4.5 反比例 小学数学六年级下册同步培优讲义（人教版）

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4.5 反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以用下面的式子表示： xy=k判断两种量是否成反比例关系， 一看这两种量是不是相关联的量，二看这两种 量中相对应的两个数的乘积是否一定。如果乘积一定，这两种量成反比例，否则就 不成反比例。正比例和反比例之间有联系也有区别，两个量的比值一定，那么它们成正比例； 两个量的积一定，那么它们成反比例。判断两种量是否成反比例： 一是两种量必须是相关联的量；二 是一种量变化，另一种量也随着变化；三是两种量中相对应的两个数的乘积一定。 同时满足以上三点，那么这两种量就成反比例。：基础过关练一、填空题1．已知6x＝4y，x和y成( )比例，x∶y＝( )∶( )。2．A×B＝C，A一定时，B和C成( )比例，C一定时，A和B成( )比例。3．若，x和y成( )比例关系；若，a和b成( )比例关系。4．若∶2＝∶4（，均不为0），和成( )比例；若（，均不为0），和成( )比例。5．如果，那么y和x成 比例；如果，那么x和y成 比例。6．如果y＝6x，那么x和y成( )比例关系；如果，那么x和y成( )比例关系。二、判断题7．如果高铁行驶速度保持不变，则它所行驶的路程与所用时间成反比例。( )8．自行车前齿轮转数×前齿轮齿数＝后齿轮齿数×后齿轮转数。( )9．圆柱的侧面积一定，圆柱的底面周长与圆柱的高成正比例。( )10．如果与成反比例，那么2与也成反比例。( )11．小敏每天步行上学，她的步行平均速度与上学路上所花时间成反比例。( )12．运送一批货物，每天运的吨数和需要的天数成反比例。( )三、选择题13．下列各种关系中，成反比例关系的是（    ）。A．在一定的时间里，每分钟生产的零件和生产零件的总个数。B．三角形面积一定，它的底和高。C．一捆50米长的电线，用去的长度与剩下的长度。14．下面各种关系中，成反比例关系的是（    ）。A．铺地面积一定，每块砖的边长和砖的数量 B．如果，那么x和yC．三角形的面积一定，它的底和高 D．圆的面积一定，它的半径和圆周率15．下面各组中，两个量成正比例关系的是（    ）。A．圆的周长和半径 B．圆柱的底面积和它的体积C．长方形的周长一定，长和宽 D．加工同一批零件，所用的时间和工作效率16．下面有（    ）句是正确的。（1）两个圆柱的侧面积相等，它们的底面周长也相等。（2）在比例中，两个外项的积是25，一个内项是5，另一个内项也是5。（3）＝B，那么A和B成反比例。（4）圆柱体积是圆锥体积的3倍。（5）阳光下同一地点同一时间的杆高和影长成正比例。A．2 B．3 C．4 D．517．下面各题中的两种相关联的量，成反比例关系的是（    ）。A．一本书的总页数一定，已看的页数和剩下的页数B．正方体体积一定，底面积和高。C．单价一定，购买的数量和所用的钱数。18．表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填（    ）。A．19.6 B．2.5 C．3.5：培优提升练四、解答题19．某两个城市间火车的平均行驶速度与驶完全程所需时间如下表。（1）这两个城市间铁路全长多少千米？（2）如果用v表示火车的平均速度，t表示驶完全程所需时间。t与v成什么比例关系？你能写出这个关系式吗？（3）如果火车的平均速度为325千米/时，驶完全程需要多长时间？20．给一间长9米、宽6米的教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖数量如下表。所需地砖数量与每块地砖的面积是否成反比例关系？为什么？21．博爱小学为美化环境，购置了一些牡丹花，要栽在一个长方形花园里，如果每行栽18棵，可以栽24行；如果每行少栽2棵，需要栽多少行？（用比例解）22．花如海，人如潮，“汉服热”带动了洛阳今年的文旅热。洛阳一家汉服服装厂接到一个订单，如果每天加工500套汉服，8天可以完成订单任务，现在需求方让服装厂5天完成订单任务，平均每天需要加工多少套汉服？（请用比例知识解答）23．工程队修一段公路，原计划每天修4.8千米，18天修完。实际提前2天修完，实际每天修多少千米？24．某街道要用方砖重新铺设一个小广场。用边长2分米的方砖铺需要用216块，如果改用边长是3分米的方砖铺，需要多少块？（用比例知识解）25．某工程队完成一项工程，原计划18个工人25天完成。为了赶工期，需提前10天完成，这样需要安排多少个工人？1． 正 2 3【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断出x和y的关系即可。【详解】因为6x＝4y所以x∶y＝4∶6＝（4÷2）∶（6÷2）＝2∶3＝x和y的比值一定，因此x、y成正比例，x∶y＝2∶3。【点睛】本题考查了正比例、反比例的意义和辨识。2． 正 反【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。【详解】A×B＝C，A一定时，B和C成正比例，C一定时，A和B成反比例。【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。3． 反 正【分析】两个相关联的量，若它们乘积一定，则这两个量成反比例；若它们的比值一定，则这两个量成正比例。【详解】因为，即xy＝3，x和y的乘积一定，则x和y成反比例关系；因为，即a÷b＝，a和b的比值一定，则a和b成正比例关系。4． 