精品解析：重庆市江津区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

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一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即可求解．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故A错误；
B、，不是最简二次根式，故B错误；
C、，不是最简二次根式，故C错误；
D、是最简二次根式，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的特点是解题的关键．
2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案．
【详解】解：根据函数的概念，可知对于自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．C项，当x取大于0的实数时，y有两个值与之对应，故C不能表示y是x的函数．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
3. 某市规定学生的学期体育成绩满分为50，其中课堂表现占，期中成绩占，期末成绩占，小赵的三项成绩依次为40，50，45，则小赵这学期的体育成绩为（ ）
A. 44B. 44.5C. 45D. 45.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算方法，即可求出小彤这学期的体育成绩．
【详解】解：
∴小赵这学期的体育成绩为44.5分．
故选：B．
【点睛】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键．
4. 在中，、、的对边分别为a、b、c．下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，设，，，
则，故不是直角三角形；
B、∵，故是直角三角形；
C、∵，且，
∴，即，故是直角三角形；
D、∵，设，，，
则，解得，
∴，故是直角三角形；
故选：A．
【点睛】题考查了勾股定理的逆定理，及三角形内角和定理，熟记定理并应用是解题的关键．
5. 估计的值应在（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】B
【解析】
【分析】先计算二次函数的乘法运算可得结果为，再估算的范围即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查是二次根式的乘法运算，无理数的估算，掌握“无理数的估算的方法”是解本题的关键．
6. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（ ）

A. 5s时，两架无人机都上升了50mB. 10s时，两架无人机的高度差为20m
C. 乙无人机上升的速度为D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是100m
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象分别判断即可．
【详解】解：A、5s时，甲无人机上升了50m，乙无人机上升了m，故错误，符合题意；
B、10s时，两架无人机的高度差为 m，故正确，不符合题意；
C、乙无人机上升的速度为，故正确，不符合题意；
D、10s时，甲无人机距离地面高度是100m，故正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象的意义是解题的关键．
7. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的判定方法得出A、B、C正确；即可得出结论．
【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵一组对边且相等的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D不正确．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法：熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
8. 如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中共有正方形的个数是（ ）

A. 31B. 32C. 63D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形，可以得到正方形个数的变化特点，从而可以得到图⑤中正方形的个数．
【详解】解：由图可得，
第①个图形中正方形的个数为：，
第②个图形中正方形的个数为：，
第③个图形中正方形的个数为：，
…
则第⑤个图形中正方形的个数为：，
故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现正方形个数的变化特点，求出图⑤中正方形的个数．
9. 如图，正方形中，，E在上，，将沿折叠至，延长交于G，连接，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由正方形的性质得到，进而求出，由折叠的性质得到由折叠的性质可得，证明得到，设，则，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键．
10. 在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（ ）个．
①若a是的小数部分，则的值为；
②若（其中b、c为有理数），则；
③．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③．
【详解】解：由题意得：，
∵，是的小数部分，
∴，则，故①正确；
∵，
∴，
即
∴，即，
∵b、c为有理数
∴，解得，
∴，故②正确；
∵
，
∴
，故③正确，
故正确的有①②③，共3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题干所给方法进行解决问题是解题关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．
12. 已知函数是正比例函数，则的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据正比例函数的定义，可得，即可求解．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（为常数，的次数为，且），那么就叫做正比例函数．
13. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛的成绩（平均数和方差）：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则选择_____较适宜．
【答案】丁
【解析】
【分析】先比较平均数，然后根据方差较小的，成绩更稳定，即可求解．
【详解】解：∵乙与丁的成绩的平均数大于甲和丁的成绩，
∴乙与丁成绩较好，
又∵丁的成绩的方差比乙的小，
∴丁的成绩更稳定，
∴选择丁参加比赛．
故选：丁．
【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
14. 如图，菱形的周长为16，，点E、F分别为、的中点，则EF的长度为_____．

【答案】
【解析】
【分析】先根据菱形的性质得出，由的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，然后证明为的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果．
【详解】∵四边形是菱形，周长为16，，
∴，，
∴，
∴，
∵点、分别为、的中点，
∴为的中位线，
∴．
故答案是： ．
【点睛】考查了菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质以及三角形中位线定理；根据勾股定理求出和证明三角形中位线是解决问题的关键．
15. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是_____．

