2024年云南省昆明市第八中学初中学业水平检测数学（三）试题（学生版+教师版）

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一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. “春风得意火车疾，一日尝到东盟果．”现如今，这句话已成为中老铁路高效快捷的真实写照．2024年第一季度，昆明海关累计监管中老铁路进出口货物约1380000吨，同比增长，创季度新高．数据1380000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：1380000；
故选：D．
2. 魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若元表示收入5元，则支出7元可记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，规定收入为正，则支出为负，进行作答即可．
【详解】解：若元表示收入5元，则支出7元可记作元；
故选A．
3. 如图，直线，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线性质，根据平行线的性质，得到，再根据，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
4. 如图，是某个几何体的三视图，该几何体是( )
A. 三棱锥B. 三棱柱C. 圆柱D. 圆锥
【答案】D
【解析】
【分析】根据三视图的定义即可得．
【详解】俯视图由一个圆和圆心组成，观察四个选项的几何体，只有选项D圆锥的俯视图符合
故选：D．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，熟悉常见几何体的三视图的形状是解题关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘除法，合并同类项，完全平方公式，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，原选项计算错误；
B、，原选项计算错误；
C、，原选项计算正确；
D、，原选项计算错误；
故选C．
6. 如图，点B是反比例函数图象上的一点，过点B分别作轴于点A，轴于点C．若四边形的面积为2，则k的值是（ ）

A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查值的几何意义，根据题意，得到四边形的面积为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵双曲线过第二象限，
∴，
∴；
故选B．
7. 2024年5月12日是母亲节，辰辰同学要给妈妈制作一个爱心图案贺卡，以下几个图案中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形．根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
8. 2024年，中国成功地发射了火星探测器，开始了对火星的探测任务．这是中国在航天领域取得的重要突破，标志着中国太空探索事业迈出了重要一步，某校对高一年级1500名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，抽取了部分高一学生参加“航空航天知识”测试，并把测试成绩作为样本分析，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，则该校高一年级学生“航空航天知识”测试成绩达到“优”的大约有（ ）
A. 150人B. 300人C. 400人D. 450人
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中获取信息，利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：样本容量为：，
∴校高一年级学生“航空航天知识”测试成绩达到“优”的大约有人；
故选B．
9. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了寻找多项式的规律的知识，关键是通过归纳总结从特殊到一般找到规律．
从两个方面（系数、指数）总结规律，即可求解．
【详解】通过观察即可发现：
a的指数的规律为：；b的指数的规律为：，
综合后，第n个多项式为：，
故选D．
10. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，根据圆内接四边形的一个外角等于其内对角，以及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出结果．
【详解】解：∵是内接四边形的一个外角，
∴，
∴；
故选C．
11. 如图，在中，D，E分别为，上的点．若，，的面积为2，则的面积为（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，利用面积比等于相似比的平方进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为2，
∴的面积为32，
故选：C．
12. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴；
故选B．
13. 目前，我国电动自行车保有量逾3亿辆，公安交警部门提醒市民，骑行电动自行车必须严格遵守“一盔一带”的法规，佩戴安全头盔可以有效降低头部损伤和致死风险．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售600个，3月份销售864个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可．
【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意，得：；
故选A．
14. 估算式子的值最接近的整数是（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算．
根据二次根式的混合计算法则化简后，估算即可得到结果．
【详解】解：
∵，，
∴，即，
故最接近的整数是5．
故选C．
15. 在一个正六边形中，若其相对两边的距离为，则该正六边形的边长为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形，勾股定理，过点作于点．正六边形中，每个内角为，即，，于是，可得，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点．
正六边形中，每个内角为，
，，
，
设，根据勾股定理可得，
，
即，
解得（负值舍去），
，
即边长为2．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16. 因式分解：x2﹣49=________．
【答案】（x﹣7）（x+7）
【解析】
【分析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式．根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）
【详解】解：可以直接用平方差分解：﹣49=（x﹣7）（x+7）．
故答案为：（x﹣7）（x+7）
17. 如图，在四边形中，平分，且，．当________时，．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
当时，，
即：，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：9．
18. 九年级某小组4名同学在多次英语听力、口语模拟练习中，四人的平均成绩都为28分（满分为30分），方差分别为，，，，则四人中成绩较为稳定的是_______．
【答案】乙
【解析】
【分析】本题主要考查了方差的知识，解题的关键是掌握方差的意义．方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．据此即可得到答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴四人中成绩较为稳定的是乙．
故答案为：乙．
