河南省开封市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省开封市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数,则z的虚部为( )
A.B.C.D.
2．在中,,设,,则( )
A.B.C.D.
3．分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件“2枚硬币都是正面朝上”,事件“2枚硬币朝上的面相同”,则下列A与B的关系中正确的个数为( )
①
②互斥
③互为对立
④相互独立
A.1个B.2个C.3个D.4个
4．已知m,n为空间中两条直线,,为空间中两个平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
5．从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条,这三条线段不能构成一个三角形的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知,O分别是圆柱上､下底面圆的圆心,A,B分别是上､下底面圆周上一点,若,且直线与OB垂直,则直线AB与所成的角的正切值为( )
A.B.C.D.2
7．如图所示,为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得,,,,则塔高AB为( )
A.B.C.D.
8．如图,在平面四边形ABCD中,,,为等边三角形,当点M在对角线AC上运动时,的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数z满足,则( )
A.
B.z在复平面内对应的点位于第四象限
C.
D.
10．某学校为普及安全知识,对本校1000名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析,整理得到如图所示的频率分布直方图,根据该直方图,下列结论正确的是( )
A.图中x的值为0.020
B.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为130人
C.该校高一学生竞赛得分上四分位数估计大于80
D.该校高一学生竞赛得分的平均数估计为74.6
11．若平面上的三个力,,作用于一点,且处于平衡状态.已知,,与的夹角为,则下列说法正确的是( )
A.B.与的夹角为
C.与的夹角为D.
12．如图,在棱长为1的正方体中,G为面对角线上的一个动点(包含端点),则下列选项中正确的有( )
A.三棱锥体积为定值
B.线段上存在点G,使平面
C.当点G与点重合时,二面角的余弦值为
D.设直线与平面所成角为,则的最大值为
三、填空题
13．已知,,若,则______.
14．中岳嵩山是著名的旅游胜地,天气预报6月30日后连续四天,每天下雨的概率为0.6,利用计算机进行模拟试验,产生之间的整数随机数,假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨,6,7,8,9表示当天不下雨,每4个随机数为一组,产生如下20组随机数:
9533,9522,0018,7472,0018,3879,5869,3181,7890,2692,
8280,8425,3990,8460,7980,2436,5987,3882,0753,8935
据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为__________.
15．已知三角形中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则的取值范围是__________.
16．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动(如图甲),利用这一原理,科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体(如图乙),若勒洛四面体ABCD能够容纳的最大球的表面积为,则正四面体ABCD的棱长为______.
四、解答题
17．某校高一年级有学生1000人,其中男生600人,女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息,采用样本量比例分配的分层随机抽样,抽取一个容量为50的样本.
（1）求抽取男生､女生的人数;
（2）观测样本的指标值(单位:cm),计算得到男生样本的均值为170,方差为14,女生样本的均值为160,方差为34,求总样本的方差,并估计高一年级全体学生的身高方差.
18．如图,在直四棱柱中,,,,点E为的中点.
（1）求证:平面BDE;
（2）设F是直线上的动点,求三棱锥的体积.
19．如图,设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴,,分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量.若向量,则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标.设向量,在斜坐标系xOy中的坐标分别为,.
（1）求;
（2）求向量在向量上的投影向量在斜坐标系xOy中的坐标.
20．11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,各球的结果相互独立.已知在某局双方平后,甲先发球.
（1）若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为,求p的值;
（2）在（1）的条件下,求两人又打了4个球且甲获胜的概率.
21．在中,内角A,B,C的对边分别为已知,.
（1）求;
（2）若的面积为,且D为AC的中点,求线段BD的长.
22．三棱锥中,底面ABC为正三角形,平面ABC,E为棱BC的中点,且(为正常数).
（1）若,求二面角的大小;
（2）记直线AC和平面ADE所成角为,试用常数表示的值,并求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由复数,所以的虚部为.
故选:B.
2．答案：A
解析：由,可得,
,整理可得,
故选:A
3．答案：A
解析：由题意可知:一枚硬币有两个等可能结果:正面朝上,反面朝上,
两枚硬币有两个等可能结果:正正,正反,反正,反反,
事件“2枚硬币都是正面朝上”包含的情况为:正正,
事件“2枚硬币朝上的面相同”包含的情况为:正正,反反,
故,故①正确;②错误;
事件的对立事件为:正反,反正,反反,故③错误;
则,,,
所以,故④错误.
故选:A.
4．答案：D
解析：对于A,若,,则或,A错;
对于B,若,,,则或相交,B错;
对于C,若,,,则m,n相交或或m,n异面,C错;
对于D,若,,则或,当,又,可得;
当时,如图,平面内必然有一条直线设为l与n平行,由,则,
由面面垂直的判定可得,所以D正确.
故选:D.
5．答案：D
解析：取出3条线段的情况有,,,,,,
,,,,共10种,
不能构成三角形的有,,,,,,,
共8种,
故概率.
故选:D.
6．答案：B
解析：如图,过点B作圆柱的母线,交圆柱的上底面于点C,连接AC,,
则平面,
则,且,
所以四边形为平行四边形,所以,
因为,所以,
设,则,,,
因为平面,平面,所以,
则,
即直线AB与所成的角的正切值为.
故选:B.
7．答案：C
解析：在中,,,,
所以,
所以,
由正弦定理,
可得,
在直角中,因为
所以,
即塔高为.
