咸阳市实验中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份咸阳市实验中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．现有科普类读物4本,艺术类读物3本,每本图书各不相同,若要将这些图书摆在同一层空书架中,则不同的摆放方法数为( )
A.12B.64C.81D.5040
2．某区高三年级1000名学生参加了区统一考试,考试成绩X服从正态分布.统计结果显示,考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为( )
A.100B.200C.400D.800
3．已知随机变量,分别服从二项分布,,若,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
4．已知现需派6名专员去A,B,C共3个单位进行慰问,每个单位去两人,其中专员甲不去A单位的派法种数为( )
A.30B.60C.120D.180
5．已知函数在上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．围棋起源于中国,据先秦典籍世本记载：“尧造围棋,丹朱善之”,至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智,而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联,蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛最后,中国队有两名选手a、b,日本队一名选手c,韩国队一名选手d,规定a与c对阵,b与d对阵,两场比赛的胜者争夺冠军,根据以往战绩,四位选手之间相互获胜的概率如下：
则最终中国队获得冠军的概率为( )
7．已知函数,均是在R上的偶函数,且当时,,则( )
A.为奇函数
B.,
C.当时,
D.当时,
8．已知函数有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若展开式中各项系数的和为1,则下列结论正确的有( )
A.a的值可能为3B.展开式的常数项为1120
C.展开式中第4项的二项式系数最大D.展开式系数的绝对值之和可能为
10．有A,B两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得分,否则得0分.已知小明能正确回答类问题的概率为,能正确回答类问题的概率为,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.为使累计得分的期望最大,下列哪些条件下小明应选择先回答A类问题( )
A.且B.
C.且D.
11．若函数极大值为M,极小值为m,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．随机变量的分布列如表所示,且,则______________.
13．有30件产品,其中有10件次品,从中不放回地抽取10件产品,最可能抽到的次品数是_____________.
14．数字波是由0和1组成的脉冲信号序列,某类信号序列包含有n个数字0和n个数字1,且每个数字0之前1的个数多于0的个数.当时,这样的信号序列有_____________种.
四、解答题
15．已知6件不同的产品中有2件次品,4件正品,现对这6件产品一一进行测试,直至确定出所有次品则测试终止.（以下请用数字表示结果）
（1）若恰在第2次测试时,找到第一件次品,且第4次测试时,才找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试情况？
（2）若至多测试4次就能找到所有次品,则共有多少种不同的测试情况？
16．已知.
（1）若,求的值;
（2）若,求的值;
（3）用只含有n的式子表示.
17．某足球队为评估球员的场上作用,对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置,根据过往多场比赛,其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
（1）当甲出场比赛时,求球队赢球的概率;
（2）当甲出场比赛时,在球队获胜的条件下,求球员甲担当前卫的概率;
（3）如果你是教练员,将如何安排球员甲在场上的位置?请说明安排理由.
18．某群体有4000人,假设携带乙肝病毒的占,某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者,如果对每个人的血样逐一化验,就需要化验4000次.为减轻化验工作量,统计专家给出了一种化验方法:随机按照k个人进行分组,将各组k个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性,说明这k个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就需对该组每个人的血样再分别化验一次.假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.设每人血样单独化验一次的费用为10元,k个人混合化验一次的费用为元.
（1）若,,记每人血样化验的费用为X元,求X的数学期望;
（2）若,求当取何值时,每人血样化验费用的数学期望最小,并估计化验总费用.
参考公式:.
19．设函数的定义域为开区间I,若存在,使得在处的切线l与的图象只有唯一的公共点,则称为“L函数”,切线l为一条“L切线”.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）判断（1）中所求切线是否是函数的一条“L切线”,并说明理由;
（3）当时,求证：函数为“L函数”.
参考答案
1．答案：D
解析：根据题意可知：即把7本不同的书全排列,
所以不同的摆放方法数为.
故选：D.
2．答案：A
解析：因为,且考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,
由总体密度曲线的对称性可知：成绩在的学生概率为,
所以成绩不低于120分的学生概率为,
即成绩不低于120分的学生人数约为：.
故选：A.
3．答案：C
解析：依题意,,,而,
因此,AB错误,C正确;
又,D错误.
故选：C.
4．答案：B
解析：专员甲不去A单位的派法种数为.故选：B.
5．答案：C
解析：因为,且.
所以,由且.
又在上单调递减,所以或,
即或.
故选：C.
6．答案：C
解析：中国队获得冠军共分为三种情况：
a与c对阵a赢,b与d对阵b赢,a与b对阵无论谁赢中国队都是冠军,设这种情况为事件,则根据独立事件的概率计算公式可得;
a与c对阵a赢,b与d对阵d赢,a与d对阵a赢,设这种情况为事件,则根据独立事件的概率计算公式可得;
a与c对阵c赢,b与d对阵b赢,c与b对阵b赢,设这种情况为事件,则根据独立事件的概率计算公式可得;
设中国队获得冠军为事件A,则由互斥事件的概率计算公式可得：．
故选：C.
7．答案：D
解析：对A：因为为偶函数,所以,
两边求导,得：,
所以为奇函数,同理也是奇函数,
所以为偶函数.故A错误;
对B：设,
则当时,,所以在上单调递增.