19. 圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥侧面展开图的面积为________．（计算结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，先求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式，直接计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为，高为，
∴圆锥的母线长为，
∴该圆锥侧面展开图的面积为；
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，先进行开方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
21. 如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
由条件可得，得，然后即可证明．
【详解】证明：在和中，
，
，
，
，
．
22. 云南多地中小学开展清明祭英烈活动，悼念革命先烈，传承红色基因，他们通过献花、默哀等方式，表达对革命先烈的崇高敬意和无限哀思．某中学准备一次性购买若干束A款鲜花和B款鲜花，其中用1200元购买A款鲜花的数量比用1600元购买B款鲜花的数量少20束，且A款鲜花的单价是B款鲜花单价的1.5倍．求一束A款鲜花和一束B款鲜花的售价分别是多少元？
【答案】一束A款鲜花的售价为60元，一束B款鲜花的售价为40元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，利用“用1200元购买A款鲜花的数量比用1600元购买B款鲜花的数量少20束”，列方程，即可解答，正确列出等量关系是解题的关键．
【详解】解：设一束B款鲜花的售价x元，则一束A款鲜花的售价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元）．
答：一束A款鲜花的售价为60元，一束B款鲜花的售价为40元．
23. 鲜花饼是一款经典特色小吃，以云南特有的食用玫瑰花人料的酥饼，以“花味、云南味”为特色．在云南某地区的旅游景区内有：嘉华，：潘祥记，：花满楼，：吉庆祥四种鲜花饼品牌店各一家．某旅游团从中依次选择两家鲜花饼店为旅客购置伴手礼，假设每一家被选到的可能性相等．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果总数；
（2）求该旅游团同时选到和两家鲜花饼店的概率．
【答案】（1）共有12种等可能结果，分别为、、、、、、、、、、、
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了列举法求概率，正确作出列表是解题关键．
（1）根据题意作出列表，即可获得答案；
（2）结合列表求解即可．
【小问1详解】
解：列表分析如下，
共有12种等可能结果，分别为、、、、、、、、、、、；
【小问2详解】
由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中选中和两家品牌店的情况有2种，分别是、，
∴该旅游团选和两家品牌店的概率．
24. 如图，在中，是的平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径的与边相切，与边相交于点D，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若时，的半径为3，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）过点O作于点E，由切线的性质得到，根据角平分线的性质得到，再根据切线的判定定理即可证明结论成立；
（2）根据直角三角形的性质角平分线的定义求得，在中，利用正切函数的定义求得的长，在中，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：过点O作于点E．
与相切于点B，
，
，
平分，，
，
是的半径，
是的半径，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
，
平分，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
根据勾股定理可得：．
25. 今年的澜沧江一湄公河合作大理马拉松（简称“2024澜湄大理马拉松”），将于5月19日在美丽的云南大理开跑，这是一场结合了自然风光、历史文化和民族风情的国际性马拉松赛事，旨在促进澜湄流域国家的合作与交流．以下是本次马拉松赛事的一些信息：
（1）据了解，某中学有若干名同学报名参加了本次活动欢乐跑和亲子跑中的一个项目，他们共花费了报名费640元，完成挑战后他们跑过的距离总和为34千米．请求出该中学报了欢乐跑和亲子跑的同学各有几人？
（2）已知在跑马拉松过程中，人体内消耗的水分y（单位：）与运动距离x（单位：）之间的函数关系如图所示，其中．
①请求出y与x之间的函数关系式；
②为了避免身体出现脱水现象，一般情况下体内消耗水分达时就要适当补水分，求起跑后距离起点多少千米时需要第一次补水？
【答案】（1）该中学有5名同学报了欢乐跑，有4名同学报了亲子跑
（2）①；②起跑后距离起点9.5千米时需要第一次补水
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的实际应用：
（1）设该中学有x名同学报了欢乐跑，有y名同学报了亲子跑，根据他们共花费了报名费640元，完成挑战后他们跑过的距离总和为34千米，列出方程组进行求解即可；
（2）①分和两段，分别求出函数解析式即可；②求出时的的值即可．
【小问1详解】
解：设该中学有x名同学报了欢乐跑，有y名同学报了亲子跑，由题意可列方程组为
，
解得．
答：该中学有5名同学报了欢乐跑，有4名同学报了亲子跑．
【小问2详解】
①由题图知，当时，设函数关系式为，
则，，即；
当时，设函数关系式为，
由得，
即．
与x之间的函数关系式为．
②令，则，解得．
答：起跑后距离起点9.5千米时需要第一次补水．
26. 已知关于x的抛物线解析式为．
（1）当时，求抛物线顶点坐标和对称轴；
（2）在（1）的条件下，直线（其中）与该抛物线相交于A、B两点，求线段的长度的最小值．
【答案】（1）抛物线顶点坐标为，对称轴为直线
（2）线段长度的最小值为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练运用相关性质是解题的关键．
（1）将代入，即可解答；
（2）表示出两点坐标，再利用二次函数的性质，即可解答．
【小问1详解】
解： ，
，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线．
【小问2详解】
解：联立方程组，化简得，
整理得，所以或，
解得，或，
所以方程组的解是，或，
直线与抛物线交点坐标为，，
抛物线在这条直线上所截线段的长度为
，
，，
当，．
线段长度的最小值为．
27. 如图，点O为矩形的对称中心，，，点F为边上一点（），连接并延长，交于点E．四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点G．
（1）如图1，当点与点D重合时，求的长；
（2）在（1）条件下，求证：四边形是菱形；
（3）如图2，令，．求证：．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）证明．设，则．可得，再利用勾股定理求解即可；
（2）证明．可得．再结合轴对称的性质可得答案；
（3）过O作于Q，连接，，，如图：证明．证明．可得．再证明，可得，可得，再进一步可得结论．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
是线段的垂直平分线．
．
设，则．
，
，
四边形是矩形，
．
在中，，，
由勾股定理得：，即，
解得．
．
【小问2详解】
解：由折叠得：，，
四边形是矩形，
∴，
．
．
．
，．
．
四边形是菱形．
【小问3详解】
证明：过O作于Q，连接，，，如图：
，．
，
．
，
，
．
∴．
∴，
．
，
．
为中点，，，
∵，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，
，，
．
【点睛】本题考查的是矩形的性质 菱形的判定，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第一家
第二家
项目
距离
报名费
马拉松
42.159千米
200元/人
半程马拉松
21.0975千米
150元/人
欢乐跑
5.2千米
80元/人
亲子跑
2千米
60元/人