江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在等差数列中,已知,则( )
A.45B.60C 90D.180
2．已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．过点且平行于直线的直线方程为( )
A.B.C.D.
4．展开式中的系数为( )
A.7B.23C.－7D.－23
5．已知点在焦点为F的抛物线上,若,则( )
A.4B.8C.12D.16
6．已知,,若直线与曲线相切,则的最小值为( )
A.9B.12C.14D.16
7．文娱晚会中,学生的节目有5个,教师的节目有2个,如果教师的节目不排在第一个,也不排在最后一个,并且不相邻,则排法种数为( )
A.720B.1440C.2400D.2880
8．已知圆与x轴相交于A、B两点,且圆,点．若圆C与圆D相外切,则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在公比q为整数的等比数列中,是数列的前n项和,若,,则( )
A.B.数列的通项公式为
C.D.数列是公差为2的等差数列
10．已知为双曲线的左、右焦点,过的直线交双曲线C右支于P,Q两点,则下列叙述正确的是( )
A.若,则的周长为B.弦长的最小值为
C.点P到两渐近线的距离之积为D.点P与直线距离的最小值为1
11．甲箱中有2红球,3个白球和2个黑球,乙箱中有3个红球和3个黑球,先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中,再从乙箱中摸出2个球,分别用表示从甲箱中摸出的球是红球,白球和黑球的事件,用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．一个口袋内装有7只不同的白球和1只黑球,从口袋内取出3只球,其中必有1只黑球,则不同的取法共有___________种．
13．已知函数,,,当时,,则实数a的取值范围为_________．
14．设椭圆的上顶点为A,左、右焦点分别为,,连接并延长交椭圆C于点P,若,则该椭圆的离心率为_________．
四、解答题
15．已知递增的等比数列满足,且,,成等差数列．
（1）求的通项公式：
（2）设,求数列的前项和．
16．已知函数在处取得极大值．
（1）求a的取值集合;
（2）当时,求证：
17．如图,在四棱柱中,底面和侧面均是边长为2的正方形．
（1）证明：．
（2）若,求与平面所成角的正弦值.
18．已知．
（1）当时,若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等,求展开式中的系数;
（2）设．
①求系数（用n表示）：
②求（用n表示）．
19．已知双曲线的左,右焦点分别为,,离心率为2,点B为,直线与圆相切.
（1）求双曲线E方程;
（2）过的直线l与双曲线E交于M,N两点,
①若,求的面积取值范围：
②若直线l的斜率为k,是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P,使四边形PMQN为菱形？若存在,求出;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由题得.
故选：C.
2．答案：B
解析：当时,平面内的直线m不一定和平面垂直,但当直线m垂直于平面时,
根据面面垂直的判定定理,知两个平面一定垂直,故“”是“”的必要不充分条件．
3．答案：A
解析：设与直线平行的直线是,代入点得,得,所以直线方程是.
故选：A.
4．答案：A
解析：的展开式通项为,,
的展开式通项为,,
所以的展开式中的系数为
.
故选：A.
5．答案：B
解析：抛物线的准线方程为,
由,点在物线上,
所以,
故选：B.
6．答案：D
解析：由题意可得：的导数为,
设切点为,切线斜率,
则在该点的切线方程为,
即,
由题意可得,整理得,
则,
当且仅当时取等号,
故的最小值为16.
故选：D.
7．答案：B
解析：由题意可知,先将学生的节目全排列有种排法,
然后对教师节目进行插空有种排法,
所以满足题意的排法种数为种.
故选：B.
8．答案：B
解析：圆的圆心,半径为r,
圆的圆心,半径为3,
因为圆C与圆D相外切,所以,所以,
且圆D与x轴交于,,不妨记,,
因为圆C关于y轴对称,点与点关于y轴对称,点在y轴上,
由对称性不妨令,
当时,则,解得,
故
,
当时,则,解得,
此时,,
故,
当时,则,解得,
故
,
综上所述,的最大值为.
故选：B.
9．答案：AB
解析：在等比数列中,,由得或,
而公比q为整数,于是得,,,
,A正确;
,B正确;
,C错误;
,即数列是公差为1的等差数列,D错误,
故选：AB．
10．答案：ABC
解析：如图,双曲线的渐近线方程为.
对于A项,因,又,
则的周长为
,故A项正确;
对于B项,不妨设直线的直线方程为,与双曲线方程联立,
消去x,整理得：,,
设,,则,显然,故,
则弦长
,
因,则,故,
即时,弦长的最小值为,故B项正确;
对于C项,设到双曲线两渐近线的距离分别为,,
则,因,故得,故C项正确;
对于D项,因双曲线的渐近线与直线平行,
而点到渐近线的距离大于零,且趋近于零,
因渐近线与直线的距离为,
故点到直线距离大于1,故D项错误.
故选：ABC.
11．答案：ACD
解析：因为,,,故A正确;
若发生,则乙箱中有4个红球和3个黑球,所以,
若发生,则乙箱中有3个红球,1个白球和3个黑球,
所以,故B错误;
若发生,则乙箱中有个红球和个黑球,所以,故C正确;
所以
,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：21
解析：由题从口袋内取出3只球必有1只黑球取法共有种.
故答案为：21.
13．答案：
解析：因为,所以,
所以为奇函数.
任取,,所以,
所以,等价于,
即,
令函数,所以任意,,,,
所以在R上不存在单调减区间.
又因为,,
所以对恒成立,
所以对恒成立,
因为的最小值为-2,
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：依题意,,由,
得：,而,
于得,
令椭圆半焦距为c,有,如图,
在中,由余弦定理得：,
即,整理得,
因此,解得,
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,成等差数列,所以,即,
又,所以,,所以通项公式为,;
（2）由（1）可知, 则,
所以
．
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）,定义域,
由得,,,因为当时,取极大值,
所以,即;
（2）由（1）得,在上单调递减,在上单调递增,
所以,
则,
令,
则,
因为,所以恒成立,即在是递增,
所以,
所以,
即时在上恒成立.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接,因为底面和侧面均为正方形,
所以,则四边形为菱形,则,
由底面和侧面均为正方形,得．
因为,,平面,所以平面,
又平面,所以．
因为,,平面,所以平面,
又平面,所以.

（2）因为平面ABCD和平面均为正方形,所以,,
又,,平面,所以平面,
又因为,则,所以为正三角形,
取中点E,连接AE,则,
以A为原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
由题意得,,,,,
所以,,
设平面的法向量为,则,
令,则法向量,
设与平面所成角为,
则,
所以与平面所成角的正弦值．
18．答案：（1）84
（2）①;②
解析：（1）由题,所以,所以,所以,
由,即展开式中的系数为84;
（2）由题意得,,
①
;
②,对等式两边同时求导,
得,
即,
令,得,
即,
则,
则,
所以．
19．答案：（1）
（2）①;②不存在,理由见解析
解析：（1）,圆：,因为直线与圆相切,
所以圆心到直线的距离为,
即,即,又,且,
所以,,,所以双曲线E的标准方程为;
（2）①设直线l的方程为,
代入,得,
设,,所以,,
则,
因为,所以,所以
即,所以,
令,所以,
又因为在上递减,所以：
②假设存在P,Q两点,使得四边形PMQN为菱形,直线l的方程为,
联立,得,
所以,
由题,设MN的中点为,
,
所以PQ的直线方程：,
所以,,因为Q在双曲线上,
所以,即,
令,即,即,
即,所以,即,与题意不符,
因此不存在P、Q两点,使得四边形PMQN为菱形.