新教材(广西专版)高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列课件

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知识梳理1.等比数列的概念(1)等比数列:一般地,如果一个数列从第　　项起,每一项与它的前一项的比都等于　　　　　　　　,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的　　　　,公比常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为(2)等比中项:若三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项,且有　　　　. 
这是数列是否为等比数列的一个重要前提
微点拨1.等比数列的任意一项都不能为零,公比不能为零.2.在等比数列中,从第二项起,每一项都是它前一项与后一项的等比中项,即an+1an-1= (n∈N*,n≥2).3.并非任何两个实数都有等比中项,只有同号的两个非零实数才有等比中项,且等比中项一定有两个,它们互为相反数.
2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=　　　　　　　　(n∈N*); 
微点拨在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情况而导致解答错误.
3.若数列{an}为公比不为1的等比数列,其前n项和Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数数列的前n项和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{an}必为等比数列.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)任何两个实数都有等比中项,且其等比中项有两个.(　　)(2)若数列{an}的通项公式是an=cqn(c,q∈R,c≠0,q≠0),则数列{an}一定是等比数列.(　　)(3)在等比数列{an}中,若aman=apaq,则m+n=p+q.(　　)(4)如果等比数列{an}的前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列.(　　)
2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a4=4,S3=S2+2,则a1=(　　)
3.(2023全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=(　　)
解析设等比数列{an}的公比为q,易知q>0,且q≠1.
(2)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(　　)A.14B.12C.6D.3
例1.(1)(2023新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　)A.120B.85C.-85D.-120
答案 (1)C　(2)D　
解析 (1)若q=1,则S6=6a1,S2=2a1,不满足S6=21S2,所以q≠1.若q=-1,则S4=0≠-5,所以q≠-1.
所以1-q6=(1-q2)(1+q2+q4)=21(1-q2),则q4+q2-20=0,解得q2=4或q2=-5(舍去).
方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项a1和公比q,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含a1,q,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则运用等比数列前n项和公式时要对q分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
对点训练1(1)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,4a1,2a3,a5成等差数列,则a1=(　　)
(2)(2023天津,6)已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为(　　)A.3B.18C.54D.152
(2)由题意,a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,①a3=2(a1+a2)+2,即a1q2=2(a1+a1q)+2,②联立①②可得a1=2,q=3,则a4=a1q3=54.故选C.
例2.已知数列{an}中,a1=1,它的前n项和Sn满足2Sn+an+1=2n+1-1.
对点训练2(2023山东日照三模)已知数列{an}满足:a1=λ>0,an·an+1=27-2n.(2)是否存在正数λ,使得数列{an}是等比数列?若存在,求出λ值并证明;若不存在,请说明理由.
考向1.等比数列的性质典例突破
例3.(1)在等比数列{an}中,a1+a3=1,a6+a8=-32,则
A.-8B.16C.32D.-32
(2)(2023全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　　. 
解析(1)设等比数列{an}的公比为q,则a6+a8=(a1+a3)q5=1×q5=-32,所以q5=-32,
(2)方法一:设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
所以a7=a1q6=a1q·q5=-2.
方法二:设{an}的公比为q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q5=-2,则a7=a2·q5=-2.
易错警示在等比数列中,所有的奇数项同号,偶数项也同号,在根据等比数列的性质求某一项的值时,需注意这一点.
对点训练3(1)在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1 011=3,那么lg3a1+lg3a2+…+lg3a2 021=(　　)A.4 042B.2 021C.4 036D.2 018(2)在等比数列{an}中,an>0,若
A.2B.4C.8D.16
答案 (1)B　(2)A　
解析 (1)因为a1 011=3,所以a1a2…a2 021=(a1 011)2 021=32 021,所以lg3a1+lg3a2+…+lg3a2 021=lg3(a1a2…a2 021)=lg332 021=2 021.故选B.
考向2.等比数列与等差数列的综合问题典例突破
例4.设Sn为数列{an}的前n项和.已知 +n=2an+1.(1)证明:{an}是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
技巧点拨解决等差数列与等比数列综合问题的技巧(1)解决等差数列与等比数列的公共项问题时,应根据两种数列的通项公式,对公共项用两种形式表示,从而建立基本量之间的关系进行求解.(2)注意等差数列与等比数列之间可以相互转化,对正项等比数列取对数可得到等差数列,以等差数列的项为幂指数的同底数(底数不为0)的幂值则构成等比数列.
对点训练4已知各项均为正数的数列{an}中,a1=1且满足 =2an+2an+1,数列{bn}的前n项和为Sn,满足2Sn+1=3bn.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若在bk与bk+1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列{cn}:b1,a1,b2,a2,a3,b3,a4,a5,a6,b4,…,求数列{cn}中前50项的和T50.
∵an+1+an>0,∴an+1-an=2,∴{an}是首项a1=1,公差为2的等差数列,故an=2n-1.当n=1时,2S1+1=3b1,得b1=1,由2Sn+1=3bn①,得当n≥2时, 2Sn-1+1=3bn-1②,①-②整理得bn=3bn-1,