正 反【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。【详解】若∶2＝∶4（，均不为0），则∶＝2∶4，即∶＝（一定），比值一定，那么和成正比例；若（，均不为0），则＝3×4，即＝12（一定），积一定，那么和成反比例。5． 正 反【分析】两个相关联的量，它们的乘积一定成反比例关系；它们的比值一定，则成正比例关系，据此解答即可。【详解】因为，即x和y的比值一定，所以y和x成正比例；因为，则xy＝3×3＝9，即x和y的乘积一定，则x和y成反比例。6． 正 反【分析】两个相关量，如果它们的比值一定，那么它们成正比例。两个相关量，如果它们的积一定，那么它们成反比例。【详解】，所以和的比值是一定的，因此这两个量成正比例关系；，所以和的乘积是一定的，因此这两个量成反比例关系。7．×【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据路程÷时间＝速度，速度不变，也就是路程和时间的比值不变，则路程和时间成正比例。【详解】根据分析可知，如果高铁行驶速度保持不变，则它所行驶的路程与所用时间成正比例。原题干说法错误。故答案为：×【点睛】本题考查了正比例、反比例的意义和辨识，掌握相关判别方法是解答本题的关键。8．√【分析】反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。【详解】因为齿轮的转数×齿数＝路程（一定），所以齿轮的转数和齿数成反比例关系；即自行车前齿轮转数×前齿轮齿数＝后齿轮齿数×后齿轮转数。原题说法正确。故答案为：√9．×【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。【详解】圆柱的底面周长×圆柱的高＝圆柱的侧面积（一定）积一定，则圆柱的底面周长与圆柱的高成反比例。原题说法错误。故答案为：×10．√【分析】反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。【详解】如果与成反比例，则×的积一定，那么2×的积也一定，所以2与也成反比例。原题说法正确。故答案为：√【点睛】掌握反比例的意义及辨识方法是解题的关键。11．√【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。【详解】步行的平均速度×上学路上所花时间＝上学的路程（一定）乘积一定，则她的步行平均速度与上学路上所花时间成反比例。原题说法正确。故答案为：√【点睛】掌握正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。12．√【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。【详解】每天运的吨数×需要的天数＝运送一批货物（一定）乘积一定，则每天运的吨数和需要的天数成反比例。原题说法正确。故答案为：√【点睛】掌握正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。13．B【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。【详解】A．生产零件的总个数÷每分钟生产的零件＝时间（一定），商一定，则每分钟生产的零件和生产零件的总个数成正比例关系，不符合题意；B．三角形的底×高＝三角形面积×2（一定），积一定，则三角形的底和高成反比例关系，符合题意；C．电线用去的长度＋剩下的长度＝50米（一定），和一定，则用去的长度与剩下的长度不成比例，不符合题意。故答案为：B14．C【分析】x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。【详解】A．每块砖的边长×边长×数量＝面积，每块砖的边长×数量＝面积÷边长（不定），铺地面积一定，每块砖的边长和砖的数量不成比例关系；B．如果，两边同时÷5÷y可得：x÷y＝1.6，x和y成正比例关系；C．底×高＝三角形的面积×2（一定），三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系；D．半径×圆周率＝圆的面积÷半径（不定），圆的面积一定，它的半径和圆周率不成比例关系。成反比例关系的是三角形的面积一定，它的底和高。故答案为：C15．A【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。据此逐一分析各项即可。【详解】A．根据圆的周长公式：C＝2πr，即C÷r＝2π（定值），则圆的周长和半径成正比例关系；B．根据圆柱的体积公式：V＝Sh，即h＝V÷S，h不是一个定值，所以圆柱的底面积和它的体积不成比例；C．根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，即a＋b＝C÷2（一定），所以长和宽不成比例；D．根据工作效率×工作时间＝工作总量（一定），则所用的时间和工作效率成反比例。故答案为：A16．A【分析】（1）根据圆柱的侧面积计算公式：侧面积＝底面周长×高，由此可知，圆柱的侧面积是由圆柱的底面周长和高决定的，据此判断即可；（2）根据比例的基本性质，内项积等于外项积，据此判断即可；（3）两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例；若它们的乘积一定，则它们成反比例，据此判断；（4）等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，据此判断；（5）判断杆高和影长是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例，据此判断。