【答案】
【解析】
【分析】利用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象得，当时，，
即关于的不等式，的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16. 如图，在矩形中，，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，连接，G为的中点，连接，则线段的长度为_____．

【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质可得，，进而得，，由可得，，进而可得，，可知，由勾股定理可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
则，，
∵，则，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵G为的中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用矩形的性质得到是解决问题的关键．
17. 若一次函数，y随x的增大而增大，且关于z的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数m的值之和是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意和一次函数的性质、求分式方程的解，可以得出的取值范围，再写出符合要求的的整数值，再计算即可．
【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而增大，
∴，解得，
解分式方程得，，
∵分式方程有正整数解，
∴且，
解得且，
综上所述，的取值范围为且，，
∴的整数值为，1，3，
则，
故答案为：3．
【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系、解分式方程、解一元一次不等式，解决本题的关键是明确题意，求出的取值范围．
18. 一个各位数字均不为0且互不相等的四位数，若千位上的数字与百位上的数字之和与十位上的数字与个位上的数字之和的积等于60，则称这个四位数为“六顺数”，例如，对于四位数1537，∵，∴1537为“六顺数”，则最小的“六顺数”是_____；若，，记．若N是一个“六顺数”，且是一个完全平方数，则满足条件的N的最大值为_____．
【答案】 ①. 1369 ②. 9613
【解析】
【分析】根据“六顺数”的定义即可求出最小的“六顺数”；根据题意用表示这个四位数，根据定义推出，，根据是一个完全平方数，得到或，进而列出所有满足条件的不同，时，可得不同情况下所有最大可能的值，即可求解．
【详解】解：设是“六顺数”，则，，，，则
要使最小，则，
当时，，不符合题意，
当时，，则，，，，
最小的“六顺数”为：1369；
设，
∵N是一个“六顺数”， 则，，，
∴，，
∵，
即：，
整理得：，
又∵是一个完全平方数，即：是一个完全平方数，
故或，
要使得越大，只需使得千位越大，其次是百位，十位，个位，
当时，
①，，此时，故，此时最大的；
②，，此时，故，此时最大的；
③，，此时，故，不符合题意；
④，，此时，故，此时最大的；
⑤，，此时，故，此时最大的；
⑥，，此时，故，不符合题意；
⑦，，此时，故，不符合题意；
当时，，，此时，故，此时最大的；
综上，的最大值为9613；
故答案为：1369，9613．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是通过且是一个完全平方数，结合进行推算，得到可能性最大的数值．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，化简绝对值，然后合并即可；
（2）先用完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后再进行加减运算，结果化为最简二次根式．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，在运算过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待，结果化为最简二次根式．也考查了二次根式的性质，完全平方公式和平方差公式．掌握二次根式的运算法则、性质和乘法公式是解题的关键．
20. 在学习了角平分线的性质后，小明想要去探究直角梯形的两底边与两非直角顶点所连腰的数量关系，于是他对其中一种特殊情况进行了探究：在直角梯形中，，平分交于点E，连接，当平分时，探究、与之间的数量关系．他的思路是：首先过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为点F．（只保留作图痕迹）
∵，
∴，
∵平分，，
∴ （角平分线的性质），
在和中，
∵，
∴．
∴ ，
同理可得：，
∴ ，
即．
【答案】作图见解析；，，，
【解析】
【分析】以点E为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再以两交点为圆心，大于两交点的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接该交点与点E，交于点F，根据角平分线的性质可得，证明，得到，同理可得，即可证明．
【详解】解：尺规作图如下：

∵，
∴，
∵平分，，
∴（角平分线的性质），
在和中，
∵，
∴．
∴，
同理可得：，
∴，
即．
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了尺规作图和角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，也考查了全等三角形的判定与性质．
21. 重庆被誉为“最食烟火的人间8D魔幻城市”．为更全面的了解“五一”期间游客对重庆热门景点的游玩满意度，工作人员从多维度设计了满分为100分的问卷，在洪崖洞和磁器口随机采访游客并记录结果．假期结束，工作人员从洪崖洞和磁器口的采访结果中各随机抽取10个数据，并进行整理描述和分析（结果用x表示，共分为四个等级：不满意，比较满意，满意，很满意），下面给出了部分信息：
10名洪崖洞游客的评分结果：76，84，85，87，88，88，88，89，96，99
10名磁器口游客中“满意”等级包含的所有数据为：86，88，89，89，89
抽取的洪崖洞和磁器口游客的游玩满意度统计表

