÷时间，如果速度一定，则路程和时间的比值一定，它们成正比例。据此解答。【详解】根据分析可知，汽车的速度一定，所行路程和时间成正比例。原题干说法正确。故答案为：√【点睛】本题考查了正比例的意义和辨识，掌握相关公式是解答本题的关键。13．×【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母和表示两种相关联的量，用表示它们的比值（一定），正比例关系可以用表示，据此解答。【详解】根据：圆锥的体积公式：V＝πr2h，V÷r＝πrh，πrh不是定值，所以圆锥的体积与底面半径不成比例关系；原题说法错误；故答案为：×【点睛】本题主要考查正比例关系的辨识，明确相关联的两种量是否比值一定是解答题目的关键。14．D【分析】根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，进行分析。【详解】A．＝3y，3xy＝1，xy＝，x和y不成正比例；B．（x＋1）y＝1，xy＋y＝1，x和y不成比例；C．x＋y＝13，x和y之间有和的关系，不成比例；D．y＝8x，x＝y，x÷y＝，x和y成正比例关系；故答案为：D15．D【分析】①210÷（1＋75%），意思是210件短袖衬衫比长袖衬衫的数量多75%，把长袖衬衫的数量看作单位“1”，则短袖衬衫是长袖衬衫数量的（1＋75%），单位“1”未知，用短袖衬衫的数量除以（1＋75%），求出长袖衬衫的数量。②将75%化成，＝3∶4，把210件短袖衬衫的数量看作3份，长袖衬衫的数量看作4份，一共是（3＋4）份；根据衬衫数量∶份数＝一份数（一定），列出正比例方程；③把长袖衬衫的数量看作单位“1”，210件短袖衬衫是长袖衬衫数量的75%，单位“1”未知，用短袖衬衫的数量除以75%，求出长袖衬衫的数量，再加上短袖衬衫的数量，即是短袖和长袖衬衫的总数量。④将75%化成，＝3∶4，把210件短袖衬衫的数量看作3份，长袖衬衫的数量看作4份，一共是（3＋4）份；用短袖衬衫的数量除以3，求出一份数，再用一份数乘总份数，即可求出短袖和长袖衬衫的总数量。【详解】①210÷（1＋75%），表示210件短袖衬衫比长袖衬衫的数量多75%，不符合题意，解法错误；②75%＝＝3∶4解：设短袖和长袖衬衫共有件。210∶3＝∶（3＋4）3＝210×（3＋4）3＝1470＝1470÷3＝490短袖和长袖衬衫共有490件，解法正确；③210÷75%＋210＝210÷0.75＋210＝280＋210＝490（件）短袖和长袖衬衫共有490件，解法正确；④75%＝＝3∶4210÷3×（3＋4）＝70×7＝490（件）短袖和长袖衬衫共有490件，解法正确；综上所述，解法正确的是②③④。故答案为：D16．D【分析】①平年一年有365天，闰年一年有366天，再结合公历年份是4的倍数的一般都是闰年，但年份是100的倍数时，必须是400的倍数才是闰年，据此判断即可；②两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例，据此判断即可；③根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此分别求出1m的与5m的，再进行对比即可；④一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数；据此举例判断即可。【详解】①2022÷4＝505⋯⋯2则2022年是平年，全年共有365天，原说法正确；②由S＝πr2可知，S∶r2＝π（一定），比值一定，圆的面积与半径的平方成正比例；原说法错误；③1×＝（m）5×＝（m）则1m的与5m的同样长，原说法正确；④如：质数2，2＋1＝3，3不是合数，所以原说法错误。则正确的是①③。故答案为：D17．C【分析】比值（商）一定的两个量成正比例关系。据此分析解题。【详解】①总价÷数量＝单价（一定），那么订阅《小学生学习报》的钱数和份数成正比例关系；②吃掉的大米＋剩下的＝一袋大米，那么一袋大米吃掉的千克数和剩下的千克数不成比例；③周长÷边长＝4，那么正方形的周长和边长成正比例关系；④面积÷半径÷半径＝3.14，那么圆的半径和面积不成正比例关系。所以，两种相关联的量成正比例关系的有2个。故答案为：C18．D【分析】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系。据此解答。【详解】A．男运动员人数＋女运动员人数＝运动员总人数，参加冬奥会的男运动员人数与女运动员人数的和一定，不成比例；B．已建场馆数＋未建场馆数＝冬奥会场馆总数，冬奥会已建场馆数与未建场馆数的和一定，不成比例；C．速度×时间＝路程，北京到崇礼区的路程一定，则高铁列车行驶的速度与时间的积一定，但是比值或商一定，那么行驶的速度与时间不成正比例关系；D．接送运动员的总人数÷大巴车的数量＝每辆大巴车的载客量（一定），则接送运动员的总人数与大巴车数量的商一定，则接送运动员的总人数与大巴车的数量成正比例关系。故答案为：D19．A【分析】因为在一定限度内，弹簧秤弹簧所挂物体的重量越大，伸长量也就越大，即弹簧的伸长与所挂物体的重量成正比例关系；又已知当挂上了3千克的物体，伸长约为1.5厘米，要求得挂上2.5千克的物体，伸长大约多少，设此时弹簧大约伸长x厘米，可列比例式：3∶1.5＝2.5∶x，解这个比例即可。