【详解】（1）如：一个圆柱的底面周长为12.56，高为4，该圆柱的侧面积为：12.56×4＝50.24，另一个圆柱的底面周长为25.12，高为2，此时圆柱的侧面积为：25.12×2＝50.24，这两个圆柱的侧面积相等，但它们的底面周长不相等，则原说法错误；（2）在比例中，两个外项的积是25，一个内项是5，另一个内项为25÷5＝5，原说法正确；（3）因为＝B，则A÷B＝8，A和B的比值一定，则A和B成正比例关系，原说法错误；（4）等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，题干中并没有说明圆柱和圆锥等底等高，则原说法错误；（5）因为在同一地点内，杆高和影长的比值一定，所以同一地点内，杆高和影长成正比例，原说法正确。正确的有（2）（5）共2个。故答案为：A17．B【分析】x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。【详解】A．已看的页数＋剩下的页数＝总页数，一本书的总页数一定，已看的页数和剩下的页数不成比例关系；B．底面积×高＝正方体体积，正方体体积一定，底面积和高成反比例关系；C．所用的钱数÷购买的数量＝单价，单价一定，购买的数量和所用的钱数成正比例关系。成反比例关系的是正方体体积一定，底面积和高。故答案为：B18．B【分析】根据题意，和两个量成反比例关系，即、的积一定，据此列出反比例方程，并求出△的值。反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。【详解】14△＝7×5解：14△＝35△＝35÷14△＝2.5表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填2.5。故答案为：B19．（1）1300千米（2）因为速度×时间＝路程（一定），所以v与t成反比例关系。关系式：vt＝1300（3）4小时【分析】（1）根据路程＝速度×时间，应用一组对应的平均速度和时间，计算出铁路全长；（2）各组数据中平均速度与时间的乘积是定值1300千米，速度×时间＝路程，根据反比例的概念解答；（3）vt＝1300，当v＝325时，计算出t，据此解答。【详解】（1）（千米）答：这两个城市间铁路全长1300千米。（2）（千米）（千米）（千米）……因为速度×时间＝路程（一定），所以v与t成反比例关系。关系式：vt＝1300。（3）（小时）答：如果火车的平均速度为325千米/时，驶完全程需要4小时。20．所需地砖数量与每块地砖的面积是成反比例关系；原因见详解【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个对应的量是比值一定，还是乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】9×6＝54（平方米）54平方米＝540000平方厘米900×600＝540000（平方厘米）1800×300＝540000（平方厘米）3600×150＝540000（平方厘米）所需地砖数量×每块地砖的面积＝教室面积（一定），所以所需地砖数量与每块地砖的面积成反比例关系。答：所需地砖数量与每块地砖的面积是成反比例关系。21．27行【分析】由题意得：学校购置了一些牡丹花，则购置牡丹花的总量一定，在长方形花园里栽种，牡丹花总量=行数每行的棵树，则根据反比例定义，行数和每行的棵树成反比例关系。可设少栽2行的每行棵树为未知数，则可列出反比例关系式，再根据等式基本性质计算可得出答案。【详解】根据题意得：购置的牡丹花总量一定，行数和每行的棵树成反比例关系。设需要栽x行，则：答：如果每行少栽2棵，需要栽27行。22．800套【分析】根据题意可知，工作总量一定，即工作效率和工作时间的乘积一定，所以工作效率与工作时间成反比例，设平均每天需要加工x套汉服，列方程：5x＝500×8，解方程，即可解答。【详解】解：设平均每天需要加工x套汉服。5x＝500×85x＝4000x＝4000÷5x＝800答：平均每天需要加工800套汉服。【点睛】关键是根据题意，先判断哪两种两相关联的量成何比例，即两个量的比值一定，成正比例，两个量的乘积一定，成反比例。再列出方程，进行解答。23．5.4千米【分析】根据题意可知：工作总量是一定的，工作效率和工作时间成反比例关系，设实际每天修千米，据此列比例解答。【详解】解：设实际每天修千米。（18－2）＝4.8×1816＝86.4＝86.4÷16＝5.4答：实际每天修5.4千米。【点睛】明确工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例关系，据此列出比例是解答本题的关键。24．96块【分析】这块地的面积是一定的，每块砖的面积与所需要的块数成反比例，设出未知数，列出比例式解答即可。【详解】解：设需要x块。答：需要96块。【点睛】此题主要考查对反比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的乘积一定，这两种量成反比例。25．30个【分析】根据工作总量一定，工作时间和工作效率成反比例，(原计划天数－提前天数)×实际安排工人数＝原计划人数×原计划天数由此列式即可。【详解】解：设需要安排个工人。（25－10）＝18×2515＝450＝450÷15＝30答：实际需要安排30个工人。【点睛】本题主要考查运用反比例知识解决实际问题，判断出工作时间与工作效率成反比例是解题的关键。 7△514平均速度/（千米/时）270260250200180150…时间/时55.26.5…每块地砖的面积90018003600所需地砖数量/块600300150