河南省开封市杞县等4地2023届高三下学期期末考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份河南省开封市杞县等4地2023届高三下学期期末考试数学（文）试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足,则( )
A.1B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.CD.
3．已知,,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4．已知,则( )
A.B.C.D.
5．水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：）.水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为，保护对象的设计喷雾强度W为时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据：）( )
A.4个B.5个C.6个D.7个
6．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别为3，6，9，则输出的结果为( )
A.3，6，9B.6，9，3C.9，6，3D.9，9，9
7．如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离,施工单位测得以下数据:两个山头的海拔高度,,在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为,N点的人仰角为,以及,则M,N间的距离为( )
A.B.120mC.D.200m
8．已知抛物线,圆,P为E上一点,Q为C上一点,则的最小值为( )
A.5B.C.2D.3
9．已知,分别为双曲线左,右焦点,过的直线l与E的左,右两支分别交于A,B两点.若是等边三角形,则双曲线E的离心率为( )
A.B.3C.D.
10．设,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
11．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
12．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则( )
A.为的一个周期
B.的值域为
C.的图象关于直线对称
D.曲线在点处的切线斜率为
三、填空题
13．已知实数x,y满足,则的最大值为______________.
14．已知平面向量,满足,且,则=_________________.
15．已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程______.
16．如图，在正四棱锥框架内放一个球O，球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切.若，且OP＝2，则球O的表面积为______.
四、解答题
17．无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：
（1）求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万元；
（2）经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为，若，则称这次宣传策划是高效的，否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家，求这3家卖场中至少有1家宣传策划高效的概率.
附：参考数据回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：，.
18．已知等比数列的公比,若,且,,分别是等差数列第1,3,5项.
（1）求数列和的通项公式;
（2）若求数列{}的前n项和.
19．如图，在正三棱柱中，为上一点，，，为上一点，三棱锥的体积为.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
20．已知椭圆的离心率为，直线与E交于A，B两点，当l为双曲线的一条渐近线时，A到y轴的距离为.
（1）求E的方程；
（2）若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N（O为坐标原点），连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为，求的最小值.
21．已知函数.
（1）若有两个不同的零点,求a的取值范围;
（2）若函数有两个不同的极值点,,证明:.
22．在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
（1）求C的直角坐标方程以及C与y轴交点的极坐标;
（2）若直线l与C交于点A,B,与轴交于点P,求的值.
23．已知关于x的不等式对任意实数x恒成立.
（1）求满足条件的实数a,b的所有值;
（2）若对恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：,
所以
故选:D.
2．答案：A
解析：由,得,所以,
因为,且,所以,
所以,所以.
故选:A.
3．答案：B
解析：若则或,故由p得不到q;
若则,所以由q可以推出p,故p是q的必要不充分条件.
故选:B.
4．答案：D
解析：.
故选:D
5．答案：C
解析：依题意，，，，，
由，，得，
所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.
故选：C
6．答案：C
解析：根据给定的程序框图知，当输入，，时，
第一次判断：满足判断条件，可得，，；
第二次判断：满足判断条件，可得，，；
第三次判断：满足判断条件，可得，，，
输出结果，，，即输出9，6，3.
故选：C.
7．答案：A
解析：由题意,可得,,,,,
且,
在直角中,可得,
在直角中,可得,
在中,由余弦定理得,
所以.
故选:A.
8．答案：B
解析：由题意知,,设,则,
所以,
故当时,,
所以.
故选:B.
9．答案：C
解析：由双曲线的定义,得,,
又,所以,
在中,
即,所以,即,
所以
故选:C.
10．答案：D
解析：因为,,,
所以令,由,
知当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
因为,,
所以,,即.
故选:D.
11．答案：A
解析：设，，，棱长均为1，
由题意，，，，
，，
，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A.
12．答案：B
解析：对于A，，故不为的一个周期，故A不正确；
对于B，令，且，
所以原函数变为，当时，，当时，，
又，所以，或，所以或，
所以的值域为[－1，1]，故B正确；
对于C，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
则，
又，故C不正确；
对于D，，所以，
故D不正确；
故选：B.
13．答案：1
解析：根据已知画出可行域(如图所示阴影部分),
移动直线,
当直线经过点A时,最小,即最大,
对直线,令,则,即,
故此时.
