精品解析：重庆市大渡口区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

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1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的定义进行判断即可．
【详解】A．是整式，不符合题意；
B．是整式，不符合题意；
C．是分式，符合题意；
D．是整式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的定义，即一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3. 下列变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、中，是整式乘法，故本选项不符合题意；
B、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
C、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
4. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件（即分母不为零）可得，进而得出答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件即为分式的分母不为零是解本题的关键．
5. 如果一个多边形的每一个内角都是135°，那么这个多边形的边数是（ ）
A 5B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数．
【详解】多边形的边数是：n＝＝8，即该多边形是八边形．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
6. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到．若点恰好在线段BC的延长线上，且，则旋转角的度数为（ ）
A. 60°B. 70°C. 100°D. 110°
【答案】C
【解析】
【分析】旋转得全等，即角等和边等，得出等腰三角形，直接代值求解即可．
【详解】绕点按逆时针方向旋转，得到
，，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题关键是推出等腰三角形．
7. 已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质对选项进行判断即可．
【详解】解：A、已知，则，不等式成立，不符合题意；
B、已知，则，不等式成立，不符合题意；
C、已知，则，原不等式不成立，符合题意；
D、已知，则，原不等式不成立，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知：1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；2、不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3、不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．是解本题的关键．
8. 如图，四边形的两条对角线相交于点，下列选项中的条件能判定四边形是平行四边形的是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A. ，, 不能判定四边形 是平行四边形，不符合题意；
B. ，, 不能判定四边形 是平行四边形，不符合题意；
C. ，, 不能判定四边形 是平行四边形，不符合题意；
D. ，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9. 如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：当x＞2时，y＜0．
所以关于x的不等式kx+3＜0的解集是x＞2．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10. 若，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，的“友好数”是．下列说法
①4的“友好数”是；
②若实数a的“友好数”与其倒数相等，则；
③已知，是的“友好数”，是的“友好数”，…，依此类推，则．以上说法中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】运用定义对各选项进行计算、推导、辨别．
【详解】解：，
的“友好数”是,
说法①符合题意；
解方程，
解得：，经检验是该方程的根，
实数a的“友好数”与其倒数相等，则，
说法②符合题意；
，
，
，
，
，
按照3，，，，3，4次一循环周期的规律出现，
，，
，，
，
说法③不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了按照新定义解决数字变化类规律问题的能力，分式．关键是能准确理解、运用定义进行计算、推理、归纳的能力．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 将点向下平移4个单位长度，得到点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“向下平移，横坐标不变，纵坐标减”可得答案．
【详解】点向下平移4个单位长度得到，即可得到
∴点Q的坐标为
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化--平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，熟练掌握其规律是解决此题的关键．
12. 如图，把标有序号①、②、③、④、⑤、⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是轴对称图形，那么该小正方形的序号可以是______（填一个即可）．

【答案】②（③或④或⑤）
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：把标号②或③或④或⑤涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是轴对称图形．
故答案为：②（③或④或⑤）．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
13. 若关于的方程的解是，则______ ．
【答案】
【解析】
【分析】把方程的解代入方程得关于的一次方程，求解即可．
【详解】解：把代入方程，得，
解得．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了方程的解，掌握分式方程的解的意义及一元一次方程的解法是解决本题的关键．
14. 已知，，则代数式的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】将所求式子因式分解，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解应用，解题的关键是掌握提公因式法和整体思想．
15. 已知等腰三角形的两条边长分别是8和3，则此等腰三角形的周长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】将8和3分别作腰分类讨论即可．
【详解】解：当8为腰时，三边为：8，8，3，
则周长为，
当3为腰时，三边为：8，3，3，
根据三角形三边关系：，
故不能构成三角形．
故答案为：
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，相关知识点有：三角形三边关系，准确分类讨论是解题关键．
16. 如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，所有符合条件的的和是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式组的解法及分式方程的解法求解即可得到答案．
【详解】解：
由①得；由②得；
关于的不等式组的解集为，
；
由，解得，
关于的分式方程有非负数解，
，且，
，；
综上所述，，
关于的分式方程有非负整数解，
或或，
所有符合条件的的和是，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组及分式方程求参数，熟练掌握一元一次不等式组的解集求法及分式方程解法是解决问题的关键．
17. 如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在，处，且经过点B，交于点G，连接，若平分，，，则的度数是______．

【答案】
【解析】
【分析】设，由折叠的性质得，①，再根据平行线的性质得到②，，通过计算即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
设，