【详解】解：设弹簧大约伸长x厘米。3∶1.5＝2.5∶x3x＝1.5×2.53x＝3.75x＝3.75÷3x＝1.25在这个弹簧秤上挂2.5千克的物体时，弹簧大约伸长1.25厘米。故答案为：A【点睛】需要理解弹簧秤的工作原理，能利用正比例关系列式，解决生活中的问题。20．（1）1月：60∶120＝60÷120＝0.52月：65∶130＝65÷130＝0.53月：55∶110＝55÷110＝0.54月：60∶120＝60÷120＝0.55月：65∶130＝65÷130＝0.56月：75∶150＝75÷150＝0.5各月电费与用电量的比值相等。（2）电费与用电量的比值是每千瓦时电价。（3）电费与相应用电量的比值一定是0.5，所以电费与相应用电量成正比。【分析】（1）用每月电费比用电量，再用比的前项除以后项得到比值，最后再比较大小；（2）用电量×每千瓦时的电价＝每月电费，据此可知每月电费与用电量的比值是每千瓦时的电价；（3）计算几组电费与相应的用电量的比值，发现比值一定，据此判断电费与相应的用电量成的比例关系。【详解】（1）1月：60∶120＝60÷120＝0.52月：65∶130＝65÷130＝0.53月：55∶110＝55÷110＝0.54月：60∶120＝60÷120＝0.55月：65∶130＝65÷130＝0.56月：75∶150＝75÷150＝0.5各月电费与用电量的比值相等。（2）电费与用电量的比的比值是每千瓦时电价。（3）通过（1）的计算可知，电费与相应用电量的比值一定是0.5，所以电费与相应用电量成正比。21．12米【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。【详解】解：设旗杆的高度是x米。3∶1.2＝x∶（1.2＋3.6）1.2x＝3×4.81.2x＝14.41.2x÷1.2＝14.4÷1.2x＝12答：旗杆的高度是12米。【点睛】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。22．2小时【分析】因为汽车前后的速度不变，路程÷时间＝速度（一定），所以路程和时间成正比例，4小时行了380千米，剩下（570－380）千米。设到达乙地还需要x小时，再按照正比例关系列方程。【详解】解：设这辆汽车还需x小时到达乙地。380∶4＝（570－380）∶x380∶4＝190∶x380x＝4×190380x＝760380x÷380＝760÷380x＝2答：这辆汽车还需要2小时才能到达乙地。23．10米【分析】设这棵树高x米，在同一时刻，同一地点，物体的高度与影长成正比例，树的高度∶树的影长＝尺的长∶尺的影长，由此即可列比例求出这棵树的高。【详解】解：设这棵树高x米。40厘米＝0.4米x∶4＝1∶0.40.4x＝40.4x÷0.4＝4÷0.4x＝10答：这棵树高10米。【点睛】解答此题的关键是弄清物体的高度与影长两种量成正比例关系。24．（1）见详解；（2）正；（3）49【分析】（1）由图可知，图中横轴表示时间，纵轴表示路程，单位长度表示7千米，根据表格中的数据描出各点，再依次连接各点；（2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；（3）由“路程＝速度×时间”可知，列车每分钟行驶7千米，7分钟行驶7×7＝49（千米），据此解答。【详解】（1）分析可知：  （2）＝＝＝＝＝＝＝…＝7（一定）所以，列车行驶的路程和时间成正比例。（3）7×7＝49（千米）观察图象可知，列车运行7分时，行驶的路程是49千米。【点睛】本题主要考查正比例关系的辨识，掌握正比例关系的意义是解答题目的关键。25．2小时【分析】根据题意可知，这辆汽车行驶的速度不变，即路程∶时间＝速度（一定），比值一定，则路程和时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。【详解】解：设行完全程还需要小时。（490－350）∶＝350∶5350＝（490－350）×5350＝140×5350＝700350÷350＝700÷350＝2答：行完全程还需要2小时。【点睛】先确定汽车的速度不变，再根据速度、时间、路程之间的关系，得出路程和时间成正比例关系，据此列出相应的比例方程。26．6小时【分析】根据题意可知，货车行驶的速度不变，即路程∶时间＝速度（一定），比值不变，则路程和时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。【详解】解：设走完全程还需要小时。（120－30）∶＝30∶230＝2×（120－30）30＝2×9030＝180＝180÷30＝6答：走完全程还需要6小时。【点睛】先确定货车的速度不变，再根据速度、时间、路程之间的关系，得出路程和时间成正比例关系，据此列出相应的比例方程。 月份123456用电量/千瓦时120130110120130150电费/元606555606575时间/分123456…路程/千米71421283542…