广西南宁市第三中学五象校区2024届高三下学期适应性考试数学试题

这是一份广西南宁市第三中学五象校区2024届高三下学期适应性考试数学试题，共12页。试卷主要包含了85kg，79kg，已知，分别是椭圆，某学校为了解学生身高等内容，欢迎下载使用。

（全卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.某大学女生的体重（单位：kg）与身高（单位：cm）之间的线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ）
A.与正相关
B.回归直线过样本的中心点
C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm，则其体重必为58.79kg
3.已知一个有限项的等差数列，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A.12B.14C.16D.18
4.现有甲，乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率是，向乙靶射击两次，每次命中的概率是，若该射手每次射击的结果相互独立，则该射手完成以上三次射击恰好命中一次的概率是（ ）
A.B.C.D.
5.已知，是不重合的两条直线，，是不重合的两个平面，则（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，，，则
6.已知，分别是椭圆（）的左、右焦点，过点的直线交于，两点，若的最大值为8，则的离心率为（ ）.
A.B.C.D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A.等腰三角形或直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
8.若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为3:2）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ）
参考公式：
A.抽取的样本里男生有60人B.每一位学生被抽中的可能性为
C.估计该学校学生身高的平均值为170D.估计该学校学生身高的方差为236
10.已知（），下列判断正确的是（ ）
A.若，且，则
B.时，直线为图象的一条对称轴
C.时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D.若在上恰有9个零点，则的取值范围为
11.如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A.存在点，使，，，四点共面
B.存在点，使平面
C.三棱锥的体积为
D.经过，，，四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，_________.
13.已知三棱锥，，，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为_________.
14.在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与的左、右两支分别交于、两点，点在轴上，满足且经过的内切圆圆心，则的离心率为_________.
四、解答题
15.如图，在平面四边形中，，，，.
（1）若，，求的大小；
（2）若，求四边形面积的最大值.
16.已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.
（1）证明：；
（2）若是线段上的动点，是否存在点，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
17.甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用（）局胜制（当一选手先赢下局比赛时，该选手获胜，比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
（1）若，，比赛结束时的局数为，求的分布列与数学期望；
（2）若比对甲更有利，求的取值范围.
18.已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：
19.在平面直角坐标系中，已知点，直线，点满足到点的距离与它到直线的距离之比为，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点且与相切的直线交椭圆于，两点，射线交椭圆于点，试问的面积是否为定值？请说明理由.
南宁三中五象校区2024届适应性考试
数学（参考答案）
1.A 因为，所以该复数在复平面内对应的点为，在第一象限.
2.D 对选项A，因为，所以与具有正的线性相关关系，故A正确；
对选项B，回归直线过样本中心，故B正确；
对选项C，因为回归方程为，所以身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故C正确；
对选项D，时，，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故D错误.
3.B 由题意知，，两式相加得.
又因为，所以.
4.D 记“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手射击甲靶命中”为事件，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件，由题意知，，，由于，根据事件的独立性和互斥性得.
5.C 若，，则或，A错误；若，，则可能，B错误；当，时，，C正确；若，，，，则与可能平行或相交，D错误.
6.A 由椭圆的定义，可知，所以当最小时，最大，由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，当直线垂直于轴时，取得最小值，此时，由解得，此时的离心率.
7.B ，故，
由正弦定理得，其中，
即，故，因为，所以，故，因为，所以，的形状为直角三角形.
8.A 由不等式，即，
令，即有，又由，所以函数在上单调递增，
因为，所以，令，问题转化为存在，使得，因为，令，可得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，，所以当时，，若存在，使得成立，只需且，
解得，因为，所以.
9.ABD 【详解】对于A项，抽取的样本里男生有人，所以A项正确；
对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为，所以B项正确；
对于C项，估计该学校学生身高的平均值为，所以C项错误；
对于D，估计该学校学生身高的方差为，所以D项正确.
10.BD 【详解】，，
对于A，根据条件，可得，∴，∴，故A错误；
对于B，当时，，∴，
所以直线为的一条对称轴，故B正确；
对于C，当时，，将向左平移单位长度后可得，为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，由题意，则，因为在上恰有9个零，
所以，解得，故D正确.故选：BD.
11.ABC 【详解】A：如图，在正方体中，连接，.
因为，分别是，的中点，所以，又因为，所以.
所以，，，四点共面，即当与点重合时，，，，四点共面，故A正确；
B：连接，，当是的中点时，因为，，所以，
因为平面，平面，所以平面，故B正确；
C：连接，，，因为，则
，故C正确；
D：分别取，的中点，，构造长方体，则经过，，，四点的球即为长方体的外接球.设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，即，
所以经过，，，四点的球的表面积为，故D错误.故选：ABC
12.10 【详解】依题意有，由组合数的性质可得.故答案为：10.
13. 【详解】记为的中点，连接，，
由题意知，且，所以外接圆的直径为，且，即半径，
过作平面，因为平面，则，
又点到平面的距离是，即，而，
所以，同理，又，所以，是同一个点，所以平面，设三棱锥的外接球的半径为，则，
则三棱锥的外接球表面积为.故答案为：
14. 【详解】，∴，∴,
∵经过内切圆圆心，∴为的角平分线，
∴，∴，∴，
，∴，，
，∴，于是，
∴为正三角形，.中，由余弦定理，.
∴.故答案为：.
15.解：（1）在中，，，所以，
由余弦定理可得，，即，
又，所以，在中，由正弦定理可得，得，因为，所以，所以，
（2）在中，，，所以，所以，四边形的面积
，
当时，，即四边形面积的最大值为.
16.解：（1）依题意矩形，，，是中点，所以，又，所以，，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.
（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设是的中点，因为，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，，假设存在满足题意的点，则令.
可得，，
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，，即，
设与平面所成的角为，所以，解得（舍去），
综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为.此时
17.解（1）依题意得，随机变量所有可能取值为2，3，
可得，，
所以随机变量的分布列为
所以的数学期望.
（2）若采用3局2胜制，甲最终获胜的概率为，
若采用5局3胜制，甲最终获胜的概率为：
，
若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，则，
即
，
解得.
18.解：（1）由题意可得：的定义域为，，
当时，则在上恒成立，可知在上单调递减；
当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）构建，，
则，由可知，
构建，，
因为，在上单调递增，则在上单调递增，
且，可知在上存在唯一零点.
19.解：设，根据题意，，其中表示到直线的距离，整理得，曲线的方程为：.
（2）解：的面积为定值，理由如下：设，
①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则
此时，，，由题可得，，故；
②当直线斜率不存在时，设过直线方程为，该直线与椭圆相切
∴
∴得：①
∴，，∴，
则直线的方程为：
，∴，∴，
由题可得，，位于轴两侧，故，即
设，，将直线代入椭圆的方程，
可得，由，可得，②
则有，，
所以，将①代入得：
由直线与轴交于，
则的面积为，故
综上：面积为定值.
2
3