∵，
∴，
根据折叠的性质得，，
∵，
∴①，
∵，
∴②，
得，即，
由平角的性质得，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题关键是利用参数构建方程解决问题．
18. 一个四位自然数m，若它的千位数字比十位数字大2，百位数字比个位数字大1，则称m为“倍差数”．例如：最小的“倍差数”为______；将“倍差数”m千位数字与个位数字之和记为s，百位数字与十位数字之和记为t，当m能被3整除时，求的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据“倍差数”的定义求解即可．
【详解】设四位自然数m，若它的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则，
由“倍差数”的定义可得，则
∴
∴
∴，
∴当时，最小，此时
∴最小的“倍差数”为；
由题意得：，，
∴，
∴当最大时，的最小
∵能被3整除，
∴可以取3，6，9，12，15，
∴当时，有最小值，最小值，
故答案为：，．
【点睛】本题考查整式的加减，新定义“倍差数”的运用，通过定义得到对应的数位间的关系，通过推导和讨论，得到最后最小值．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共7分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19. （1）因式分解：
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）利用分式的除法法则进行计算即可．
【详解】（1）
解：原式
；
（2）
原式
．
【点睛】本题考查因式分解和分式的化简，熟练掌握因式分解的方法及分式的运算法则是解题的关键．
20. 我们知道，等腰三角形的三线合一这个性质，小刚在探索“已知等腰三角形和顶角的平分线，则这条平分线垂直平分底边”，他的思路是：如图，在中，，作的平分线AD交BC于点D，然后证明，则可得结论．请根据小刚的思路完成下面的作图和填空．
证明：用直尺和圆规，作的平分线AD交BC于点D（只保留作图痕迹，不写作法）
∵AD平分，
∴ ① ，
在和中
∴ ④ ，
∴，，
∵，
∴ ⑤ ，即．

【答案】图见解析，①；②；③；④；⑤
【解析】
【分析】运用判定，于是，根据平角的定义，求得，得证结论．
【详解】解：如图，作的平分线AD交BC于点D；
① ②，③ ④，
⑤
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，运用全等三角形判定角相等是解题的关键．
21. （1）解不等式组
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）分别求得每个不等式的解集，即可求解；
（2）将分式方程化整式方程，求解即可．
【详解】解：（1）
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解为．
（2）解方程：．
方程两边同乘，得
解得：
检验：当时，分式方程最简公分母，
∴原分式方程的解为
【点睛】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解，解题的关键是熟练掌握相关求解方法．
22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、．
（1）将先向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到，请在原直角坐标系中画出，并写出、、的坐标；
（2）若与关于原点O成中心对称，请写出、、的坐标，并在原直角坐标系中画出．
【答案】（1）见解析；，，
（2）见解析；，，
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
【小问1详解】
如图：即为所求，，，
【小问2详解】
∵与关于原点成中心对称，
∴，，
如图：即为所求
【点睛】本题考查作图——平移变换、中心对称，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
23. 某果品店用1500元购进了一批百香果，过了一段时间，又用3500元购进了第二批百香果，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱百香果的价格比第一批的价格贵了5元．
（1）该店第一批购进的百香果有多少箱？
（2）若该店两次购进的百香果按相同的价格销售，全部售完后总利润不低于1150元，则每箱百香果的售价至少是多少元？
【答案】（1）50箱 （2）41元
【解析】
【分析】（1）设该店第一批购进的百香果有x箱．列方程求解即可；
（2）计算出第一批购进的单价和第二批购进的单价，设每箱百香果的售价是m元，根据题意，得：求解即可；
【小问1详解】
解：设该店第一批购进的百香果有x箱．
依题意得，
解得
经检验，是原方程的根．
答：设该店第一批购进的百香果有50箱．
【小问2详解】
第一批购进的单价为：（元），第二批购进的单价为：（元），
设每箱百香果的售价是m元，根据题意，得：
解得：
答：每箱百香果的售价至少是41元．
【点睛】本题主要考查分式方程应用、不等式的应用，根据题意正确列出关系式是解题的关键．
24. 在平行四边形中，，，，点P从A点出发，沿着做匀速运动，到达点D时，停止运动，过点P作，交直线于点Q，设点P的运动路程为x，线段的长为y（点P与点A，D重合时，的长为0）．

