福建省宁德市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试卷(含答案)

这是一份福建省宁德市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数（i为虚数单位），则z的虚部为( )
A.-1B.C.2D.
2．在中，D为线段AB上一点，且，则( )
A.B.C.D.
3．设A，B为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是( )
A.B.
C.D.
4．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能的是( )
A.两个角均为锐角B.一个角为，一个角为
C.两个角均为D.两个角均为
5．某学校高年级有300名男生，200名女生，现采用分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取一个容量为60的样本，男生平均成绩为110分，女生平均成绩为100分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为( )
A.100分B.105分C.106分D.110分
6．设a,b是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,,则B.若,,则
C.若,,,则D.若,,,则
7．位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的C处的乙船，乙船也立即朝着渔船前往营救，则( )
A.B.C.D.
8．甲、乙两人组队参加禁毒知识竞赛，每轮比赛由甲、乙各答题一次，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则( )
A.在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率为
B.在第一轮比赛中，甲、乙都没有答对的概率为
C.在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的概率为
D.在两轮比赛中，甲、乙至多答对一题的概率为
二、多项选择题
9．若复数z满足（i为虚数单位），则下列结论正确的是( )
A.B.
C.z的共轭复数D.z是方程的一个根
10．若，，是任意的非零向量，则下列正确的是( )
A.
B.
C.若，则
D.若与共线且方向相同，则在上的投影向量为
11．两个班级，每班各自随机选出10名学生测验铅球成绩，以评估达标程度，测验成绩如下（单位：m）：则以下说法正确的是( )
A.乙班级的平均成绩比甲班级的平均成绩高
B.乙班级的成绩比甲班级的更加集中
C.甲班级成绩的第40百分位数是6.9
D.若达标成绩是7m，估计甲班级的达标率约为0.6
12．棱长为2的正方体中，E为正方形ABCD的中心，M，N分别是棱，的中点，则下列选项正确的有( )
A.
B.直线EN与平面ABCD所成角的正弦值为
C.三棱锥的外接球的半径为
D.过M、N、E的平面截该正方体所得的截面形状是六边形
三、填空题
13．复数，则z在复平面内对应的点位于第______象限．
14．一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________．
15．已知O，H在所在平面内，若，，则______．
四、双空题
16．已知平面内两个不同的单位向量，，与所成的角都为，则______；______．
五、解答题
17．已知，为平面向量，且．
（1）若，且与垂直，求实数k的值；
（2）若，且，求向量的坐标．
18．如图，在正三棱柱中，M，N分别是，的中点．
（1）求证：平面ABC；
（2）求证：平面．
19．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：t），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），将数据按照，，…，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）已知该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于7（单位：t）的人数；
（3）若该市政府希望80%的居民每月的用水量不超过标准x（单位：t），估计x的值．
20．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，标号分别为1，2，3，4，从袋中不放回地随机抽取两次，每次取一球．记事件A：第一次取出的是2号球；事件B：两次取出的球号码之和为5．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）判断事件A与事件B是否相互独立，请说明理由；
（3）两次取出的号码之和最可能是多少？请说明理由．
21．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．请从条件①、条件②中选择一个条件作为已知，求：
（1）A的度数：
（2）若，求面积的取值范围．
条件①：；
条件②：的面积．
22．如图1，平面四边形ACBD满足，，，，，．将三角形ABC沿着AB翻折到三角形ABE的位置，连接ED得到三棱锥（如图2）．
（1）证明：；
（2）若平面平面ABD，M是线段DE上的一个动点，记，分别为，，当取得最大值时，求二面角的余弦值．
参考答案
1．答案：C
解析：，则z的虚部为2．
故选：C．
2．答案：C
解析：为线段AB上一点，且，
，，，
故选：C.
3．答案：B
解析：因为A，B为两个互斥事件，，，
所以，即，且.
故选：B．
4．答案：D
解析：对于A，两个角可能均为锐角，故A不正确；
对于B，可能一个角为，一个角为，故B不正确；
对于C，可能两个角均为，故C不正确；
对于D，如果两个角均为，则两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，不是异面直线，故这两
个角不可能均为，故D正确.
5．答案：C
解析：由题意，应抽取男生（人），女生（人），
所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（分）．
故选：C.
6．答案：D
解析：在长方体,令平面ABCD是平面,
对于A,若平面为平面,直线BC为直线a,
直线为直线b,显然,,,
此时直线a,b是异面直线,a,b不平行,故A错误；
对于B,若平面为平面,则,直线DC为直线a,
直线AB为直线b,
显然,但,此时直线b不与平面平行,故B错误；
对于C,若平面为平面,直线AB为直线a,直线DC为直线b,
显然,,,此时直线a,b平行,a,b不垂直,故C错误；
对于D,过直线b作平面与平面相交,设交线为,
因为,
所以,,由,
所以,又因为,,所以,
所以,故D正确.
故选：D.
7．答案：A
解析：如图，由题意，，，由余弦定理得，，
由正弦定理得，即，解得.故选A.
