精品解析：重庆市南坪中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期末模拟测试数学试题

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（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义“将多项式化为几个整式的积的形式”，由此即可求解．
【详解】解：、不是因式分解，不符合题意；
、不是因式分解，不符合题意；
、等号右边不是整式，不是因式分解，不符合题意；
、是因式分解，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查因式分解的概念，掌握其概念是解题的关键，尤其需要主要的是选项中是积的关系，但不是整式，不属于因式分解．
2. 以下标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3. 如图所示，在中，对角线相文于点是对角线上的两点，当满足下列哪个条件时，四边形不一定是平行四边形（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定和题中选项，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，
又∵OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形．能判定是平行四边形．
B、DE=BF，OD=OB，缺少夹角相等．不能利用全等判断出OE=OF
∴四边形DEBF不一定是平行四边形．
C、在△ADE和△CBF中，∵∠ADE=∠CBF，AD=BC，∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，故C能判定是平行四边形；
D、同理△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，故D能判定是平行四边形;
故选：B．
【点睛】本题需注意当大的平行四边形利用了对角线互相平分时，那么对角线是原平行四边形的一部分的四边形要想判断是平行四边形一般应用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明．
4. 若，那么下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【详解】A：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，a-34b成立，故此选项符合题意；
C：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，-2a>-2b不成立，故此选项不符合题意；
D：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不成立，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5. 如图，在中，，，平分交于点，在上找一点，连接，使，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于，根据垂线的定义，得出，再根据题意，得出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出，然后再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，得出，再根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，即可得出的长．
【详解】解：过点作于，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了垂线的定义、三角形的外角和定理、角平分线的性质、含的直角三角形，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
6. 下列等式，从左到右变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，对选项分别进行分析，即可得出结果．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，分子分母同时除以m，故分式的值不变，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解本题的关键在熟练掌握分式的基本性质．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以为直边构造等腰，再以为直角边构造等腰，再以为直角边构造等腰，…，按此规律进行下去，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA1＝，OA2＝，OA3＝，…，OA1033＝，再利用A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴的特点可得到点A1033在x轴负半轴，即可确定点A1033的坐标．
【详解】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在x轴的负半轴上，且OA1＝A1A2＝，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，
∴OA1＝，OA2＝，OA3＝，……，OA1033＝，
∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴，
1033＝8×129+1，
∴点A1033在x轴负半轴，
∵OA1033＝，
∴点A1033的坐标为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．
8. 如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A 80米B. 96米C. 64米D. 48米
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
9. 如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（ ）

A. B. 3C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理、翻折及等腰三角形判定，依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，再进一步证明△ABC≌△EBC，得到BE=BA．延长BC交AE于F，由CE=CA，BE=BA，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知BC是线段AE的垂直平分线，，即∠AFC=90°，在Rt△AFC中解直角三角形得AF=，在Rt△AFB中，∠ABC=45°，解直角三角形得AB=AF=，进而得到BE的长.
【详解】解：在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=15°，
∴∠ACB=120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，得△ACD，
∴∠ACE=∠ACB=120°，∠DAE=∠DAC=∠BAC=15°，即∠CAE=30°，
在△ACE中，∠CEA=180°-∠ACE-∠CAE=30°，
∴AC=EC，
又∵∠ECB=360°-∠ACE-∠ACB=120°，
在△EBC和△ABC中，
∴△EBC≌△ABC，
∴BE=BA.
如下图，延长BC交AE于F，