故答案为:
14．答案：
解析：由,得,
所以.
故答案为:
15．答案：或或.
解析：设圆的公切线为，，或
代入求解得：或
所以切线为：或或
故答案为：或或.
16．答案：
解析：在正四棱锥中，，则是正三角形，
于是，所以，
因为球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切，
则由对称性知，平面PAC截正四棱锥得等腰直角三角形，
截球O得球O的大圆，且圆O与直角边PA，PC都相切，如图，
显然OP平分角，因此球O的半径，
所以球O的表面积为.
故答案为：
17．答案：（1）；25万元
（2）
解析：（1），
，
所以，
，
所以.
令，解得（万元）.
故当宣传费用至少为25万元时，销售额能突破100万元.
（2）由题意知宣传策划是高效的仅有2家，记作a，b，余下的记作A，B，C，D.
所以从中取出3家，基本事件有：abA，abB，abC，abD，aAB，aAC，aAD，aBC，aBD，aCD，bAB，bAC，bAD，bBC，bBD，bCD，ABC，ABD，ACD，BCD，共20个，
其中至少含有1家宣传策划是高效的有：abA，abB，abC，abD，aAB，aAC，aAD，aBC，aBD，aCD，bAB，bAC，bAD，bBC，bBD，bCD，共16个，
故所求概率
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）因为,,分别是等差数列的第1,3,5项,所以,
又,所以得,所以且,
由可解得,,所以;
又,,故等差数列公差,
所以.
（2）由（1）知
令设数列{}的前n项和为,数列{}的前n项和为,则
因为
所以,
因为
所以
两式相减,得
所以
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：分别取AB，的中点O，F，连接CO，FO，EF，
为等边三角形，O为AB中点，；
平面ABC，平面ABC，；
又，，平面，平面；
O，F分别为AB，中点，，，
，解得：，
，，则，又，
四边形CEFO为平行四边形，，又平面，平面，
平面，平面平面.
（2）取中点M，连接，DM，
为等边三角形，M为，；
平面，平面，；
，，平面，平面；
，平面，平面，平面，
点D到平面的距离即为点到平面的距离，即；
，，又，，
；
又，，；
设点E到平面的距离为d，则，
解得：，即点E到平面的距离为.
所以，
设二面角的大小为，，
即二面角的正弦值为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设E的半焦距为c，则，所以，所以①，
不妨设，与联立得.
由题意得②，
①②联立并解得，
故E的方程为.
（2）设，，则，，，
所以直线AP的斜率，
直线AP的方程为，代入，得
，
所以，
，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取得最小值，且最小值为.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）的定义域为,且,
当时,,所以在上单调递增,不可能有两个零点,舍去.
当时,令,解得:,令,解得:,
在上单调递减,在上单调递增,
因为有两个不同的零点,则,解得,
当时,,,所以在上存在唯一的一个零点;
当时,取正整数,则,,
而,
当时,令,,
令,,所以在上单调递增,
,所以,
所以在上单调递增,,故
又,所以,于是,要使,
只需,即,
这样,当时,只需取正整数,则,又,
所以在上存在唯一的一个零点;
综上,.
（2）(),则.
因为有两个不同的极值点,(),则,,
要证,只要证,
因为,所以只要证,
又,,作差得,所以,
所以原不等式等价于要证明,即.
令,,则以上不等式等价于要证,.
令,,则,,
所以在上单调递增,,即,,
所以.
22．答案：（1）;,
（2）
解析：（1）由,得,即,
又,,所以,
化简可得,即C的直角坐标方程为.
易得与y轴交点的直角坐标为和,
对应的极坐标分别为,
（2）易知点P的直角坐标为,将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程,得,
显然,
设点A,B对应的参数分别为,,则,
显然,一正一负,
所以
23．答案：（1）,
（2）
解析：（1）当时,不等式化为,,
所以,①
当时,同理可得,②
联立①和②,解得.
而,时,原不等式为
显然恒成立,所以,.
（2）由（1）知,
所以
因为,所以,所以在上恒成立.
令,则.
因为,
当且仅当,即时等号成立,所以.
卖场
1
2
3
4
5
6
宣传费用
2
3
5
6
8
12
销售额
30
34
40
45
50
60