8．答案：D
解析：在第一轮比赛中，甲对乙不对的概率为，乙对甲不对的概率为，甲乙都不对的概率为，所以恰有一人答对的概率为，故AB均错误，
在第一轮比赛中，答对一道题的概率为，答对两道题的概率为，答对0道题的概率为，
故在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的情况为：第一轮答对1道第二轮答对2道和第一轮答对2道第二轮答对1道，故概率为，
在两轮比赛中，甲、乙答对0道题的概率为，答对1道题的概率为，所以甲、乙至多答对一题的概率为，
故C错，D正确，
故选：D
9．答案：AB
解析：设，a，，则，因为，即，
所以，解得，所以，，，故AB正确，C错误；将代入方程可得，故D错误；
故选：AB
10．答案：AD
解析：由向量数乘运算的概念可知，，故A正确；
，均表示一个实数，，均表示向量，而，的方向不一定相同，故B错误；
若，则，即，则，不一定有，故C错误；
若与共线且方向相同，则，
则在上的投影向量为，故D正确.
故选：AD.
11．答案：ABD
解析：甲班级的平均成绩，
乙班级的平均成绩，
，故A正确；
甲班级成绩的方差
，
乙班级成绩的方差
，
，故B正确；
甲班级的成绩由小到大排列：4.9，5.2，6.7，6.9，7.1，7.9，8.0，8.1，8.4，9.1，
，甲班级成绩的第40百分位数是，故C错误；
若达标成绩是7m，甲班级选出的10名学生有6人达标，
所以，估计甲班级的达标率约为0.6，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：AC
解析：对于A：因为，，，
所以，即，故A正确；
对于B：取AB的中点F，连接EF、NF，由N是棱的中点，所以，
又平面ABCD，所以平面ABCD，
所以为直线EN与平面ABCD所成角，所以，
即直线EN与平面ABCD所成角的正弦值为，故B错误；
对于C：因为，，，
所以三棱锥的外接球即为以、、为长、宽、高的长方体的外接球，
长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为R，则，
所以，故三棱锥的外接球的半径为，即C正确；
对于D：延长MN交AB的延长线于点K，交的延长线于点F，连接EK交BC于点G，
延长KE交AD于点H，连接FH交于点I，连接NI、MG，
则五边形HGMNI即为过M、N、E的平面截该正方体所得的截面，
其中，，所以，，
取AB的中点J，连接EJ，则，所以，所以，
即G为BC靠近B的四等分点，又，
所以，所以，即H为AD靠近D的四等分点，
又，所以，所以，即I为靠近的四等分点，故D错误；
故选：AC
13．答案：一
解析：由，z在复平面内对应点为，故点在第一象限，
故答案为：一
14．答案：
解析：设圆锥的底面半径为r，
由题意可得：，解得，
所以圆锥的表面积为．
故答案为：.
15．答案：0
解析：根据可知O为的外心，
取BC中点为M，连接OM，则，
由，所以与共线，
，
故答案为：0
16．答案：①.或0.5；②.1
解析：因为单位向量，与所成的角都为，
所以，，即，
所以，，
则可得，是方程的两根，
同理可得，，，即，
所以，，
则可得，是方程的两根，
又因为，是两个不同的单位向量，所以，，
所以，，则，.
故答案为：；.
17．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）因为，，则，
因为与垂直，于是，即，解得.
所以．
（2）由，设，而，则，解得，
所以或．
18．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）设AB的中点为D，连接MD，CD．
因为M，D分别为，AB的中点，所以，．
又因为三棱柱为正三棱柱且N为的中点，所以，，
又所以，，所以四边形CDMN是平行四边形，所以．
又因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．
（2）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面ABC，
又因为平面ABC，所以．
因为D为AB的中点且为等边三角形，所以．
平面，平面，，所以平面，
又因为，所以平面．
19．答案：（1）0.35；
（2）15（万）；（3）x＝7.25
解析：（1）由频率分布直方图可得
，解得
（2）由频率分布直方图知，月均用水量不低于7吨的频率为
由此估计全市60万居民中月均用水量不低于7吨的人数为（万）．
（3）因为前四组的频率之和为
又前五组的频率之和为
所以．由，解得
因此，估计月用水量标准为7.25t时，的居民每月的用水量不超过标准．
20．答案：（1）答案见解析；
（2）事件A与事件B是相互独立，理由见解析；
（3）两次取出号码之和最有可能是5，理由见解析
解析：（1）用数组表示可能的结果，表示第一次抽到球的标号，表示第二次抽到球的标号，则试验样本空间为．
（2），，．
所以，，．
因为，所以事件A与事件B是相互独立．
（3）两次取出的号码之和的有：3，4，5，6，7．分别记作事件：C，D，E，F，G．
则，，，
，．
，，，，．
因．
所以两次取出号码之和最有可能是5．
21．答案：（1）选①②均为；
（2）
解析：（1）选择条件①：由正弦定理得，
，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以，，
选择条件②：由面积公式得，
由余弦定理得，所以，
所以，
又，所以.
（2）由正弦定理，得，
由面积公式可得
，
因为为锐角三角形，故，得，
所以，，
所以的取值范围为.
22．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）由翻折可知，在图2中，，，，
EO，平面EOD，所以平面EOD，
又因为平面EOD，所以，
（2）连接OM，
因为平面平面ABD，平面平面，
，平面EAB，所以平面ABD，
又平面ABD，所以，
所以在直角三角形EOD中，，，，所以，
DE边上的高为，所以，
由（1）可知平面EOD，平面EOD，所以，
，，
，
当且仅当取等号，所以当取最大值时，，
因为，，所以是二面角的平面角，
在等腰三角形MOD中，，
所以二面角的余弦值为．
甲
9.1
7.9
8.4
6.9
5.2
7.1
80
8.1
6.7
4.9
乙
8.8
8.5
7.3
7.1
6.7
8.4
9.0
8.7
7.8
7.9