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新教材(广西专版)高考数学一轮复习第三章函数与基本初等函数第二节函数的单调性与最值课件
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这是一份新教材(广西专版)高考数学一轮复习第三章函数与基本初等函数第二节函数的单调性与最值课件，共46页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，单调递增，单调递减，单调区间，函数的最值，fx≤M，fx0M，fx≥M等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义
f(x1)
设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I
微点拨函数单调性定义的等价形式
(2)单调性、单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的 .
微思考如何判断复合函数的单调性?
提示 若构成复合函数的内、外层函数单调性相同,则复合函数为增函数,否则为减函数,简称“同增异减”.
常用结论1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数;若f(x),g(x)分别是区间A上的增函数和减函数,则f(x)-g(x)是区间A上的增函数.2.若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反.3.闭区间上的图象连续的函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)如果f(-1)
解析 y=-2x在(0,+∞)上单调递减,故A错误;y=(x-1)2在(0,+∞)上先单调递减后单调递增,故B错误;y= 在(0,+∞)上单调递减,故C错误;y=|x+2|在(0,+∞)上单调递增,符合题意.
解析 由单调性的定义可知函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,因此f(x)在区间[2,b]上的最大值与最小值分别为f(b),f(2),所以有 ,解得b=3.
考向1.证明或判断函数的单调性典例突破例1.(1)下列函数在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A.f(x)=ln x B.f(x)=e-x
(2)判断并证明函数f(x)= 在区间(-1,+∞)上的单调性.
(2) 解 函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增.
方法总结利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
对点训练1(2023山东潍坊二模)已知函数f(x)=( )x-3x,则f(x)( )A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数
考向2.求函数的单调区间典例突破例2.求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x2+4x-1;(2)f(x)=|x+1|+|x-2|;(3)f(x)=lg3(4x-x2).
解 (1)函数f(x)的定义域为R,其图象是开口向上的抛物线,抛物线的对称轴是直线x=-2,所以函数的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2].
(2)函数f(x)的定义域为R,且f(x)=|x+1|+|x-2|= 该函数的大致图象如图所示:由图象可知,该函数的单调递增区间是[2,+∞),单调递减区间是(-∞,-1].
(3)由4x-x2>0,解得0
对点训练2(1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数 的单调递增区间为( )
A.(-∞,-3],[0,3]B.[-3,0],[3,+∞)C.(-∞,-5),[0,1)D.(-1,0],(5,+∞)
(2)(2023海南海口模拟)函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间是( )A.(-∞,-2)B.(-∞,-2)和(0,2)C.(-2,2)D.(-2,0)和(2,+∞)
答案 (1)C (2)B
解析(2)f(x)=x2-4|x|+3= 当x≥0时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1的单调递减区间为(0,2);当x<0时,y=x2+4x+3=(x+2)2-1的单调递减区间为(-∞,-2),故f(x)的单调递减区间是(-∞,-2)和(0,2).故选B.
典例突破例3.求下列函数的最值:
方法总结求函数最值的常见方法(1)单调性法:若f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得的最小(大)值、最大(小)值.(2)图象法:对于由基本初等函数变化而来的函数,通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.(3)换元法:形如y=ax+b± 型的函数,可用此法求其最值.(4)基本不等式法:注意应用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”.(5)导数法:利用导数研究复杂函数的极值和最值,然后求出值域.
对点训练3(1)函数y= ,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)
答案 (1)D (2)(-∞,2]
f(x)min=f(1)=5.因为函数g(x)=2x+a-1在区间[2,3]上单调递增,所以g(x)min=g(2)=3+a.由5≥3+a,得a≤2.故实数a的取值范围是(-∞,2].
考向1.利用单调性比较大小典例突破
A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b
技巧点拨利用单调性比较大小的方法步骤(1)确定函数的单调性;(2)比较自变量的大小,若自变量不在同一单调区间内,要利用函数的性质(奇偶性、对称性、周期性)转换为同一个单调区间;(3)由单调性得到函数值的大小关系.
对点训练4已知函数f(x)=2-x-4x,若a=0.3-0.25,b=lg0.250.3,c=lg0.32.5,则( )A.f(b)
例5.(2023安徽黄山二模)已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2 023x+2 023-x,则使不等式f(3x)
对点训练5(2023广西北海一模)已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.若f(2)=0,则f(x)≥0的解集为( )A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[0,2]C.[-2,0]∪[2,+∞)D.(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
解析奇函数f(x)的定义域为R,由f(0)=0,f(2)=0且f(x)在[0,1]上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,可作出f(x)的大致图象如图所示.
由图象可知f(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,2].故选B.
考向3.根据单调性求参数值(或取值范围)典例突破
例6.(1)(2023新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)
答案 (1)D (2)B
解析(1)(方法1 导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln 2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln 2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D.(方法2 复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数
突破技巧根据单调性求参数的值或取值范围(1)如果函数解析式已知,欲求参数在区间中,可先求出函数的单调区间,然后由所给区间是相应单调区间的非空子集构建不等式(组)求解参数范围.(2)如果已知分段函数的单调性求参数的取值范围,除了要求每一段均满足相应的单调性外,还必须要求分段点处的函数值满足相应的大小关系.