∵CE=CA，BE=BA，
∴BC是线段AE的垂直平分线，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，AC=，
∴AF=AC·cs∠CAF=.
在Rt△AFB中，∠ABC=45°，
∴AB=AF=，
∴BE=AB=.
故选：C.
【点睛】本题考查三角形内角和定理、翻折、等腰三角形判定、解直角三角形及全等三角形等，准确判断出直线BC是线段AE的垂直平分线是解题的关键.
10. 有依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式；②整式；③整式、整式和整式相同；④．正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据依次进行作差、求和的交替操作可直接判断①②③，根据进而得出，即可判断④．
【详解】解：由题意依次计算可得：
，
，
，故①正确；
，
，故②正确；
，
，
，故③错误；
，
由上述得，,
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查整式的加减，正确理解题意和熟练进行整式的运算是关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，后用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提取公因式法，平方差公式法分解因式，熟练掌握因式分解的基本顺序是解题的关键．
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
13. 在函数中，自变量x的取值范围是___．
【答案】且
【解析】
【详解】根据题意得：x+1≥0且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0．
故答案为：x≥-1且x≠0．
【点睛】考点：函数自变量的取值范围．
14. 在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为________．
【答案】48
【解析】
【分析】设BC=x，根据平行四边形的周长表示出CD，然后根据平行四边形的面积列式求出x，再根据平行四边形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：设BC=x，
∵▱ABCD的周长为40，
∴CD=20-x，
∵▱ABCD的面积=BC•AE=CD•AF，
∴4x=6（20-x），
解得x=12，
∴▱ABCD的面积=BC•AE=12×4=48．
故答案为：48．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的周长与面积的求解，根据面积列式求出平行四边形的一条边的长度是解题的关键．
15. 如图，将边长为的正三角形ABC绕它的中心O旋转60°，阴影部分的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质，观察图形易得，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为1，面积是的，重叠部分的面积是与三个小等边三角形的面积之差，代入数据计算可得答案．
【详解】解：根据旋转的性质可知，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为，且面积是的，观察图形可得，重叠部分的面积是与三个小等边三角形的面积之差；
∴的高是，一个小等边三角形的高是，
∴的面积是，一个小等边三角形的面积是，
所以重叠部分的面积是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．
16. 若关于x的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组至多有五个整数解，则符合条件的所有整数的取值之和为_____．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出分式方程与一元一次不等式组的解，再由已知得到，是的倍数，由分式方程增根的情况可得到，结合所求的解情况即可求出满足条件的m．
【详解】解：化简不等式组为，
解得：，
不等式组至多有五个整数解，
，
，
将分式方程的两边同时乘以，得
，
解得：，
分式方程的解为正整数，
是的倍数，
，
或或，
，
，
，
或，
符合条件的所有整数的取值之和为，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的解，熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．
17. 如图，四边形中，，，，与的和是，点、、分别是、、的中点，则的周长是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据点、、分别是、、的中点，在，中，可求出，如图所示，过点作，交延长于点，取的中点，连接，可证四边形，是平行四边形，可得的长度，点三点共线，在中根据中位线可求出的值，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，交延长于点，取的中点，连接，

在中，点分别是的中点，
∴，，
同理，在中，，，
∴，
∵，点在的延长线上，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，则，且，
∵点是中点，点是中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
在中，点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，点三点共线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查中位线的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，中位线的判定和性质是解题的关键．
18. 若一个三位数（，，，且，，均为整数），，则称这个三位数为“牛数”，比如：341，，则341为“牛数”，将三位数的个位与百位交换位置得到新的三位数记为，并记，．已知为“牛数”，当能被整除时，则的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可求出的代数式，并将代入，求出，根据能被整除，则的各个部分都是的倍数，分类讨论，由此即可求解．
【详解】解：∵为“牛数”，
∴，则，
∵，
∴，
∴，把代入得，，
∵能被整除，
∴
∴是的倍数，
∵，，，且，，均为整数，
∴，
∴或24或36或48或60或72或84，
当时，，对应的，
∴，，
当时，，对应的，（舍去），
当时，，对应的，（舍去），
当时，，对应的，
∴，，
当时，，对应的，
∴时，，
当时，，对应的，
∴时，，
当时，，对应的（舍去），
∴的最大值是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查定义新运算，理解新运算的运算法则，掌握代数式的运算，整除的定义及运算方法，分类讨论是解题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，其中19题8分，20至26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. （1）化简：
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）原不等式组的解集为：
【解析】
【分析】（1）根据异分母分式的加减运算法则即可求解；
（2）根据不等式的性质解不等式，再根据不等组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2），
由①得，；由②得，；
∴原不等式组的解集为：．
【点睛】本题主要考查异分母分式的加减法，解不等式组，掌握异分母分式的加减法法则，解不等式组的方法是解题的关键．
20. 解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）原分式方程的解为
（2）原分式方程无解
【解析】
【分析】（1）根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验”即可求解；
（2）根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验”即可求解．
【小问1详解】
解：
等式两边同时乘以，去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，，
检验，当时，原分式方程的分母为，，即原分式方程有意义，
∴是原分式方程的解，即原分式方程的解为．
【小问2详解】
解：
等式两边同时乘以，去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，，
检验，当时，原分式方程的分母，原分式方程无意义，
∴是原分式方程的增根，即原分式方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
21. 如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．