故选:C.
8．答案：B
解析：由题意,,,
,所以,
所以,即平分,
由可得
,
所以当时,有最小值为.
故选:B
9．答案：ABD
解析：由,得,
则,故A正确;
z在复平面内对应的点为,位于第四象限,故B正确;
,故C错误;
,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：ACD
解析：由频率分布直方图性质可得:
,解得,故A正确;
得分不小于90的频率为,故得分不小于90的人数估计为人,故B错误;
得分介于50至80之间的频率为,
所以该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80,故C正确;
该校高一学生竞赛得分的平均数估计为,
故D正确.
故选:ACD
11．答案：AC
解析：如图所示,设,,分别为,,,
将向量进行平移,平移至,将反向延长至点D,
则,,
在中,由余弦定理得,,
所以,即,故A正确;
显然,在中,,即,
所以,
所以与的夹角,故B错误;
与的夹角,故C正确;
,故D错误
故选:AC
12．答案：ABD
解析：对于A,因为三棱锥的体积,
易得平面平面,平面,
所以G到平面的距离为定值DC,又为定值,所以三棱锥体积为定值,故A正确.
对于B,如图所示,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
设,所以,,
设平面,,,
则,取,则,,则,
要使平面,即,,此时,故B正确.
对于C,当点G与点重合时,此时,
设平面,,,
则,取,则,,则,
设平面,设二面角所成角为,
所以,
因为为锐二面角,,所以,故C不正确;
对于D,,,,
设平面,
设直线与平面所成角为,,
所以,
,
因为在上单调递增,
所以当取得最大值时,取得最大值,
当时,,此时,
所以,所以D正确
故选:ABD.
13．答案：或0.5
解析：因为,,,
所以,解得.
故答案为:.
14．答案：0.4或
解析：由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533,9522,0018,0018,3181,8425,2436,0753,共8组,
所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.
故答案为:0.4
15．答案：
解析：,
由余弦定理可得:,所以,
所以,所以,
所以,
所以,又因为,所以,
所以的取值范围是.
故答案为:
16．答案：或
解析：设正四面体ABCD的棱长为a,根据题意,勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切,如图,点E为该球与勒洛四面体的一个切点,O为该球球心,
由正四面体的性质可知该球球心O为正四面体ABCD的中心,
即O为正四面体ABCD外接球的球心(内切球的球心),
则BO为正四面体ABCD的外接球的半径,勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为OE,
连接BE,则B,O,E三点共线,此时,由题意,所以,
所以,
如图:
记M为的中心,连接BM,AM,由正四面体的性质可知O在AM上.
因为,所以,则,
因为,即,
解得,所以,解得,即正四面体ABCD的棱长为.
故答案为:
17．答案：（1）30;20
（2）方差为46,身高方差为
解析：（1）由题意,高一年级有学生1000人,其中男生600人,女生400人,
采用样本量比例分配的分层随机抽样,抽取一个容量为50的样本,
所以抽取男生人数为,女生人数为.
（2）记男生身高为,,…,,其均值记为,方差记为;女生身高为,,…,,其均值记为,方差记为,把总样本数据的均值记为,方差记为,
所以总样本的均值为,
总样本的方差为
,
所以总样本的方差为46,据此估计高一年级学生身高的总体方差为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）如图所示,分别取,CD的中点M,N,连接MN,EM,BN,
由题意得,且,且,
所以且,所以四边形EMNB是平行四边形,
所以,又因为,所以,
又因为平面BDE,平面BDE,所以平面BDE.
（2）由（1）平面BDE,
所以上任意一点F到平面BDE的距离都相等,所以,
由题意,,又,,平面,
所以平面,又,所以平面,即平面,
因为,
所以,
所以三棱锥的体积为.
19．答案：（1）3
（2）
解析：（1）由题可知:,,,
则.
（2）
记与的夹角为,
则向量在向量上的投影向量为,
所以向量在向量上的投影向量在斜坐标系xOy中的坐标为.
20．答案：（1）p的值为
（2）
解析：（1）由题意可知,甲先发球,两人又打了2个球该局比赛结束,
所对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”,
所以,
解得,即p的值为
（2）由题意可知,若两人又打了4个球且甲获胜,
所对应的事件为“前两球甲乙各得1分,后两球均为甲得分”,
因为甲发球时甲得分的概率为,乙得分的概率为,
乙发球时甲得分的概率为,乙得分的概率为,
所以
21．答案：（1）
（2）3
解析：（1）由正弦定理,可得,
即,
又因为,得,
所以;
（2）由（1）可知,
由,得,
所以,
得,,,
又因为,,
所以,
即线段BD的长为3.
22．答案：（1）
（2）;
解析：（1）底面ABC为正三角形,E为棱BC的中点,所以,
因为平面ABC,平面ABC,所以,
又因为BC,平面BCD,,所以平面BCD
又平面BCD,所以,
所以二面角的平面角是,
而,又,所以.
故二面角的大小为.
（2）在平面BCD内作,连接AH,
由平面BCD,平面ADE,
所以平面平面ADE,
又平面平面,平面BCD,
所以平面ADE,
所以直线AC和平面ADE所成的角,
在中,根据等面积法可得,
所以,
因为,所以,即,
所以即,
因为,所以,
所以直线AC和平面ADE所成角的取值范围为.