根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）若“五一”当天洪崖洞和磁器口的游客分别为3万人和5万人，请你估计“五一”当天有多少万人对这两个景点的满意度为“很满意”；
（3）根据以上数据，你认为“五一”当天游客对洪崖洞和磁器口这两个景点的游玩满意度哪一个更高？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）89，88，30；
（2）2.1 （3）磁器口，理由：磁器口的评分中位数较大（不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据众数的定义即可求得b的值，根据扇形统计图可求得磁器口游客中“不满意”和“比较满意”等级的人数，再根据中位数的概念求得a的值，求出磁器口游客中“很满意”等级的人数，即可求得m的值；
（2）先分别求出抽取的人中对这两个景点的满意度为“很满意”的等级所占的百分比，再分别乘以两个景点的人数，再相加即可；
（3）通过比较中位数或众数来判断“五一”当天游客对洪崖洞和磁器口这两个景点的游玩满意度较高．
【小问1详解】
解：10名洪崖洞游客的评分结果：76，84，85，87，88，88，88，89，96，99，
出现次数最多的是88，出现了三次，
∴众数，
10名磁器口游客中“不满意”和“比较满意”等级均占，
∴（人）
即10名磁器口游客中“不满意”和“比较满意”等级的人数均为1人，
则磁器口游客中“很满意”等级的人数为（人），
将10名磁器口游客的评分按照从小到大的顺序排列，则中位数为第5和第6位的平均数，
第5和第6位评分分别是89，89，
∴，
，即，
故答案为：89，88，30；
【小问2详解】
解：洪崖洞游客中“很满意”等级的人数所占的百分比为：，
磁器口游客中“很满意”等级的人数所占的百分比为：，
（万人），（万人）
（万人）
答：“五一”当天有2.1万人对这两个景点的满意度为“很满意”；
【小问3详解】
磁器口，理由：磁器口的评分中位数较大（不唯一）．
【点睛】本题考查了众数、中位数、样本估计总体，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数、将一组数据从小到大或从大到小排列之后，中间的一个数或中间两个数的平均数，即是这组数据的中位数是解题的关键．
22. 2023年江津区积极摸排城市建成区内可利用的建设用地边角地、闲置地，在摸排中发现，在某住宅建成区一处闲置地，城市绿化管理部门决定将其打造成“口袋公园”．如图，四边形ABCD为该住宅建成区一处闲置地，经过测量得知：，，，，．
（1）如图，连接，试求的长；
（2）该块闲置用地相关政府部门计划投入24万元进行打造，经测算，每平方米打造的费用为1000元，请你计算说明将这块地打造成“口袋公园”政府投入的费用是否够用？
【答案】（1）
（2）这块地打造成“口袋公园”政府投入的费用够用
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出的长即可；
（2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后求出面积计算经费进行比较即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
答：的长为；
【小问2详解】
∵，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴“口袋公园”的面积，
打造费用为：万元，
∴这块地打造成“口袋公园”政府投入的费用够用．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
23. 如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，线段的长度为．

（1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当的长度与的长度相等时x的值．
【答案】（1）
（2）图象见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】（1）分点在上和上分别讨论即可；
（2）列表、描点、连线，画出函数图象，从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可；
（3）根据函数图象，利用关系，由图象找出的对应值即可．
【小问1详解】
解：∵，点为中点，
∴，，
∵点以每秒的速度沿匀速运动到点，运动时间为秒，
∴点运动的路程为，
①当点在上，即当时，
∵
∴，
②当点在上时，即当时，