（1）画图：将绕原点逆时针旋转，得到；
（2）画图：平移到，使点的对应点的坐标为，则的坐标为______；
（3）在坐标系中找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______；在图中描出点的位置．
【答案】（1）作图见详解
（2）
（3）或或，点的位置
【解析】
【分析】（1）根据图形旋转的定义及作法即可求解；
（2）根据点的平移确定平移的规律，由此即可求解；
（3）根据平行四边形的判定和性质，分类讨论即可求解．
【小问1详解】
解：绕原点逆时针旋转，得到，如图所示，

∴即为所求图形．
【小问2详解】
解：∵平移到，使点对应点的坐标为，
∴平移规律为：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
故答案为：．
【小问3详解】
解：以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
①如图所示，以为对角线的平行四边形，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，

∴四边形是平行四边形，则；
②如图所示，以为对角线的平行四边形，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，

∴四边形是平行四边形，则；
③如图所示，以为对角线的平行四边形，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，

∴四边形是平行四边形，则；
综上所示，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标有或或，
故答案为：或或，点的位置．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握旋转的定义及作图方法，根据点的平移确定平移规律，平行四边形的性质及判定的方法，分类讨论思想等知识的综合是解题的关键．
22. 如图，已知平行四边形ABCD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在CB的延长线上取点E，使CE＝CD，连接DE交AB于点F，作∠ABC的平分线BG交CD于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在第（1）问所作的图形中，求证：四边形BFDG为平行四边形．
证明：∵BG平分∠ABC
∴∠ABG＝∠CBG
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABG＝∠CGB，∠CDE＝∠BFE
∴∠CGB＝①
∴CB＝CG．
∵CE＝CD，CB＝CG
∴CE﹣CB＝CD﹣CG，即BE＝②
∵CD＝CE
∴∠CDE＝③
∵∠CDE＝∠BFE，∠CDE＝∠BEF
∴∠BFE＝④
∴BE＝BF
∵BE＝DG，BE＝BF
∴DG＝⑤
∵AB∥CD，DG＝BF
∴四边形BFDG为平行四边形．（推理根据：⑥ ）
【答案】（1）见解析 （2）①，②，③，④，⑤，⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】（1）先延长，以点为圆心、长为半径画弧，交延长线于点，再连接交于点，然后根据角平分线的尺规作图方法即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据平行四边形的判定即可得证．
【小问1详解】
解：尺规作图结果如下：
【小问2详解】
证明：平分，
，
∵四边形为平行四边形，
，
，
，
．
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．（推理根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．
23. 某市为治理污水，计划铺设一段全长为3000米污水排放管道．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，现向全市进行招投标工作．经对比，甲单位每天铺设的管道比乙单位每天铺设的管道长25%，工期比乙单位少5天．
（1）求甲每天铺设的管道长为多少米？
（2）聘请甲单位施工若干天后，接到上级紧急通知，实际污水排放管道长度在计划长度的基础上增加了8%，且污水治理须在今年5月1日投放使用，即铺设管道总工期不能超过16天．随即邀请乙单位加入施工行列，和甲合作完成后续铺设工作．若按规定完成铺设任务，甲、乙两单位至少合作施工多少天？
【答案】（1）甲每天铺设的管道长为150米
（2）甲、乙两单位至少合作施工7天
【解析】
【分析】（1）设乙每天铺设的管道长x米，则甲每天铺设的管道长（1+25%）x米，根据题意列出分式方程，然后求解即可；
（2）设甲单位施工m天后，和乙合作施工n天后完成任务，根据甲乙完成的管道长度和等于总长度列出方程，然后结合m+n≤16求解即可．
【小问1详解】
解：设乙每天铺设的管道长x米，则甲每天铺设的管道长（1+25%）x米，
根据题意，得：，
解得：x=120，
经检验，x=120是所列分式方程的解，
（1+25%）x=150（米），
答：甲每天铺设的管道长为150米；
【小问2详解】
解：设甲单位施工m天后，和乙合作n天完成任务，
根据题意，得：150m+(150+120)n=3000+3000×8%，
解得：5m+9n=108，则，
∵铺设管道总工期不能超过16天，
∴m+n≤16，