因为在上单调递增,但不能确定的符号,故B错误;
对C：当时,
,故C错;
对D：当时,
,故D正确;
故选：D.
8．答案：B
解析：因为,.
所以,.
由.
若,则在上恒成立,所以在上单调递增,那么函数不可能有两个零点;
若,由,即在单调递增,在上单调递减,
且当时,,当时,.
所以函数有两个零点,
只需.
故选：B.
9．答案：AD
解析：令,根据展开式中各项系数的和为1,可得或.
故A正确;
对B：展开式的常数项为.
当时,常数项为;当时,.故B错;
对C：因为,所以展开式的第5项的二项式系数最大.故C错;
对D：在中,令,可得原展开式系数的绝对值之和为,当时,展开式系数的绝对值之和为.故D正确.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：若先回答A类问题由题意可知：得分X的所有可能取值为0,M,,
;;,
所以X的分布列为：
故,
若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,
则Y的所有可能取值为0,N,,
;;,
所以Y的分布列为：
所以,
若小明选择先回答A类问题,欲使,
解得,即,故选项D正确,选项B错误;
当且,显然有成立,故选项A正确;
当且,有,即,故选项C正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：函数的定义域为,
所以,
因为函数既有极大值也有极小值,
则函数在上有两个不等实根,且 ,
所以方程有两个不等的正数根,,
所以,所以,,,故BC正确;
所以,故,故A错误;
所以
,故D错误.
故选：BC.
12．答案：1.5或
解析：由题意可得：,解得,
所以.
故答案为：1.5.
13．答案：3
解析：由题意,有30件产品,其中有10件次品,从中不放回地抽取10件产品,
则抽出的次品数X服从超几何分布,
则抽到的次品数的数学期望,
由次品数的实际意义,最可能抽到的次品数是.
故答案为：3.
14．答案：14
解析：根据题意可知第一位只能是1,最后一位只能是0,
符合题意的序列分别为：
11011000;11010100;11010010;11001100;11001010;
10111000;10101100;10110100;10101010;10110010;
11101000;11100100;11100010;11110000,共计14个,
故答案为：14.
15．答案：（1）24
（2）114
解析：（1）需测试4次,按顺序可看作为4个位置,
两件次品置于第二,四位,有放法数;
其余二个位置放二个正品,有放法数
由乘法原理方法数为：种不同的测试情况;
（2）至多4次可分为恰好2次,恰好3次,恰好4次找到所有次品,
恰好2次,即前2次测试都是次品,方法数为;
恰好3次,即第3次是次品,前2次中有1次是次品,方法数为;
恰好4次,即第4次是次品,前3次中有1次是次品,方法数为;
也可以是前四次全是正品,方法数为
故共有种不同的测试情况
16．答案：（1）-10206
（2）262144
（3）
解析：（1）的展开式的通项为（且）,
,即且k为奇数,
所以,即,即,解得或（舍去）,
.
（2）令可得,
令可得,
;
（3）因为,
两边对x求导得:,
令可得.
17．答案：（1）0.64;
（2）;
（3）应多安排甲球员担任前卫,来增大赢球的几率,理由见解析;
解析：（1）设表示“甲球员担当边锋”,表示“甲球员担当前卫”,表示“甲球员担当中场”,B表示“球队赢了某场比赛”,
则
,
球队某场比赛赢球的概率为0.64.
（2）由（1）知,
,
球员甲担当前卫的概率.
（3）同（2）,
,
由于,
应多安排甲球员担任前卫,来增大赢球的几率.
18．答案：（1）2.5（元）;
（2）,4800元
解析：（1）每人血样化验的费用为X元,
若混合血样呈阴性,则,
若混合血样呈阳性,则,
,,
2.5.
的数学期望为2.5（元）.
（2）设每组k人,每组化验总费用为Y元,
若混合血样呈阴性,则;
若混合血样呈阳性,则,
且,
,
,
则每人血样化验的费用为
,
当且仅当,即时取等号,
即100个人一组,每人血样化验费用的数学期望最小,
此时化验总费用估计为（元）.
19．答案：（1）
（2）不是,理由见解析;
（3）证明见解析.
解析：（1）,,
,
所求切线方程为,即.
（2）中所求切线不是函数的一条“L切线”.
理由如下：
假设切线是函数的一条“L切线”,
则方程,即只有一个解.
记函数,则只有一个零点.
（方法一）,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
的极大值为,极小值为,
又时,,
函数有两个零点,这与其只有一个零点矛盾.
切线不是函数一条“L切线”.
（方法二）,
函数至少有两个零点,这与其只有一个零点矛盾.
切线不是函数的一条“L切线”.
（3）证明:由（1）知,
设,,
在处的切线方程为,
即,
只需方程,
即只有一个解,
令,
则,
令,则,
取,则,
,单调递增,又,
函数只有一个零点,即只有一个解,
函数为“L函数”
a
b
c
d
a获胜概率
/
0.5
0.6
0.8
b获胜概率
0.4
/
0.5
0.6
c获胜概率
0.4
0.5
/
0.4
d获胜概率
0.2
0.4
0.6
/
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.2
0.5
0.3
球队胜率
0.5
0.6
0.8
X
0
M
P
Y
0
N
P