（1）请直接写y与x的间的函数表达式，注明自变量x的取值范围，并在给出的平面直角坐标系中画出y的函数图象；
（2）请写出函数y的一条性质；
（3）结合图象，在点P的运动过程中，当线段的长时，自变量x的取值范围为______．
【答案】（1），图见解析
（2）当时，y随x增大而增大，当时，，当时，y随x增大而减小
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半即可得出与之间的关系式；当时，过点作于点，先利用直角三角形的性质求出的长，再证四边形是平行四边形，即可得出；当时，根据平行四边形的性质得出，然后求出的长，从而利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半即可得出与之间的关系式；根据与之间的关系式画出图象即可；
（2）根据图象写出一条性质即可；
（3）根据函数图象直接得出答案即可．
【小问1详解】
解：如图1，当时，

，
，
，
，
由题意得，，，
；
如图2，当时，过点作于点，

，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
即；
如图3，当时，

四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
由题意得，，
；
综上，，
图象如图，
【小问2详解】
当时，随的增大而增大，当时，，当时，随的增大而减小（答案不唯一）；
【小问3详解】
当时，由图象可知当时，；
当时，由图象可知当时，；
当线段的长时，自变量的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，有关动点问题的函数解析式，利用分类讨论思想正确列出函数解析式并画出函数图象，再利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．

（1）求m的值及一次函数表达式；
（2）如图2，若点P是x轴上的一个动点，连接PB，PC，当最小时，求的最小值及此时点P的坐标；
（3）将（2）问中最小时的P点向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得点M，点N是坐标平面内的一个点，当以点A，M，N，B为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点N的坐标，并选其中一个写出求解过程．
【答案】（1）2，
（2），
（3）或或
【解析】
【分析】（1）将点代入可得m的值，进而求得，再将点、代入，进而求得一次函数表达式；
（2）先求点，作点B关于x轴对称点，则点，连接交x轴于点，当点P与点重合时，值最小，最小值为线段的长，可求出，，然后由勾股定理可求得线段的长，进而得值最小值，根据可求得的长，即得点P坐标；
（3）先求得，再分三种情况进行讨论：①当为平行四边形对角线时，先由中点坐标公式求出点E坐标，进而求出点N坐标；②当、均为平行四边形一边时，③当为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式可求得点N坐标．
【小问1详解】
解：将点代入可得：，
点 ，
将点、代入，
得：，
解得：，
一次函数表达式为：；
故：，一次函数表达式为：；
【小问2详解】
解：对于，当时，，
，
作点B关于x轴对称点，则点，连接交x轴于点，连接、，过点C作轴于点D，当点P与点重合时，值最小，最小值为线段的长，

理由如下：
点B、关于x轴对称，
，，
，，
根据两点之间线段最短得：
，
当点P与点重合时，值最小，最小值为线段的长，
，，
，，，
，
在中，，，
，
最小值为，
，
，
，即，
，
点坐标为，
当值最小时，点坐标为．
【小问3详解】
解：符合条件的点N的坐标：或或
理由如下：
由（2）可知：点坐标为，
由平移性质得，设点N坐标为，
以点A，M，N，B为顶点的四边形是平行四边形，
有以下三种情况：
①当为平行四边形对角线时，连接交于点E，则点E是、的中点，

，，
由中点坐标公式得：点E横坐标为：，纵坐标为，
点，
又，
，，
解得：，，
；
②当、均为平行四边形一边时，

同理得：；
③当为平行四边形对角线时，

同理得：
综上所述，符合条件的点N的坐标为：或或．
【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数图象、点的坐标平移、平行四边形性质等知识，解决（1）关键是掌握待定系数法求函数表达式，解答（2）关键是利用轴对称求最短路线，解答（3）关键是分类讨论，漏解是解答此题易错点之一．
26. 如图，在中，，D是边上一点，连接，过点C作交于点E．

（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，在上截取，连接交于点G，求证：．
（3）如图3，若，点M是直线上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，点P是线段的中点，点Q是线段上一个动点，连接，，当最小时，请直接写的面积．
【答案】（1）的长为
（2）见解析 （3）的面积为
【解析】
【分析】（1）设，则可得方程，从而得出，所以，然后运用勾股定理即可解答；
（2）如图：作交的延长线于点H，再证，从而得出，进而证明可得，即；最后根据等量代换即可证明结论；
（3）如图：作，截取，连接，连接，
，再证，从而得出，可得点在上，作点P关于的对称点，作交于点，则当在R处，点Q在处，最小，可求得的值，可得出，从而，进而完成解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴；
∴；
【小问2详解】
解：如图：作交的延长线于点H，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
【小问3详解】
解：如图：作，截取，连接，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在上，
作点P关于的对称点，作交于点，

则当在R处，点Q在处，最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、旋转的性质等知识点，作辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键．