∴+n≤16，
解得：n≥7，
答：甲、乙两单位至少合作施工7天．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键．
24. 如图，在中，过中点的直线分别交，的延长线于点，．
（1）求证：；
（2）连结，若，，的周长为，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）24
【解析】
【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得出≌，依据全等三角形的性质，可得，即可得到；
（2）依据垂直平分，即可得出，再根据的周长为，即可得到，则，进而得到的周长．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，，
，，
和中，
，
≌，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接，
，，
垂直平分，
，
的周长为，
，即，
，
的周长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
25. 时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有、两种型号的手机，进价和售价如表所示：
某营业厅购进、两种型号手机共花费元，手机销售完成后共获得利润元．
（1）营业厅购进、两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进、两种型号手机共部，其中型手机的数量不多于型手机数量的倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）型号手机有台，型号手机有台
（2）营业厅购进型号手机台，型号手机台时获得最大利润，最大利润是元
【解析】
【分析】（1）根据题意可求出、两种型号的手机每台的利润，设型号手机有台，型号手机有台，根据题目中的数量关系列二元一次方程组求解即可；
（2）购进、两种型号手机共部，设型号手机有台，则型号手机有台，根据实际情况可求出，且为整数，设利润为，可用含的式子表示利润的关系式，根据一次函数图像的性质即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，型号手机每台的利润为（元），型号手机每台的利润为（元），
设型号手机有台，型号手机有台，
∴，解得，，
∴型号手机有台，型号手机有台．
【小问2详解】
解：购进、两种型号手机共部，设型号手机有台，则型号手机有台，
∵型手机的数量不多于型手机数量的倍，
∴，解得，，
∴根据实际情况可得，，且为整数，
设利润为，
∴，
∵，
∴随着的增加而减小，
∴当时，最大，即（元），
∴营业厅购进型号手机台，型号手机台时获得最大利润，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组，一次函数，不等式与实际问题的综合，掌握解二元一次方程组的方法，不等式的性质解一元一次不等式，一次函数增减性求最值问题等知识是解题的关键．
26. 在平行四边形中，连接，若，点为边上一点，连接，交于点．
（1）如图1，若点为中点，对角线与相交于点，且的面积为，，求的长；
（2）如图2，若点在上，且，连接，过作于点，连接并延长交于点，若，用等式表示线段、、的数量关系，并证明；
（3）如图3，若，，点在边上，，且平分，线段（点在点的左侧）在线段上运动，且，连接，，请直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2），证明过程见详解
（3）的最小值为
【解析】
【分析】（1）连接，证明，利用三角形的面积公式求出的值，再根据三角形的中位线定理可求出的值，由此即可求解；
（2）如图所示，过点作于点，可证，可得，是等腰直角三角形，，再证是等腰直角三角形，可得，接着证明，可得，由此即可求解；
（3）如图所示，过点作，交于点，过点作于点，延长到，使得，连接，可得的平行四边形，证明，可得，由勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解：如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵点是的中点，即，且，
∴是的中位线，即，，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：，理由如下，
如图所示，过点作于点，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，且(对顶角相等)，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在平行四边形中，，且，
∴，即，
∵，
∴，
在中，，(对顶角)，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴．
【小问3详解】
解：如图所示，过点作，交于点，过点作于点，延长到，使得，连接，
∵在平行四边形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，当三点共线时，的值最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．价格型号
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