知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义
f(x1)
设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I
微点拨函数单调性定义的等价形式
(2)单调性、单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的 .
微思考如何判断复合函数的单调性?
提示 若构成复合函数的内、外层函数单调性相同,则复合函数为增函数,否则为减函数,简称“同增异减”.
常用结论1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数;若f(x),g(x)分别是区间A上的增函数和减函数,则f(x)-g(x)是区间A上的增函数.2.若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反.3.闭区间上的图象连续的函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)如果f(-1)
解析 y=-2x在(0,+∞)上单调递减,故A错误;y=(x-1)2在(0,+∞)上先单调递减后单调递增,故B错误;y= 在(0,+∞)上单调递减,故C错误;y=|x+2|在(0,+∞)上单调递增,符合题意.
解析 由单调性的定义可知函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,因此f(x)在区间[2,b]上的最大值与最小值分别为f(b),f(2),所以有 ,解得b=3.
考向1.证明或判断函数的单调性典例突破例1.(1)下列函数在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A.f(x)=ln x B.f(x)=e-x
(2)判断并证明函数f(x)= 在区间(-1,+∞)上的单调性.
(2) 解 函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增.
方法总结利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
对点训练1(2023山东潍坊二模)已知函数f(x)=( )x-3x,则f(x)( )A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数
考向2.求函数的单调区间典例突破例2.求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x2+4x-1;(2)f(x)=|x+1|+|x-2|;(3)f(x)=lg3(4x-x2).
解 (1)函数f(x)的定义域为R,其图象是开口向上的抛物线,抛物线的对称轴是直线x=-2,所以函数的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2].
(2)函数f(x)的定义域为R,且f(x)=|x+1|+|x-2|= 该函数的大致图象如图所示:由图象可知,该函数的单调递增区间是[2,+∞),单调递减区间是(-∞,-1].
(3)由4x-x2>0,解得0
对点训练2(1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数 的单调递增区间为( )
A.(-∞,-3],[0,3]B.[-3,0],[3,+∞)C.(-∞,-5),[0,1)D.(-1,0],(5,+∞)
(2)(2023海南海口模拟)函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间是( )A.(-∞,-2)B.(-∞,-2)和(0,2)C.(-2,2)D.(-2,0)和(2,+∞)
答案 (1)C (2)B
解析(2)f(x)=x2-4|x|+3= 当x≥0时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1的单调递减区间为(0,2);当x<0时,y=x2+4x+3=(x+2)2-1的单调递减区间为(-∞,-2),故f(x)的单调递减区间是(-∞,-2)和(0,2).故选B.
典例突破例3.求下列函数的最值:
方法总结求函数最值的常见方法(1)单调性法:若f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得的最小(大)值、最大(小)值.(2)图象法:对于由基本初等函数变化而来的函数,通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.(3)换元法:形如y=ax+b± 型的函数,可用此法求其最值.(4)基本不等式法:注意应用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”.(5)导数法:利用导数研究复杂函数的极值和最值,然后求出值域.
对点训练3(1)函数y= ,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)
答案 (1)D (2)(-∞,2]
f(x)min=f(1)=5.因为函数g(x)=2x+a-1在区间[2,3]上单调递增,所以g(x)min=g(2)=3+a.由5≥3+a,得a≤2.故实数a的取值范围是(-∞,2].
考向1.利用单调性比较大小典例突破
A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b
技巧点拨利用单调性比较大小的方法步骤(1)确定函数的单调性;(2)比较自变量的大小,若自变量不在同一单调区间内,要利用函数的性质(奇偶性、对称性、周期性)转换为同一个单调区间;(3)由单调性得到函数值的大小关系.
对点训练4已知函数f(x)=2-x-4x,若a=0.3-0.25,b=lg0.250.3,c=lg0.32.5,则( )A.f(b)
例5.(2023安徽黄山二模)已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2 023x+2 023-x,则使不等式f(3x)
对点训练5(2023广西北海一模)已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.若f(2)=0,则f(x)≥0的解集为( )A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[0,2]C.[-2,0]∪[2,+∞)D.(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
解析奇函数f(x)的定义域为R,由f(0)=0,f(2)=0且f(x)在[0,1]上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,可作出f(x)的大致图象如图所示.
由图象可知f(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,2].故选B.
考向3.根据单调性求参数值(或取值范围)典例突破
例6.(1)(2023新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)
答案 (1)D (2)B
解析(1)(方法1 导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln 2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln 2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D.(方法2 复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数
突破技巧根据单调性求参数的值或取值范围(1)如果函数解析式已知,欲求参数在区间中,可先求出函数的单调区间,然后由所给区间是相应单调区间的非空子集构建不等式(组)求解参数范围.(2)如果已知分段函数的单调性求参数的取值范围,除了要求每一段均满足相应的单调性外,还必须要求分段点处的函数值满足相应的大小关系.
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