∵，
∴，
∴与的函数关系式为：；
【小问2详解】
列表如下：
函数图象如下：

该函数的性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）；
【小问3详解】
由（1）可知在中，，
∴直线时，与图象交点的横坐标就是要求的的值，
观察图象，当时，，
当的长度与的长度相等时．
【点睛】本题考查研究函数的一般方法，解题涉及分段函数，一次函数，掌握研究函数的一般方法是解题的关键，还考查了等腰三角形的性质及勾股定理．
24. 日前，为了共同做好江津区创建全国文明城区暨巩固国家卫生区的工作，江津区建委计划对某社区的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化面积，乙队每天能完成绿化面积，设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成绿化任务．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若甲施工队每天需要支付工人工资4000元，乙施工队每天需要支付工人工资3000元，如果甲队施工的天数不超过乙队施工的天数，且不少于3天，那么应如何安排甲、乙两施工队工作的天数，才能使两施工队支付给工人的总工资最少？并求出最少总工资．
【答案】（1）
（2）甲队施工8天，乙队施工8天，才能使两施工队支付给工人的总工资最少，最少总工资为56000元
【解析】
【分析】（1）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，根据工作总量和为1200列式，然后整理即可；
（2）用甲队施工天数不超过乙队施工的天数且不少于3天确定自变量x取值范围，用m表示总施工费用，根据一次函数增减性求得最低费用．
【小问1详解】
解：由题意得，
整理可得：；
【小问2详解】
由已知，
∵，
∴，
设总工资为m元，
则，
∵，，
∴当时总工资最低，
此时（元），
（天）
答：甲队施工8天，乙队施工8天，才能使两施工队支付给工人的总工资最少，最少总工资为56000元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的应用，掌握一次函数的增减性是解题的关键．
25. 如图1，直线分别交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接．

（1）求直线的解析式；
（2）若点M为线段上一动点，当时，求点M的坐标；
（3）如图2，将直线沿y轴的负方向移动，使其平移后的直线恰好经过原点O，平移后点A的对应点为，点Q为x轴上一动点，点P为直线上一动点，写出所有使得以点P、Q、、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来．
【答案】25.
26.
27. 或，见解析
【解析】
【分析】（1）先求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，再根据求解即可；
（3）先求出直线的解析式为，再分为边和对角线两种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：当时，，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入可得，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴
∵，
∴，，
，
设点M的坐标为，
∴，解得，
则
∴点；
【小问3详解】
解：由题意可知点B平移到点O的位置，即直线沿y轴向下平移2个单位，
所以，直线的解析式为，
如图，连接，平移，使的对应点在直线上，点C的对应点在x轴上，

则点C向上平移了4个单位，点也向上平移了4个单位，
∴点P的纵坐标为：，
当时，，即点，
同理，如图，平移，使的对应点在x轴上，点C的对应点在直线上，

则点也向上平移了2个单位，点C向上平移了2个单位，
∴点P的纵坐标为：，
此时，点P与点A重合，不存；
如图，当为平行四边形的对角线时，

设的中点为D，则即
设，，
则，解得，
∴，
∴，综上，满足题意的点P坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，熟练利用平行四边形的性质分情况讨论是解题的关键．
26. 在平行四边形中，连接，，（）．

（1）图1，若，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，点E为上一点，连接，以为腰作等腰，，，若交线段于点F，连接，求证：；
（3）如图3，当，时，点E为上一点，连接，以为腰作等腰，，，然后将沿翻折得到，连接，，．当取得最小值时，请直接写出的周长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，进而可证四边形是菱形；
（2）由等腰三角形的性质可得，进而利用可知，过点作平分，交于，则，易得，可知为等腰三角形，易证，是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，进而可证，可得，再结合平行四边形的性质即可证得结论；
（3）作垂直于的延长线，交于点，则，证明，再证，可得是等腰直角三角形，易证，延长，则是的垂直平分线，连接，可知，连接，交于，由翻折可知，得四边形为正方形，求得，可知，当，，，三点在同一直线上时取等号，当取得最小值时，即时，即可求得的周长．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴是等边三角形，则，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
证明：∵，，，，
∴，
∵，则，
∴，
过点作平分，交于，则

∴，
∴，
∴，则为等腰三角形，
∵，
∴，则是的垂直平分线，
∴，
又∵，平分，
∴，则是的垂直平分线，
∴，则，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴；
小问3详解】
解：作垂直于的延长线，交于点，则，

∵，，
∴，，，
又∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，则
∴，则是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
延长，则是的垂直平分线，连接，
∴，
连接，交于，由翻折可知：，则四边形为正方形，
∴，则，
∴，
∴，当，，，三点在同一直线上时取等号，
当取得最小值时，即时，
的周长为．
【点睛】本题属于几何综合，考查了平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，翻折等知识点，三角形三边关系应用，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数（环）
方差
景点满意度
平均数
中位数
众数
洪崖洞
88
88
b
磁器口
88
a
89
0
3
8
3
0
5